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7．2简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考纲点击1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．2．理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．考点梳理1.简单的逻辑联结词(1)①______________叫做逻辑联结词．(2)用联结词“且”联结命题p和命题q，记作②______，读作③__________.(3)用联结词“或”联结命题p和命题q，记作④______，读作“p或q”．(4)对一个命题p全盘否定记作⑤______，读作“非p”或“p的否定”．(5)真值表：表示命题真假的表叫真值表由命题p、q及逻辑联结词形成的新命题的真假可以通过下面的真值表来加以判断.pq非pp或qp且q真真⑥______⑦______⑧______真假⑨______⑩______⑪______假真⑫______⑬______⑭______假假⑮______⑯______⑰______2.量词(1)短语“所有的、任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词；常见的全称量词还有“一切、每一个、任给、所有的”等．(2)含有⑱__________的命题叫做全称命题．(3)短语“存在一个、至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词；常见的存在量词还有“有些、有一个、某个”等．(4)含有⑲__________的命题叫做特称命题．(5)全称命题p：∀x∈M，p(x)的否定綈p：⑳_________；全称命题的否定是○21______命题．(6)特称命题p：∃x∈M，p(x)的否定綈p：○22__________；特称命题的否定是○23______命题．答案：①“且”“或”“非”②p∧q③“p且q”④p∨q⑤p⑥假⑦真⑧真⑨假⑩真⑪假⑫真⑬真⑭假⑮真⑯假⑰假⑱全称量词⑲存在量词⑳x∈M，p(x)○21特称○22∀x∈M，p(x)○23全称考点自测1.全称命题“∀x∈Z,2x＋1是整数”的逆命题是()A．若2x＋1是整数，则x∈ZB．若2x＋1是奇数，则x∈ZC．若2x＋1是偶数，则x∈ZD．若2x＋1能被3整除，则x∈Z解析：命题“∀x∈Z,2x＋1是整数”的条件为：x∈Z，结论为：2x＋1是整数．答案：A2．命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题，则下列判断正确的是()A．命题“p”与“q”真假不同B．命题“p”与“q”至多有一个是假命题C．命题“p”与“q”真假相同D．命题“p∧q”是真命题解析：p且q是假命题⇒p和q中至少有一个假，则綈p和綈q至少有一个是真命题．p或q是假命题⇒p和q都是假命题．则綈p和綈q都是真命题．答案：D3．已知p：2＋2＝5；q：3＞2，则下列判断错误的是()A．“p∨q”为真，“q”为假B．“p∧q”为假，“p”为真C．“p∧q”为假，“p”为假D．“p∧q”为假，“p∨q”为真解析：∵2＋2＝5是错误的，∴命题p为假命题．∵q为真命题，綈q为假，∴p∨q为真，p∧q为假，綈p为真．答案：C4．下列全称命题中假命题的个数是__________．①2x＋1是整数(x∈R)②∀x∈R，x＞3③∀x∈Z,2x2＋1为奇数解析：①、②是假命题．答案：25．命题“∀x∈R，∃m∈Z，m2－m＜x2＋x＋1”是__________命题．(填“真”或“假”)解析：由于∀x∈R，x2＋x＋1＝x＋122＋34≥34＞0，因为只需m2－m≤0，即0≤m≤1，所以当m＝0或m＝1时，∀x∈R，m2－m＜x2＋x＋1成立，因此命题是真命题．答案：真疑点清源1.逻辑联结词“或”的含义有三种逻辑联结词中的“或”的含义，与并集概念中的“或”的含义相同．如“x∈A或x∈B”，是指：x∈A且x∉B；x∉A且x∈B；x∈A且x∈B三种情况．再如“p真或q真”是指：p真且q假；p假且q真；p真且q真三种情况．因此，在遇到逻辑联结词“或”时，要注意分析三种情况．2．正确区别：命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系.题型探究题型一含有逻辑联结词的命题真假判定例1已知命题p：∃x∈R，使tanx＝1，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧q”是假命题；③命题“p∨q”是真命题；④命题“p∨q”是假命题．其中正确的是()A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④解析：命题p：∃x∈R，使tanx＝1是真命题，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}也是真命题，∴①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧q”是假命题；③命题“p∨q”是真命题；④命题“p∨q”是假命题，故应选D.答案：D点评：正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是关键，解题时应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．其步骤为：①确定复合命题的构成形式；②判断其中简单命题的真假；③根据其真值表判断复合命题的真假．变式探究1若命题p：不等式ax＋b＞0的解集是{x|x＞－ba}，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)＜0的解集是{x|a＜x＜b}，则在命题：“p且q”、“p或q”、“非p”、“非q”中，是假命题的有__________．解析：依题意可知命题p和q都是假命题，所以“p且q”为假、“p或q”为假、“非p”为真、“非q”为真．答案：“p且q”、“p或q”题型二判断全称命题与特称命题的真假例2判断下列命题是否是全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假．(1)有一个实数α，sin2α＋cos2α≠1；(2)任何一条直线都存在斜率；(3)所有的实数a，b，方程ax＋b＝0恰有唯一解；(4)存在实数x，使得1x2－x＋1＝2.解析：本题考查全称命题以及特称命题的含义以及符号表示，可以按照定义进行求解．(1)是一个特称命题，用符号表示为：∃α∈R，sin2α＋cos2α≠1，是一个假命题．(2)是一个全称命题，用符号表示为：∀直线l，l存在斜率，是一个假命题．(3)是一个全称命题，用符号表示为：∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有唯一解，是一个假命题．(4)是一个特称命题，用符号表示为：∃x∈R，1x2－x＋1＝2，是一个假命题．点评：短语“所有”、“任意”、“凡是”、“每一个”等在陈述句中都表示事物的全体，这些语词都可以理解为全称量词，相应的命题叫做全称命题．短语“有一个”、“有些”、“至少有一个”在陈述句中都表示事物的个体或部分，可以理解为存在量词，相应的命题叫做特称命题．变式探究2判断下列命题的真假：(1)每个指数函数都是单调函数；(2)任何实数都有算术平方根；(3)∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；(4)∃x∈R，x3≤0.解析：(1)指数函数的形式为y＝ax(其中a＞0且a≠1)，定义域{x|x∈R}，对每一个符合题意的a，函数y＝ax都是单调的，当a＞1时，函数y＝ax在R上为增函数．当0＜a＜1时，函数y＝ax在R上为减函数，所以，全称命题“每个指数函数都是单调函数”是真命题．(2)－1是实数，但x2＝－1无解，也就是－1无意义，所以，全称命题“任何实数都有算术平方根”是假命题．(3)3是无理数，但(3)2＝3是有理数，所以，全称命题“∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数”是假命题．(4)由于－1∈R，当x＝－1时，x3≤0，所以，特称命题“∃x∈R，x3≤0”是真命题.题型三全(特)称命题的否定例3写出下列命题的“否定”，并判断其真假．(1)p：∀x∈R，x2－x＋14≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.解析：(1)p：∃x∈R，x2－x＋14＜0，这是假命题，因为∀x∈R，x2－x＋14＝(x－12)2≥0恒成立．(2)q：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题．(3)r：∀x∈R，x2＋2x＋2＞0，是真命题，这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1＞0成立．(4)s：∀x∈R，x3＋1≠0，是假命题，这是由于x＝－1时，x3＋1＝0.点评：这四个命题中，p，q是全称命题，r，s是特称命题．全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定p：∃x∈M，p(x)．特称命题q：∃x∈M，q(x)，它的否定q：∀x∈M，q(x)．变式探究3写出下列命题的否定并判断真假．(1)p：所有末位数字是0的整数都能被5整除；(2)q：∀x≥0，x2＞0；(3)r：存在一个三角形，它的内角和大于180°；(4)t：某些梯形的对角线互相平分．解析：(1)p：存在一个末位数字是0的整数不能被5整除，假命题．(2)q：x≥0，x2≤0，真命题．(3)r：所有三角形的内角和都小于等于180°，真命题．(4)t：每一个梯形的对角线都不互相平分，真命题.题型四由命题真假求参数的取值范围例4已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．解析：若方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，则Δ＝m2－4＞0m＞0，解得m＞2，即p：m＞2；若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0，解得：1＜m＜3，即q：1＜m＜3.因p或q为真，所以p、q至少有一个为真，又p且q为假，所以p、q至少有一个为假，因此，p、q两命题应一真一假，即p为真，q为假或p为假，q为真．∴m＞2，m≤1或m≥3，或m≤2，1＜m＜3，解得：m≥3或1＜m≤2.点评：解决这类问题时，应先根据题目条件，即复合命题的真假情况，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)，然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围，最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．变式探究4已知c＞0，命题p：函数y＝cx在R上单调递减，q：不等式x＋|x－2c|＞1的解集为R，p∧q为假，p∨q为真，求c的取值范围．解析：函数y＝cx在R上单调递减⇔0＜c＜1.不等式x＋|x－2c|＞1的解集为R⇔函数y＝x＋|x－2c|在R上恒大于1.∵x＋|x－2c|＝2x－2c，x≥2c，2c，x＜2c，∴函数y＝x＋|x－2c|在R上的最小值为2c.不等式x＋|x－2c|＞1的解集为R⇔2c＞1⇔c＞12.如果p正确，且q不正确，则0＜c≤12；如果p不正确，且q正确，则c≥1.∴c的取值范围为0，12∪[1，＋∞).归纳总结•方法与技巧1．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，并注意与否命题区别；对于命题否定的真假，可以直接判定，也可以先判定原命题，再判定其否定．判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举反例即可；特称命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真．2．要把握命题的形成、相互转化，会根据复合命题，或命题的否定来判断简单命题的真假．3．全称命题与特称命题可以互相转化，即从反面处理，再求其补集．•失误与防范1．p∨q为真命题，只需p、q有一个为真即可，p∧q为真命题，必须p、q同时为真．2．p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.3．全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．4．简单逻辑联结词内容的考查注重基础、注重交汇，较多地考查简单逻辑与其他知识的综合问题，要注意其他知识的提取与应用，一般先化简转化命题，再处理关系.新题速递1.(2012·福建卷)下列命题中，真命题是()A．∃x0∈R，ex0≤0B．∀x∈R,2x＞x2C．a＋b＝0的充要条件是ab＝－1D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件解析：∀x∈R，ex＞0，所以A错；当x＝2时，2x＝x2，因此B错；a＋b＝0中b可取0，而ab＝－1中b不可取0，因此，两者