高中数学选修2--1期末考试题与答案

word格式完美整理可编辑版高二期末考试数学试题一．选择题（每小题5分，满分６0分）１.设nml,,均为直线,其中nm,在平面”“”“,nlmlla且是则内的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件２.对于两个命题：①,1sin1xRx，②22,sincos1xRxx，下列判断正确的是（）。A.①假②真B.①真②假C.①②都假D.①②都真３.与椭圆1422yx共焦点且过点(2,1)Q的双曲线方程是（）A.1222yxB.1422yxC.1222yxD.13322yx４.已知12,FF是椭圆的两个焦点，过1F且与椭圆长轴垂直的弦交椭圆与A,B两点，则2ABF是正三角形，则椭圆的离心率是（）w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA22B12C33D13５.过抛物线28yx的焦点作倾斜角为045直线l，直线l与抛物线相交与A，B两点，则弦AB的长是（）A8B16C32D64w.w.w.k.s.5.u.c.o.m６.在同一坐标系中，方程)0(0122222babyaxxbxa与的曲线大致是（）A．B．C．D．７.已知椭圆12222byax(ba0)的两个焦点F1，F2，点P在椭圆上，则12PFF的面积最大值一定是（）word格式完美整理可编辑版A2aBabC22aabD22bab８.已知向量babakba2),2,0,1(),0,1,1(与且互相垂直,则实数k的值是()A．1B．51C．53D．57９.在正方体1111ABCDABCD中，E是棱11AB的中点，则1AB与1DE所成角的余弦值为（）A．510B．1010C．55D．105１０.若椭圆xynmnymx1)0,0(122与直线交于A，B两点,过原点与线段AB中点的连线的斜率为22，则mn的值是()2.23.22.292.　　　　　　　　　　　　　　　　　DCBA１１.过抛物线yx42的焦点F作直线交抛物线于222111,,,yxPyxP两点，若621yy，则21PP的值为（）A．5B．6C．8D．10１２.以12422yx=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（）A.1121622yxB.1161222yxC.141622yxD.二．填空题（每小题４分）１３．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外一点O，给出下列表达式：OCOByOAxOM31其中x，y是实数，若点M与A、B、C四点共面，则x+y=___１４．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，且与抛物线相交于A,B两点，则AB等于___１５．若命题P：“x＞0，0222xax”是真命题，则实数a的取值范围是___．１６．已知90AOB，C为空间中一点，且60AOCBOC，则直线OC与平面AOB所成角的正弦值为___．word格式完美整理可编辑版AEyxDCB三．解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。）１７．（本小题满分1４）设命题P：2,2xRxxa，命题Q：2,220xRxaxa；如果“P或Q”为真，“P且Q”为假，求a的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m１８．（1５分）如图①在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E，F，G分别是线段PC、PD，BC的中点，现将ΔPDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD（如图②）（Ⅰ）求证AP∥平面EFG；（Ⅱ）求二面角G-EF-D的大小；（Ⅲ）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，试给出证明．１９．(1５分)如图，金砂公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.（Ⅰ）设AD＝x，DE＝y，求y关于x的函数关系式；（Ⅱ）如果DE是灌溉水管，我们希望它最短，则DE的位置应在哪里？请予以证明.word格式完美整理可编辑版２０（本小题满分1５分）设21,FF分别为椭圆)0(1:2222babyaxC的左、右两个焦点.（Ⅰ）若椭圆C上的点21,)23,1(FFA到两点的距离之和等于4，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m求椭圆C的方程和焦点坐标；（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点，的最大值求||),21,0(PQQ。２１（本小题满分1５分）如图，设抛物线C：yx42的焦点为F，),(00yxP为抛物线上的任一点（其中0x≠0），过P点的切线交y轴于Q点．（Ⅰ）证明：FQFP；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）Q点关于原点O的对称点为M，过M点作平行于PQ的直线交抛物线C于A、B两点，若)1(MBAM，求的值．BAOFxyQPMword格式完美整理可编辑版高二（理科）期末考试数学试题参考答案及评分标准一．选择题：ABCCBDCBDBDD二、填空题：１３.１３.8１４.)4,(１５详解：由对称性点C在平面AOB内的射影D必在AOB的平分线上作DEOA于E，连结CE则由三垂线定理CEOE，设1DE1,2OEOD，又60,2COECEOEOE,所以222CDOCOD，因此直线OC与平面AOB所成角的正弦值2sin2COD，本题亦可用向量法。１６.yex三．解答题：１７解：命题P：2,2xRxxa即222(1)1xxxa恒成立1a…………3分命题Q：2,220xRxaxa即方程2220xaxa有实数根∴2(2)4(2)0aa2a或1a.…………6分∵“P或Q”为真，“P且Q”为假，∴P与Q一真一假…………8分当P真Q假时，21a；当P假Q真时，1a…………10∴a的取值范围是(2,1)[1,)………1４１８(14分)解法一：（Ⅰ）在图②中∵平面PDC⊥平面ABCD，AP⊥CD∴PD⊥CD，PD⊥DA∴PD⊥平面ABCD如图.以D为坐标原点，直线DA、DC、DP分别为yx、与z轴建立空间直角坐标系：…………………1分则0,0,0D0,0,2A0,2,2B0,2,0C2,0,0P1,1,0E1,0,0F0,2,1G2,0,2AP0,1,0EF1,2,1FG………………3分32word格式完美整理可编辑版设平面GEF的法向量),,(zyxn，由法向量的定义得：zxyzyxyFGnEFn00200)1,2,1()zy,x,(0)0,1,0()zy,x,(00不妨设z=1，则………………………………4分0210212nAP………………………………5分nAP，点P平面EFG∴AP∥平面EFG………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面GEF的法向量，因平面EFD与坐标平面PDC重合则它的一个法向量为i=（1，0，0）………………………………8分设二面角DEFG为.则…………9分由图形观察二面角DEFG为锐角，故二面角G-EF-D的大小为45°。………10分（Ⅲ）假设在线段PB上存在一点Q，使PC⊥平面ADQ，∵P、Q、D三点共线，则设DBtDPtDQ)1(，又0,2,2DB，2,0,0DP∴)22,2,2(tttDQ，又2,0,0DA…………11分若PC⊥平面ADQ，又)2,2,0(PC则210)22(2220)22,2,2()0,2,-2(0)0,0,2()0,2,-2(00ttttttDQPCDAPC…………1５分∴）DBDPDQ(21，………………………………13分故在线段PB上存在一点Q，使PC⊥平面ADQ，且点Q为线段PB的中点。……1５分解法二：（1）∵EF∥CD∥AB，EG∥PB，根据面面平行的判定定理∴平面EFG∥平面PAB，又PA面PAB，∴AP∥平面EFG……………………4分（2）∵平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC∴AD⊥平面PCD，而BC∥AD，∴BC⊥面EFD过C作CR⊥EF交EF延长线于R点连GR，根据三垂线定理知∠GRC即为二面角的平面角，∵GC=CR，∴∠GRC=45°，故二面角G-EF-D的大小为45°。…………………8分（3）Q点为PB的中点，取PC中点M，则QM∥BC，∴QM⊥PC在等腰Rt△PDC中，DM⊥PC，∴PC⊥面ADMQ……………………1５分１９(14分)解:（1）在△ADE中，y2＝x2＋AE2－2x·AE·cos60°y2＝x2＋AE2－x·AE,①…………………2分121232a2221cosnin)1,0,1(n)1,0,1(nword格式完美整理可编辑版又S△ADE＝S△ABC＝·2＝x·AE·sin60°x·AE＝2.②……4分②代入①得y2＝x2＋－2（y＞0）,∴y＝………6分又x≤2，若1x，，矛盾，所以x≥1∴y＝（1≤x≤2）.………………………7分（2）如果DE是水管y＝≥2222,………………10分当且仅当x2＝24x，即x＝2时“＝”成立，…………………………1５分故DE∥BC，且DE＝2.………………………………1５分２０解：（Ⅰ）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.…….2分又点.1,31)23(21,)23,1(22222cbbA于是得因此在椭圆上…….4分所以椭圆C的方程为).0,1(),0,1(,1342122FFyx焦点…….6分（Ⅱ）设134),,(22yxyxP则22344yx…….8分222222141117||()423434PQxyyyyyy…….10分5)23(312y…….12分又33y5||,23maxPQy时当…….1５分２１解：（Ⅰ）证明：由抛物线定义知1||0yPF，2|00xykxxPQ，可得PQ所在直线方程为000()2xyyxx，∵2004xy∴得Q点坐标为(0,0y)2242xx2242xx22AEx2242xx22()xword格式完美整理可编辑版∴1||0yQF∴|PF|=|QF|（Ⅱ）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，又M点坐标为(0,y0)∴AB方程为002yxxy…….8分。由00224yxxyyx得042002yxxx∴,2021xxx200214xyxx……①…….10分。由MBAM得：),(),(022101yyxyyx，∴21xx……②…….12分。由①②知2022022)1(xxxx，得222224)1(xx，由x0≠0可得x2≠0，∴4)1(2，又1，解得：223．…….1５分。