学而思-第四讲-长方体和正方体

五年级秋季班第四讲长方体和正方体曹威第四讲长方体和正方体4.1HGFBDCAEbcabcabcaHGFBDCAE第四讲长方体和正方体在小学奥数的学习当中，除了平面几何图形的研究与学习之外，还有立体图形。比如今天我们学习的长方体和正方体，还有之后要学习到的旋转体，如：圆柱体，圆锥体等等。在立体几何图形的学习中，除了要求我们具备扎实的平面图形基本功以外，对我们的空间思维的能力要求也是比较高的，因此本讲的学习可以培养我们的空间感，提高我们的空间想象能力。本讲大致可以分为两大部分。表面积的计算和体积的计算。一、长方体与正方体的认知“点动成线，线动成面，面动成体”。所以长方体是由平面图形长方形从平面中“拔”出来的。因此长方体有8个顶点（A、B、C、D、E、F、G、H）,12条棱（长AB这样的共4条，宽BC这样的共4条，高BF这样的共4条），6各面（前后，左右，上下）当然正方体是特殊的长方体。6个面都是正方形，12条棱都是正方形的边长。二、知识点运用（一）表面积的计算1、从长方体中分割出一块以后的立体图形面积例1、法1：新几何体的表面积与原正方体的面积是一样的，因为新几何体图4.1中的a、b、c三个外露的面分别可以弥补原几何体图4.2中的a、b、c三个面。图4.1图4.2法2：也可根据三视图的方法解答此题。从前往后看从上往下看从右往左看无论从哪个角度看都看全了整个正方形的面积，所以总面积即为原正方体六个正方形面的总面积解答：表面积=8=384这是从正方体的角上挖去一个长方体，从中我们发现立体图形的表面积不发生任何变化。若是从棱上或面上挖去一个长方体，更或者所挖去的长方体是打穿的呢？表面积也会不变吗？下面我们一起研究总结一下有关从长方体中分割出一块小立体图形以后的新立体图形表面积的变化问题。顶点棱面表面积体积图形长方体A、B、C、DE、F、G、H共8个长：AB、CD、HG、EF宽：FG、EH、AD、BC高：AE。BF。CG。DH共3组，12条前后2个面ABFE和DCGH左右2个面AEHD和BFGC上下2个面ABCD和EFGH共6个面S=2(ab++c)V=abc正方体A、B、C、DE、F、G、H共8个12条全是一样的6个面全是一样的正方形形如ABFES=6V=HGFCABDE五年级秋季班第四讲长方体和正方体曹威第四讲长方体和正方体4.224824D8248BFCGHEBFCGHEBFCGHEADAAD342bca342BFCHGEBFCHGEADAD图4.1角上图4.3棱上图4.4面上拓展练习：（1）如图4.3从棱长为8的正方体的棱上挖去一个2的长方体形成一个新的几何体，求该几何体的表面积？分析：由图4.3可知，挖去后新几何体中的EFHG面可弥补原正方体的ABCD面。同样，BFHC面可弥补AEGD面，此时与原正方体表面积完全一样，但还缺两个面积，即AEFB和DGHC。因此，新几何体的表面积总体来说比原来正方体的总面积多两个AEFB的面积。解答：表面积=8+（2）=396（2）如图4.4从棱长为8的正方体的面上挖去一个2的长方体形成一个新的几何体，求该几何体的表面积？分析：由图4.4可知，挖去后新几何体中的BFHC面可弥补原正方体的AEGD面。此时已经构成了原正方体的6个表面积，但还缺挖去后产生的内壁四个面积AEFB、ABCD、DCHG、EFHG.因此，新几何体的表面积总体来说比原来正方体的总面积多四个内壁面积。解答：表面积=8+（2）+（2）=412图4.5角上挖穿图4.6棱上挖穿图4.7面上挖穿（3）如图4.5从棱长为8的正方体的角上挖去一个2的长方体形成一个新的几何体，求该几何体的表面积？分析：由图4.5可知，新几何体的前后两个面比原来的正方体前后面共少了2个AEHD面，而左右面，上下面没有发生变化，（AEFB面可弥补DHGC面，EHGF面可弥补ABCD面），因此，新几何体的表面积总体来说比原来正方体的总面积少了两个AEHD面。解答：表面积=8-（2）=368（4）如图4.6从棱长为8的正方体的棱上挖去一个2的长方体形成一个新的几何体，求该几何体的表面积？分析：由图4.6可知，新几何体的前后两个面比原来的正方体前后面也是共少了2个AEHD面，而左右面共多了2个AEFB面，上下面则没有发生变化，（EHGF面可弥补ABCD面）。因此，新几何体的表面积总体来说比原来正方体的总面积少了2个AEHD面而多了2个AEFB面。解答：表面积=8-（2）+（2）=400（5）如图4.7从棱长为8的正方体的面上挖去一个2的长方体形成一个新的几何体，求该几何体的表面积？分析：由图4.7可知，新几何体的前后两个面比原来的正方体前后面也是共少了2个AEHD面，而左右面共多了2个AEFB面，上下面也多了2个EHGF面。因此，新几何体的表面积总体来说比原来正方体的总面积少了2个AEHD面而多了4个内壁面积（2个AEFB+2个EHGF）。解答：表面积=8-（2）+（2）+（4）=464五年级秋季班第四讲长方体和正方体曹威第四讲长方体和正方体4.3bacd通过以上几个例题分析我们发现，都是从正方体中挖去一个小长方体，由于小长方体的位置关系所以新几何体的表面积也是不一样的，但其中仍是有规律可循的。现总结如下。注：必须清楚多的是哪几个面，少的是哪几个面。拓展练习：1、在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，如图4.8所示。求该几何体的表面积？答案：（214）2、在一个棱长为6厘米的正方体的面上连续挖去两个棱长分别为4厘米和2厘米的正方体，构成如图4.9所示的新几何体，求新几何体的表面积。答案：（296）3、有一个边长为20厘米的大正方体，分别从它的角上，棱上，面上各挖掉一个大小相同的小正方体后，表面积变为2454平方厘米，（如图4.10）那么挖去的小立方体的边长是多少厘米？答案：32、切刀问题切刀问题也是立体图形中表面积的常考题，其关键就是：切一刀，增加2个面的面积（与刀面平行的2个面）。如图4.11图4.11竖直方向切一刀增加a和b两个绿面水平方向切一刀增加c和d两个黄面例2、看分割后总共切了几刀。水平方向锯成3片，因此需要切2刀，同样锯成4条需要切3刀，再锯成4小块也需要3刀。总共切了2+3+3=8刀，则增加62=12个面。因为是正方体，所以12个面都是相同的。最后48块小长方体的表面积和为原有的正方体的表面积再加上增加的12个面的面积。解答：表面积=（）（）例4、锯成5块需要4刀，因此表面积增加4个面，也就是说8个面的面积为96平方厘米一个面的面积就是96平方厘米，体积=12立方厘米。（没必要知道边长具体是多少，因为我们需要的是底面积高）2.4米=240厘米解答：体积=96（）没有挖穿挖穿角上挖去表面积不变。少2个穿透面。棱上挖去多2个面。少2个穿透面，多2个内壁面。面上挖去多4个面。少2个穿透面，多4个内壁面。五年级秋季班第四讲长方体和正方体曹威第四讲长方体和正方体4.4cab拓展练习：（1）一个棱长为2米的正方体木块，沿水平方向将他锯成3片，每片有锯成4长条，每长条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块，那么这60块长方体表面积的总和是多少平方米？答案：96平方米（2）三个小正方体拼成如图右所示，表面积比原来少了100平方厘米，求这个图形的体积？答案：375立方厘米3、堆积体的表面积问题对于由若干个小正方体堆积而成的不规则立体图形的表面积，只要掌握“三视图”的这个法宝即可。例3、如图4.12所示给出三视图解答：正视图看到的面积（4）右视图看到的面积（5）俯视图看到的面积（4）正视图右视图俯视图共8+10+8=26图4.12拓展练习：（1）求下列三图中立体图形的表面积。（每个小正方体的棱长都是1）（1）（2）（3）答案：（1）54（2）52（3）54（2）21个棱长为1厘米的小正方体组成一个立体图形，它的表面积是多少平方厘米？答案：58注：三视图的方法要注意中间有两个挡着的面积4、涂色问题对于涂色问题通过图4.13我们会发现，当一个棱长为abc的长方体各面被涂色又被分成若干个小块后，有3个面被染色的小长方体都在原长方体的角上共8个；有2个面被染色的小长方体都在原长方体的棱上个数为4+4（）；有1个面被涂色的小长方体都在原长方体的面上个数为22（）+2（）。没有被涂色的小长方体都在原长方体的“心”里。个数为正方体是特殊的长方体，方法同上。只不过正方体的a,b,c都是相同的记为n。图4.13补充练习（1）将一个表面积涂有红色的小长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有涂红色的小正方体只有3个，求原来长方体的表面积是多少？分析：一面都没凃色的小正方体应该在原长方体的“心”里，因为有3个没涂色的，所以还原出原长方体的长，宽和高，其中长只能为3+2=5，宽只能为1+2=3，高也只能为1+2=3。则表面积可求。解答：2（）（）（）（）（）（）图4.14（2）把一个8的长方体6面都染色，然后切成336个棱长为1的小正方体，那么336个小正方体中，3面被染色的有___个，2面被染色的有___个，1面被染色的有___个，没染色的有___个。答案：8、60、144、120。（3）将长为5，宽为3，高为1的长方体木块的表面涂上漆，再切成15块棱长为1的小长方体，则3个面被涂漆的小长方体有几个。答案：8块（此题为1层的长方体）五年级秋季班第四讲长方体和正方体曹威第四讲长方体和正方体4.5111121212111211212222211122222221222111222222111112121211121111122211涂色问题小结注：对于只有一层的长方体要单独考虑（二）体积的计算1、基础体积问题例6、法一：直接计算法，总的体积减去挖去体积。总的：5。挖去的：（1）从前往后看：3个。（2）从左往右看：1个。减得1是刚才里面算过的1个。（3）从上往下看：个减得3是（1）里算过的3个，减得1是（2）里算过的1个。最后一共是：125-15-4-6=100。法二：切片法。将该几何体从前向后一片一片切开，看有哪些体积。如图4.15所示。（1）22块（2）22块（3）12块（4）22块（5）22块图4.15所以一共是22+22+12+22+22=100块，当然，从左往右或从上往下切都可以。该物体的表面积的计算还是比较麻烦的，因为要考虑到内壁的表面积，所以用常规直接方法算较麻烦，我们仍可以按三视图的方法在前（后），左（右），上（下）三个面中5的每个小格里标出能看到的面积（有一个挡着的则标为2，表示有2个面积）如图4.16所示。从前往后看32个面从左往右看40个面从上往下看30个面图4.16黄色面为打通面，所以全是2.解答：（32+40+30）2=204拓展练习：（1）有一个长方体，长是宽的2倍，宽是高的3倍，长的与高的之和比宽多1厘米，求这个长方体的体积？（2）一长方体的表面积为33.66平方分米，其中一个面的长为2.3分米，宽为2.1分米，求其体积？（3）长方体的三个侧面积分别为12平方厘米，14平方厘米，42平方厘米，则长方体的体积是多少立方厘米？答案：（1）486立方厘米（2）立方分米（3）84立方厘米2、液面升降问题液面升降问题是体积计算中的常考题，其解题关键就是：物体进入水中的体积相当于液面上升（下降）水的体积。但需要我们注意的是，水面有可能高过物体，有可能没高过，依情况考虑。下面就这两种情况我们做一下简单分析。3个面被染色的（角上）2个面被染色的（棱上）1个面被染色的（面上）没有被染色的（心里）长方体棱长为abc84442（）正方体棱长为n的812（n-2）6（）（）五年级秋季班第四讲长方体和正方体曹威第四讲长方体和正方体4.6基础题：底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面浮着一块棱长为5厘米的正方体木块，木块浮出水面的高度为2厘米，若将木块从容器中取出，水面将下降多少厘米？分析：现在水面的高度可以认为水面下木块的体积和水一起的体积，当木块被取出后则水面肯定会下降，则下降的体积就是木块的体积：木块=立方厘米。则水面下降的高度就