直线方程中的对称问题

对称问题对称问题中心对称问题点关于于点的对称线关于点的对称轴对称问题点关于线的对称线关于线的对称1.点关于点对称①点关于点对称：说明两点P和Q关于点M对称的几何特征PMQ点M是线段PQ的中点点关于点的对称'),(),(AyxAnmO)2,2(ynxm注：)0,0(),(yx),(yx解题要点：中点公式的运用例1.已知点A(5,8)，B(-4，1)，试求A点关于B点的对称点C的坐标。知识运用与解题研究一、点关于点对称解题要点：中点公式的运用ACBxyOC(-13，-6)-4=5+x21=8+y2解:设C(x,y)则得x=-13y=-6∴···特殊的,P(x,y)关于下列直线的对称点:2、轴对称:①点关于线对称:关于X轴的对称点___________关于Y轴的对称点___________关于直线y=x的对称点____________关于直线y=-x的对称点_____________(x,-y)(-x,y)(y,x)(-y,-x)3点关于直线的对称点PQl垂直中点O说明两点P和Q关于直线l对称的几何特征直线l是线段PQ的垂直平分线，即xyOPQl：ax+by+c=0，a≠0,b≠0,点P(x0,y0),如何求点P关于直线l的对称点Q的坐标？1.线段PQ的中点在直线l上，2.线段PQ和直线l垂直问题研讨练一练、求点A(3,2)关于直线ｌ:y=2x+1的对称点B的坐标.解:设B点坐标为(a,b),因ｌ垂直平分线段AB,则解得a=–1,b=4.ｌA(3,2)Oxy2213232122baba所以所求点B的坐标为（－1，4）.B(a,b)（法一）：∵直线AB⊥l,直线AB过点（-7，1）∴直线AB的方程为y-1=-（x+7）即x+2y+5=021052052yxyx由解得13xy即AB的中点为（1，-3），又A（-7，1）由中点坐标公式得B的坐标为（9，-7）.例.求点A(-7,1)关于直线l:2x-y-5=0的对称点B的坐标.例.求点A(-7,1)关于直线l:2x-y-5=0的对称点B的坐标.（法二）：设B(m,n）由点关于直线对称的定义知:线段AB⊥l即;=-1①2)7(1mn线段AB被直线l平分,即线段AB的中点21,27nm在直线l上,故有2--5=0②27m21n联立①②解得m=9n=-7∴B(9,-7)(法三)设B(m,n）由点关于直线对称的定义知:线段AB⊥l即;=-1①2)7(1mn由题知：A，B两点关于直线l对称，则A,B两点到直线l的距离是相等的，则：联立①②解得m=9n=-7∴B(9,-7)例.求点A(-7,1)关于直线l:2x-y-5=0的对称点B的坐标点关于直线的对称'),(0:AbaAcByAxl②线关于点的对称问题：ABPDCmn说明两直线关于一点对称的几何特征对称中心到两平行直线的距离相等，利用平行直线系。直线m上任取两点A、B求出n上的对称点C、D后，由两点确定一条直线n上的任意一点的对称点在m上，利用相关点法。方法小结P(2,–1)xyOy=3x–4求直线y=3x–4关于点P(2,–1)的对称直线方程.（二）直线关于点的对称P(2,–1)xyOy=3x–4求直线y=3x–4关于点P(2,–1)的对称直线方程.求直线y=3x–4关于点P(2,–1)的对称直线方程.(,)MxyP设对称直线上任一点，则其关于的对称点P(2,–1)xyOy=3x–4法三：分析一:将直线的对称转化为直线上的点的对称.3100xy化简得3100.xy所求直线方程是上在直线43)2,4(Nxyyx4)4(32xy直线关于点对称法二：利用点到直线的距离l1//l2且P到两直线等距。主要方法：法一：转化成求点关于点的对称例.试求直线l1:x-y-2=0关于直线l2:3x-y+3=0对称的直线l的方程。解题要点：由线关于线对称转化为点关于点对称思考：若l1//l2,如何求l1关于l2的对称直线方程？C1lC2M(x,y)M＇(x1,y1)l1l2l1'（二）直线关于直线的对称练一练：求直线3x-2y+6=0关于直线x-2y+1=0的对称的直线方程。XYOP3x-2y+6=0x-2y+1=0x+18y+6=0AB分析：在直线3x-2y+6=0上取一点A（0,3），求它关于直线x-2y+1=0的对称点为B（2，-1）。由两直线方程联立方程组可求得交点P，由两点式或点斜式求出方程