第五章5.3概率的计算公式

概率的计算公式()()()()PABPAPBPAB(一)(广义)加法法则设Ａ、B是事件，则其他常用加法公式（1）若A与B互不相容，则)()()(BPAPBAP（2）若A与B为对立事件，则)()()(1APAPAAP可推广到有限多个互不相容事件：若A1，A2，…，An两两之间互不相容，则)()()()(2121nnAPAPAPAAAP)(1)(APAP例1、某班级有男生30人，女生20人，来自北京的有20人其中男15人、女5人。现随机选出一人参加评估考试。试求：选出的是男生或者是来自北京的概率。解记事件A＝｛选出男生｝，事件B＝｛选出的学生来自北京｝，则：所以：即：选出的是男生或者是来自北京的概率为0.7。()()()()0.60.40.30.7PABPAPBPAB302015()0.6,()0.4,()0.3505050PAPBPAB例2：某人选购了两支股票．据专家预测，在未来的一段时间里，第一支股票能赚钱的概率为2/3，第二支股票能赚钱的概率为3/4，两支股票都能赚钱胡概率为3/5，求此人购买这两支股票中，至少有一支能赚钱的概率．3.0)(BP6.0)(BAP)(BAPAB例3设、为两事件，且设，求二条件概率与乘法公式（1）、条件概率的定义设A、B是两个事件，且P(B)0,则称为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率。()(|)()PABPABPB定理设A与B是同一样本空间中的两个事件，如果P(A)0，则如果P(B)0，则上面均称为事件概率的乘法公式．定理1容易推广到求多个事件积事件概率的情况．)()()(APABPABP)()()(BPBAPABP则有且为事件设推广,0)(,,,:121321AAPAAA).()()()(213121321AAAPAAPAPAAAP事实上))(()(321321AAAPAAAP且,0)()(211AAPAP由于)()(21321AAAPAAP).()()(213121AAAPAAPAP右侧的条件概率均有意义,10掷骰子已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，于是P(A|B)=1/3.B中共有3个元素，它们的出现等可能的，其中只有1个在集A中，P(A)=1/6，B={掷出偶数点}，P(A|B)=？例，掷一颗均匀骰子A＝{掷出2}，容易看到：116()P(AB)336()PABPB例5设某种动物从出生起活20岁以上的概率为80%，活25岁以上的概率为40%．如果现在有一个20岁的这种动物，求它能活25岁以上的概率．解：设A表示“能活20岁以上”的事件，B表示“能活25岁以上”的事件,则有所求概率为,8.0)(AP因为.)()()(APABPABP,4.0)(BP.218.04.0)()()(APABPABP所以由于BA,所以P(AB)=P(B),例6某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，试求在该厂的产品中任取一件是一等品的概率．解：设A=“任取的一件是合格品”，B=任取的一件是一等品．因为且BA所以%,96)(1)(APAP%75)(ABP)()(ABPBP)()(ABPAP.72.01007510096例7在100件产品中有5件是次品，从中连续无放回地抽取3次，问第三次才取得次品的概率。解：设表示“第i次取得次品”（i=1，2，3）,B表示“第三次才取到次品”，则iA123BAAA123121312||959450.0461009998PBPAAAPAPAAPAAA例8.某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而接通电话的概率．若已知最后一位数字是奇数，那么此概率又是多少？解：设Ai=“第i次接通电话”，i=1，2，3，B=“拨号不超过3次接通电话”，则事件B的表达式为利用概率的加法公式和乘法公式321211AAAAAAB)(BP)|()|()()|()()(2131211211AAAPAAPAPAAPAPAP)()()(321211AAAPAAPAP.103819810991109101若已知最后一位数字是奇数，则)|()|()()|()()(2131211211AAAPAAPAPAAPAPAP53314354415451)(BP课堂练习设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.解B＝“透镜落下三次而未打破”.,321AAAB因为)()(321AAAPBP所以)()()(213121AAAPAAPAP)1091)(1071)(211(.2003)3,2,1(,iiAi次落下打破透镜第设一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.入场券5张同样的卡片，只有一张上写有“入场券”，其余的什么也没写.将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取.“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”后抽比先抽的确实吃亏吗？到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.综合运用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)0（三）全概率公式与贝叶斯公式1、完备事件组定义对于一系列事件：1,2,,iAin，如果两两互不相容，且A1∪A2∪…∪An=，则称它们为一个完备事件组。2、全概率公式设nAAA,,,21为一个完备事件组,对任一事件B,有BB显然BABABAn,,,21也两两互不相容，,21BABABAnBAAAn)(21ΩA1A2A3A4A6A7A5A8B由概率的可加性及乘法公式,有)()(21BABABAPBPnniiBAP1)(.)|()(1niiiABPAP这个公式称为全概率公式，它是概率论的基本公式.设nAAA,,,21为一个完备事件组,对任一事件B,有BB显然BABABAn,,,21也两两互不相容，,21BABABAnBAAAn)(21niiiABPAPBP1)|()()(全概率公式利用全概率公式，可以把较复杂事件概率的计算问题，化为若干互不相容的较简单情形，分别求概率然后求和．例8市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三家工厂的市场占有率分别为30％、20％、50％,且三家工厂的次品率分别为3％、3％、1％，试求市场上该品牌产品的次品率.设A1、A2、A3分别表示买到一件甲、乙、丙的产品；B表示买到一件次品，解.02.001.05.003.02.003.03.0,5.0)(,2.0)(,3.0)(321APAPAP加权平均显然A1、A2、A3构成一个完备事件组，由题意有31)|()()(iiiABPAPBP,01.0)|(,03.0)|(,03.0)|(321ABPABPABP由全概率公式，例9袋中有a个白球b个黑球，不放回摸球两次，问第二次摸出白球的概率为多少？解分别记A,B为第一次、第二次摸到白球，由全概率公式,)|()()|()()(ABPAPABPAPBPbaa.baa可以想见，第三次、第四次…摸出白球的概率仍为baa，这体现了抽签好坏与先后次序无关的公平性.11baabab1baa在上面例8中，如买到一件次品，问它是甲厂生产的概率为多大？这就要用到贝叶斯公式.)()()|(BPBAPBAPkk,)|()()|()(1niiikkABPAPABPAP),,2,1(nk(贝叶斯公式)设nAAA,,,21为一个完备事件组,定理0)(iAP,ni,,1,对任一事件B,若0)(BP,有niiikkkABPAPABPAPBAP1)|()()|()()|(贝叶斯公式该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因Ak的概率.),,2,1(nk)()|()()|(111BPABPAPBAP,3.002.003.02.0)|(2BAP.25.002.001.05.0)|(3BAP所以这件商品最有可能是甲厂生产的.例10已知三家工厂的市场占有率分别为30％、20％、50％,次品率分别为3％、3％、1％.如果买了一件商品，发现是次品，问它是甲、乙、丙厂生产的概率分别为多少?,45.002.003.03.0:)(iAP0.3,0.2,0.5:)|(BAPi0.45,0.3,0.25解解设iA为第一次取到i个新球，2,1,0i，例1110个乒乓球有7个新球3个旧球.第一次比赛时随机取出2个，用过后放回.现在第二次比赛又取出2个，问第二次取到几个新球的概率最大？jB为第二次取到i个新球，2,1,0j，210,,AAA构成一个完备事件组，210237)(CCCAPiii，2,1,0i,210237)|(CCCABPjijiij，2,1,0,ji，210237)(CCCAPiii，210237)|(CCCABPjijiij，2,1,0,ji，具体计算得151)(0AP，157)(1AP，157)(2AP,151)|(00ABP，152)|(10ABP，92)|(20ABP,157)|(01ABP，158)|(11ABP，95)|(21ABP,157)|(02ABP，31)|(12ABP，92)|(22ABP，由全概率公式，2000)|()()(iiiABPAPBP,17.092157152157151151,54.095157158157157151)(1BP,29.09215731157157151)(2BP所以第二次取到一个新球的概率最大.（四）独立事件的概率公式由条件概率，知)()()(BPABPBAP一般地，)()(APBAP这意味着：事件B的发生对事件A发生的概率有影响.然而，在有些情形下又会出现：)()(APBAP.,,,)()()(,,独立简称相互独立则称事件如果满足等式是两事件设BABABPAPABPBA注.1º则若,0)(AP)()(BPABP)()()(BPAPABP说明事件A与B相互独立,是指事件A的发生与事件B发生的概率无关.独立与互斥的关系这是两个不同的概念.两事件相互独立)()()(BPAPABP两事件互斥AB二者之间没有必然联系独立是事件间的概率属性互斥是事件间本身的关系若A与B互斥，则AB=B发生时，A一定不发生.0)(BAP这表明:B的发生会影响A发生的可能性(造成A不发生),即B的发生造成A发生的概率为零.所以A与B不独立.理解:BA若事件A与B相互独立,则以下三对事件也相互独立.①；与BA②；与BA③.BA与注称此为二事件的独立性关于逆运算封闭.甲,乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中敌机的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5,求敌机被击中的概率.解设A={甲击中敌机}B={乙击中敌机}C={敌机被击中}.BAC则依题设,5.0)(,6.0)(BPAP∴A与B不互斥例12(P(A)+P(B)=1.11≥P(AB))由于甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，所以A与B独立,进而.独立与BABACBA)(1)(CPCP)