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§8.4直线、平面平行的判定及性质[高考调研明确考向]考纲解读考情分析•以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、面面平行的判定定理与有关性质.•线面平行、面面平行的判定及性质是命题的热点．•着重考查线线、线面、面面平行的转化及应用．题型多为选择题与解答题.知识梳理1.直线与平面平行(1)判定定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面□1____的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行(简记为线线平行⇒线面平行).□2⇒l∥α(2)性质定理：文字语言图形语言符号语言性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和□3____平行(简记线面平行⇒线线平行).□4⇒a∥b2.平面与平面平行(1)判定定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内有两条□5____的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)□6⇒α∥β(2)两平面平行的性质定理：文字语言图形语言符号语言性质定理如果两平行平面同时和第三个平面□7____，那么它们的□8____平行□9⇒a∥b答案：□1外□2l⊄α；a⊂α；a∥l□3交线□4a∥α；a⊂β；α∩β＝b□5相交□6a⊂α；b⊂α；a∩b＝P；a∥β；b∥β□7相交□8交线□9α∥β；α∩γ＝a；β∩γ＝b名师微博●三种转化平行关系的转化平面与平面平行的判定与性质和直线与平面平行的判定与性质一样，体现了转化与化归的思想．三种平行关系如图．性质过程的转化实施，关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行化为线面平行并进而化为线线平行，注意作平面时要有确定平面的依据．●两个防范(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行.基础自测1.已知α∥β，a⊂α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线解析：因为a与B确定一个平面，该平面与β的交线即为符合条件的直线．答案：D2．对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是()A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n解析：A中n与α可能相交，B中n与α可能平行，D中m、n可能相交，C中m即m、n所在平面与α的交线．答案：C3．已知直线a、b和平面α、β，则在下列命题中，真命题为()A．若a∥β，α∥β，则a∥αB．若α∥β，a⊂α，则a∥βC．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥bD．若a∥β，b∥α，α∥β，则a∥b解析：A中a可能在α内，C中a、b可能异面，D中a、b可能异面，B中α∥β，a⊂α，则a与β无公共点，∴a∥β.答案：B4．在四面体ABCD中，M、N分别为△ACD和△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是__________．解析：∵M、N分别为△ACD与△BCD的重心，∴MN∥AB.∴MN∥面ABC，MN∥面ABD.答案：面ABC、面ABD5．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：①a∥cb∥c⇒a∥b；②a∥γb∥γ⇒a∥b；③α∥cβ∥c⇒α∥β；④α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤a∥cα∥c⇒α∥a；⑥a∥γα∥γ⇒α∥a.其中所有正确命题的序号是__________．解析：①三线平行公理；②两直线同时平行于一平面，这两条直线可相交、平行或异面；③两平面同时平行于一直线，这两个平面相交或平行；④面面平行传递性；⑤一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平面可平行或直线在平面内；⑥一直线和一平面同时平行于另一平面，这条直线和平面可平行也可能直线在平面内，故①④正确．答案：①④[例1]如图所示，已知P、Q是正方体ABCD－A1B1C1D1的面A1B1BA和面ABCD的中心．证明：PQ∥平面BCC1B1.考点一直线与平面平行的判定与性质证明：方法一，如图①，取B1B中点E，BC中点F，连接PE、QF、EF，①∵△A1B1B中，P、E分别是A1B和B1B的中点，∴PE綊12A1B1.同理QF綊12AB.又A1B1綊AB，∴PE綊QF.∴四边形PEFQ是平行四边形．∴PQ∥EF.②又PQ⊄平面BCC1B1，EF⊂平面BCC1B1，∴PQ∥平面BCC1B1.方法二，如图②，连接AB1，B1C.∵△AB1C中，P、Q分别是AB1和AC的中点，∴PQ∥B1C.又PQ⊄平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1，∴PQ∥平面BCC1B1.方法点睛利用判定定理时关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.变式训练1如图，若PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面PCE.证明：取PC的中点M，连接ME、MF，则FM∥CD且FM＝12CD.又∵AE∥CD且AE＝12CD，∴FM綊AE，即四边形AFME是平行四边形．∴AF∥ME，又∵AF⊄平面PCE，EM⊂平面PCE，∴AF∥平面PCE.[例2]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点．求证：平面MNP∥平面A1C1B.考点二平面与平面平行的判定与性质证明：连接D1C，则MN为△DD1C的中位线，∴MN∥D1C.又∵D1C∥A1B，∴MN∥A1B.同理，MP∥C1B.而MN与MP相交，MN，MP在平面MNP内，A1B，C1B在平面A1C1B内．∴平面MNP∥平面A1C1B.方法点睛证明面面平行的方法有：①面面平行的定义；②面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；③利用垂直于同一条直线的两个平面平行；④两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；⑤利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．变式训练2如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明：(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG，∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.[例3]如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．考点三线面平行中的探索问题解析：存在点E，且E为AB的中点．下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF,DF∥B1C1∵AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1.∵B1C1与AB1是相交直线，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.方法点睛解决探索性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．变式训练3如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内有BE⊥PC于E，且BE＝63a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD.解析：在平面PCD内，过E作EG∥CD交PD于G，连接AG，在AB上取点F，使AF＝EG，则F即为所求作的点．EG∥CD∥AF，EG＝AF，∴四边形FEGA为平行四边形．∴FE∥AG.又AG⊂平面PAD，FE⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD.又在△BCE中，CE＝BC2－BE2＝a2－23a2＝33a.在Rt△PBC中，BC2＝CE·CP，∴CP＝a233a＝3a.又∵EGCD＝PEPC＝PC－CEPC，∴EG＝AF＝23a.∴点F为AB的一个三等分点.答题模板构建(五)立体几何中的探索性问题[试题](2012·太原模拟，12分)如图，在四棱锥S－ABCD中，已知底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD＝90°，SA⊥底面ABCD，SA＝AB＝BC＝2.tan∠SDA＝23.(1)求四棱锥S－ABCD的体积；(2)在棱SD上找一点E，使CE∥平面SAB，并证明．规范解答：(1)∵SA⊥底面ABCD，tan∠SDA＝23，SA＝2，∴AD＝3.(3分)由题意知四棱锥S－ABCD的底面为直角梯形，且SA＝AB＝BC＝2，VS－ABCD＝13×SA×12×(BC＋AD)×AB＝13×2×12×(2＋3)×2＝103.(6分)(2)当点E位于棱SD上靠近D的三等分点处时，可使CE∥平面SAB.(8分)取SD上靠近D的三等分点为E，取SA上靠近点A的三等分点为F，连接CE，EF，BF，则EF綊23AD，BC綊23AD，∴BC綊EF.∴CE∥BF.又∵BF⊂平面SAB，CE⊄平面SAB，∴CE∥平面SAB.模板建构：对于探索问题，书写步骤的格式有两种：一种是：第一步，探求出点的位置．第二步，证明符合要求．第三步，给出明确答案．第四步，反思回顾．查看关键点．易错点和答题规范．另一种是：从结论出发，“要使什么成立”，“只须使什么成立”，寻求使结论成立的充分条件，类似于分析法.