四边形与几何变换

1四边形与几何变换一、轴对称1.折叠问题【例1】（三帆中学期中考试）如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果8AB，10BC，求EC的长．BDCAEF【例2】(2007年161中学期中考试)如图，矩形ABCD中，3AB，4BC，若将该矩形折叠，使点C与点A重合，求折痕EF的长．OFEDCBA【变式1】例题的条件不变，连接AF，CE．求证：AECF为菱形．【变式2】例题中的ABCD变为平行四边形，是否仍然有OEOF，AECF，AFCE？为什么？【变式3】例题中ABCD变为平行四边形，EF为经过O的任意直线，E、F分别为该直线与AD、BC或其延长线的交点，是否仍然有OEOF，AECF，AFCE？【例3】(2007年清华附中期末考试)如图，矩形纸片ABCD，3AB，4BC，沿对角线BD折叠(使ABD和EBD落在同一平面内)，求ABD和EBD重叠部分的面积．MEDCBA【补充】如图，矩形ABCD中，3cm4cmABBC，，现将AC重合，使纸片折叠压平，2设折痕为EF，试确定重叠部分AEF的面积．ABCDEFG【例4】(2006年西城区抽样测试)将矩形ABCD沿AC翻折，使点B落在点E处，连接DE、CE，过点E作EHAC，垂足为H．⑴若8AB，6AD．求DE的长；⑵四边形ACED中，比较AEEC与ACEH的大小．HDCEBA【例5】一张矩形纸，你能折出一个等边三角形吗?请写出你的一种折法，并证明折法的正确性．【变式】(西城期末考试附加题)请你在三条互相平行的直线(之间的距离是任意的)中画出一个等边三角形．【例6】如图，矩形ABCD中，3AB，4BC，若将该矩形折叠，使点C与点A重合，求折痕EF的长．ODCBAEF【变式】例题中的ABCD变为平行四边形，是否仍然有OEOF，AECF，AFCE？为什么？【变式】例题中ABCD变为平行四边形，EF为经过O的线段，E、F分别在AD、BC上，是否仍然有OEOF，AECF，AFCE？【变式】例题中ABCD变为平行四边形，EF为经过O的任意直线，E、F分别为该直线与AD、BC或其延长线的交点，是否仍然有OEOF，AECF，AFCE？【变式】例题中ABCD为菱形或者正方形，前一个变式中的结论是否仍然成立？【变式】例题中的ABCD变为正方形，A点向下移动到线段AB上某一点H，EFCH，且被CH平分，E、F分别在AD、BC上，求证：EFCH．3DCBAEFH【例7】（2009深圳）如图a是长方形纸带，20DEF，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的CFE的度数是．【例8】生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：(4)(3)(2)(1)PABMABMABMMBA如果由信纸折成的长方形纸条（图⑴）长为26cm，宽为cmx，分别回答下列问题：⑴为了保证能折成图⑷的形状（即纸条两端均超出点P），试求x的取值范围；⑵如果不但要折成图⑷的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离（用x表示）．2.线段的最值问题【例9】(07年三帆中学期中试题)如图，正方形ABCD中，8AB，M是DC上的一点，且2DM，N是AC上的一动点，求DNMN的最小值．NMDCBA【变式1】已知条件不变，求DNMN的最大值．ADACBAEACABAFADACDBAEAFCAGBAABAEAFCAGBAA图a图b图c4【变式2】已知条件不变，求DNMN的最小值与最大值．【例10】如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，2CM，点P是BD上一动点，则PMPC的最小值是．MPDCBA【补充】如图，在菱形ABCD中，4ABa，E在BC上，2ECa，120BAD，P在BD上，求PEPC的最小值．EDCBAP【补充】如图，P边边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M、N分别是AB、BC边上的中点，求MPNP的最小值．NMPDCBA【例11】(2000年全国数学联赛)如图，设正ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上的任意一点，PAPM的最大值和最小值分别记为s和t．求22st的值．MPCBA二、旋转【例12】（2009平谷一模改编）如图，在直角梯形ABCD中，ADBCBCAD∥，12ABBC，90B，E是AB上一点，且45DCE，10DE，求BE的长．5EDCBA【例13】如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EFGH、分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定HAF的大小，并证明你的结论．PHGFEDCBA【例14】（2009房山二模）⑴如图1，在四边形ABCD中，ABAD，90BD，EF、分别是边BCCD、上的点，且12EAFBAD．求证：EFBEFD；⑵如图2，在四边形ABCD中，ABAD，180BD，EF、分别是边BCCD、上的点，且12EAFBAD，⑴中的结论是否仍然成立？不用证明．⑶如图3，在四边形ABCD中，ABAD，180BADC，EF、分别是边BCCD、延长线上的点，且12EAFBAD，⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．图3图2图1FEDCBAFEDCBAFEDCBA【例15】如图，正方形ABCD内有一点P，1PA，2PB，3PC.（1）求PD的长；（2）求APB的大小；（3）求正方形的边长.BDCAP【变式1】变式1中其他条件不变，1PA，3PB，7PD，求APD的大小和正方形6的面积.【变式2】M是边长为1的正方形ABCD内一点，若2212MAMB，90CMD，求MCD的大小.【变式3】（西城外国语学校2007年期中试题）如图，P为正三角形内一点，PA、PB、PC满足关系式222PAPBPC，且5PC，设PAm，5n满足2(5)(69)0nmm，求2AB的值.BCAP【变式4】（北京市数学竞赛题）如图，P是边长为1的等边ABC内任意一点，求证：32PAPBPC.BCAP【例16】（2008湖北罗田改编）在RtABC中，90A，35ABAC，，以斜边BC为一边作正方形BCDE，正方形的中心为O，求AO的长．ODEFCBAOEDFABC【补充】已知正方形ABCD，在BC边上取一点E，作EFAE交C的外角平分线于F，求证：AEEF．DFCEBA【例17】（2009年西城一模）已知：24PAPB，，以AB为一边作正方形ABCD，使7PD、两点落在直线AB的两侧.⑴如图，当45APB时，求AB及PD的长；⑵当APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应APB的大小.PDCBA【补充】已知正方形ABCD和等腰RtBEF，EFBE，90BEF，按图甲放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连接EGCG、．⑴探索EGCG、的数量关系和位置关系，并说明理由；⑵将图甲中BEF绕B点顺时针旋转45得图乙，连接DF，取DF的中点G，问⑴中的结论是否成立？并说明理由；⑶将图甲中BEF绕B点转动任意角度（旋转角在0到90之间）得图丙，连接DF，取DF的中点G，问⑴中的结论是否成立，请说明理由．丙乙甲GFEGFEGFEABCDABCDDCBA【补充】两张大小适当的正方形纸片，如图所示重叠放在一起，重叠部分是一个凸八边形ABCDEFGH．对角线AE，CG分这个八边形为四个小的凸四边形．请你证明AECG且AECG．OHGFEDCBA三、平移【例18】（2007年101中学期中考试）如图（1），四边形EFGH中，若12，则3必然等于4.请运用结论证明下述问题：如图（2），在平行四边形ABCD中取一点P，使得56，求证：78.(2)8765BDCAP8【例19】如图，向ABC的外侧作正方形ABDE、ACFG．过A作AHBC于H，AH与EG交于P．求证：2BCAP．GABCDEFHP【例20】(07年北达资源期中试题)分别以ABC的三边长为边长，在形外作正方形ABMN，ACHK，BCFE，连接NK，ME，FH．⑴若ABC为任意三角形时，以NK，ME，FH为边能否构成三角形？为什么？⑵如果能，试探究以NK，ME，FH为边构成的三角形的面积与ABC的面积关系．HMFEKNCBA【变式】例题中已知条件不变，分别取三个正方形ABMN，ACHK，BCFE的中心1O、2O、3O．证明：123OOAO，123OOAO．HO2O1MFEKO3NCBA【习题1】(清华附中单元测试)在矩形ABCD中，①作出点C关于BD所在直线的对称点'C．②连结'CB，'CD，若'CBD与ABD重叠部分的面积等于ABD面积的23，求CBD的度数．课后作业9DCBA【习题2】在菱形ABCD中，60ABC，4BC，1CM，N为BD上一动点，求MNCN的最小值．MNDCBA【习题3】（2007年北京市中考第21题第(2)问）在平面直角坐标系xOy中，OEFG为正方形，点F的坐标为（1，1），将一个最短边长大于2的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上，若三角形纸片的直角顶点不与点O、F重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标.yx11OGFEyx11OGFE【备选1】（2009甘肃定西）如图，四边形ABCD中，90ABCCDA，ABBC，BEAD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE____________．EDCBA【备选2】已知P为边长为3的菱形ABCD对角线BD上的一个动点，点M、N分别为BC，CD边上的中点，MPNP的最小值是多少？月测备选10PNMDCBA【备选3】(北京市初中竞赛题)等腰直角ABC中，D为斜边AB的中点，E、F为腰AC、BC(异于端点)上的点，DEDF，10AB，求DEDF的取值范围．FEDCBA【备选4】已知RtABC，90A，以AB、BC为边向形内各作正方形ABDE和BCFG，连接AG、CD，求证：GACD．FECDBAG