7旋转3.对角互补及最值问题(2014-2015)全解

毕业班解决方案模块课程初三数学.几何模块突破.旋转3.教师版Page1of17旋转3—对角互补及最值问题2015年中考解决方案学生姓名：上课时间：毕业班解决方案模块课程初三数学.几何模块突破.旋转3.教师版Page2of17内容基本要求略高要求较高要求旋转了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角能运用旋转的知识解决简单问题☞对角互补旋转模型图（全等型—90°）OABCEDNOMABCED（全等型—120°）OEDCBAOFEDCBA（全等型—任意角）OEDCBA中考满分必做题旋转3中考说明毕业班解决方案模块课程初三数学.几何模块突破.旋转3.教师版Page3of17此类题目有角含半角的旋转图形转化而来。去掉EFC，五边形ABEFD就是对角互补模型，此题关键是出现对角互补和连有公共顶点的想等线段，这是解题的关键。FEDCBAGFEDCBA【例1】如图所示，在四边形ABCD中，ABBC，90AC，135B，K、N分别是AB、BC上的点，若BKN的周长为AB的2倍，求KDN的度数．KNDCBA【例2】如图所示，在五边形ABCDE中，90BE，ABCDAE1BCDE，求此五边形的面积．EDCBA【巩固】如图，已知五边形ABCDE中，90ABCAED，2ABCDAEBCDE．求该五边形的面积．EDCBA毕业班解决方案模块课程初三数学.几何模块突破.旋转3.教师版Page4of17【例3】五边形ABCDE中，已知ABAE，BCDECD，180ABCAED，连接AD．求证：AD平分CDE．EDCBA【例4】四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角三角形ABD和直角三角形CBD，其中A和C都是直角，另一条对角线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积．DCBA【例5】如图，已知90AOB，在AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E．当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时，如图⑴，易证：2ODOEOC．当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图⑵、图⑶这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．（和第二问讲义的某题一样）（1）ABMEODC（2）ABMEOQPDCD（3）ABMEOC毕业班解决方案模块课程初三数学.几何模块突破.旋转3.教师版Page5of17【例6】已知MAN，AC平分MAN．（1）在图1中，若MAN120，90ABCADC，求证：ABADAC；（2）在图2中，若MAN120，180ABCADC，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由;（3）在图3中：①若60MAN，180ABCADC，则ABAD=____AC②若MAN(0180)，180ABCADC，则ABAD=____AC（用含的三角函数表示），并给出证明．MMMBCDBDCANCBANDAN毕业班解决方案模块课程初三数学.几何模块突破.旋转3.教师版Page6of17【例7】已知，点P是MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使180APBMON．（1）利用图1，求证：PA=PB；（2）如图1，若点C是AB与OP的交点，当3POBPCBSS时，求PB与PC的比值；（3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP交ON于点D，且满足且PBDABO，请借助图3补全图形，并求OP的长．CAOPBMNTTNMBPOAC图1图2图3TNMBPOA毕业班解决方案模块课程初三数学.几何模块突破.旋转3.教师版Page7of17最值问题OA与OB共用顶点O，固定OA将OB绕点O旋转过程中的，会出现AB的最大值与最小值，如图．最大值位置最小值位置BOA【例8】如图所示，ABD是等边三角形，在ABC中，BCa，CAb，问：当ACB为何值时，C、D两点的距离最大？最大值是多少？DCBA【例9】已知：2PA，4PB，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．⑴如图，当45APB时，求AB及PD的长；⑵当APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值及相应APB的大小．（09西城一模）PDCBA毕业班解决方案模块课程初三数学.几何模块突破.旋转3.教师版Page8of17【例10】已知：2AD，4BD，以AB为一边作等边三角形ABC．使C、D两点落在直线AB的两侧．（1）如图，当∠ADB=60°时，求AB及CD的长；（2）当∠ADB变化，且其它条件不变时，求CD的最大值，及相应ADB的大小．（13年通州一模）DACB【例11】已知：AOB中，2ABOB，COD中，3CDOC,ABODCO．连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点．MMDBADACCBNPONPO图1图2(1)如图1，若A、O、C三点在同一直线上，且60ABO∠，则PMN的形状是________________，此时ADBC________；(2)如图2，若A、O、C三点在同一直线上，且2ABO∠，证明PMNBAO∽，并计算ADBC的值（用含的式子表示）；(3)在图2中，固定AOB，将COD绕点O旋转，直接写出PM的最大值．毕业班解决方案模块课程初三数学.几何模块突破.旋转3.教师版Page9of17【例12】如图1，已知ABC是等腰直角三角形，90BAC,点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．（1）试猜想线段BG和AE的数量关系是________________；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转)3600(，①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；②若4DEBC，当AE取最大值时，求AF的值．（2014年燕山一模）【例13】在ABC中，4AB，6BC，30ACB，将ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到11ABC．（1）如图1，当点1C在线段CA的延长线上时，求11CCA的度数；（2）如图2，连接1AA，1CC．若1CBC的面积为3，求1ABA的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点1P，直接写出线段1EP长度的最大值与最小值．毕业班解决方案模块课程初三数学.几何模块突破.旋转3.教师版Page10of17C1CBA1A图2A1C1ABC图1图3PP1EA1AC1CB(2013年昌平一模)毕业班解决方案模块课程初三数学.几何模块突破.旋转3.教师版Page11of17费马点与旋转☞考点说明：到三个定理的三条线段之和最小，夹角都为120°．旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题皮耶·德·费马（PierredeFermat）是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家．之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作．他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为“费尔玛”（注意“玛”字）．费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个．著名的数学史学家贝尔（E．T．Bell）在20世纪初所撰写的著作中，称皮耶·德·费马为”业余数学家之王“．贝尔深信，费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学家更有成就，然而皮耶·德·费马并未在其他方面另有成就，本人也渐渐退出人们的视野，考虑到17世纪是杰出数学家活跃的世纪，因而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星．费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的．托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题．这一问题的解决极大推动了联合数学的发展，在近代数学史上具有里程碑式的意义．结论：（1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PAPBPC，当点P为费马点时，距离之和最小．特殊三角形中：(2)．三内角皆小于120°的三角形，分别以AB,BC,CA为边，向三角形外侧做正三角形1ABC1ACB,1BCA,然后连接1AA,1BB,1CC,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点．(3)．若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求的费马点．(4)当ABC为等边三角形时,此时内心与费马点重合下面简单说明如何找点P使它到ABC三个顶点的距离之和PAPBPC最小？这就是所谓的费尔马问题．P'C'PCBA图1毕业班解决方案模块课程初三数学.几何模块突破.旋转3.教师版Page12of17解析：如图1，把APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′．则△APP′为等边三角形，AP=PP′，P′C′=PC，所以PAPBPC=PP′+PB+P′C′．点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长，所以当B、P、P′、C′四点在同一直线上时，PAPBPC最小．这时∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°，∠APC=∠AP′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°，∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120°因此，当ABC的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°，可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．【例14】阅读下列材料对于任意的ABC，若三角形内或三角形上有一点P，若PAPBPC有最小值，则取到最小值时，点P为该三角形的费马点．①若三角形内有一个内角大于或等于120，这个内角的顶点就是费马点②若三角形内角均小于120，则满足条件120APBBPCAPC时，点P既为费马点解决问题：(1)如图，ABC中，三个内角均小于120，分别以AB、AC为边向外作等边ABD、ACE，连接CD、BE交于点P，证明：点P为ABC的费马点．(即证明120APBBPCAPC)且PAPBPCCD(2)如图，点Q为三角形内部异于点P的一点，证明：QAQCQBPAPBPC(3)若30ABC，3AB，4BC，直接写出PAPBPC的最小值PEDCBAQABCDEP毕业班解决方案模块课程初三数学.几何模块突破.旋转3.教师版Page13of17【巩固】若点P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点．（1）若P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4,则PB的值为_________；（2）如图8，在锐角△ABC的外侧作等边△ACB′，连结BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′=PA+PB+PC．图8【巩固】如图所示，在四边形ABCD中，ABBC,60ABC，P为四边形ABCD内部一点，120APD，证明：PAPDPCBD．PDCBA毕业班解决方案模块课程初三数学.几何模块突破.旋转3.教师版Page14of1