1-优化设计的数学基础

汽车仿真与控制国家重点实验室汽车优化设计李杰教授[e-mail]@ascl.jlu.edu.cn吉林大学汽车仿真与控制国家重点实验室第1章优化设计的数学基础（1）主要内容1.11.21.3矩阵代数矢量代数多元函数及其极值（2）特点（1）已有知识的总结（2）已有知识的扩充（3）以后公式推导的基础（4）引入Matlab吉林大学吉林大学汽车仿真与控制国家重点实验室1.1矩阵代数1.1.1矩阵、行列式1.1.2矩阵的主要类型1.1.3矩阵的运算1.1.4矩阵的正定a汽车仿真与控制国家重点实验室1.1矩阵代数1.1.1矩阵、行列式一、矩阵的定义（1）由m×n个数或符号，按照一定次序排列成具有m行n列的“表”，称之为m×n阶矩阵，简称矩阵，记为[aij]a11A21am1a12a22am2a1na2namn（2）矩阵中的每一个数或符号，称为“元素”或“元”，用符号aij表示，i和j分别表示元素在矩阵的位置是第i行和第j列。吉林大学汽车仿真与控制国家重点实验室二、行列式的定义由n2个数组成的n行n列矩阵形式确定的一个数，称之为行列式，记为三、矩阵与行列式的区别（1）矩阵为表，行列式为数；（2）矩阵元素为m×n个，行列式的元素为n2个；（3）表示符号不同，矩阵符号用[]表示，行列式符号用||表示。吉林大学annan2an1a1na2na12a22a11a21吉林大学汽车仿真与控制国家重点实验室四、矩阵的matlab表示（1）用“[]”作为矩阵的标识，矩阵元素应在“[]”内部（2）矩阵通过“行输入方式”进行赋值（3）行与行之间用“；”或回车符分隔（4）每行元素之间用“，”或空格分隔（5）矩阵赋值后，如果不想显示结果，在最后用“；”结束如，A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]%矩阵A赋值五、行列式的matlab表示det(A)%A必须先赋值a汽车仿真与控制国家重点实验室1.1.2矩阵的主要类型一、行矩阵和列矩阵（1）仅有一行的矩阵，称为行矩阵，记为（2）仅有一列的矩阵，称为列矩阵，记为（3）行矩阵的matlab表示A=[1,2,34,5,67,8,9]（4）列矩阵的matlab表示A=[1；2；3；4；5；6；7；8；9]吉林大学a2an]A[a1a1A2am汽车仿真与控制国家重点实验室二、零矩阵（1）所有元素为零的矩阵，称为零矩阵，以符号Ⓗ或O表示，相当于一般代数中零的作用。（2）零矩阵既可以是m×n阶的，也可以是n×n阶的。（3）零矩阵的matlab表示A=zeros(m,n)%生成m×n的零矩阵A三、转置矩阵（1）将矩阵A的行与列对换得到的矩阵，称为A矩阵的转置矩阵，用AT表示，即吉林大学aaA12aA2[a1汽车仿真与控制国家重点实验室（2）根据转置矩阵的概念，行矩阵的转置为列矩阵，列矩阵的转置为行矩阵，即Ta21am1a22am2a2namna11a1na2am]T%A必须先赋值a1am（3）转置矩阵的Matlab表示A’或tanspose(A)吉林大学a1na2namna12a22am2a11A21am1汽车仿真与控制国家重点实验室四、相等矩阵（1）如果两个矩阵的阶相同，且对应的元素完全相同，则这两个矩阵相等。（2）相等矩阵的Matlab表示B=A%A必须先赋值五、方阵行数与列数相等的矩阵，称为方阵。方阵A的元素称为方阵的主对角元素。方阵A全部元素构成的行列式，称为矩阵A的行列式，记为|A|。吉林大学aii汽车仿真与控制国家重点实验室六、单位矩阵（1）主对角元素均为1，其余元素都为零的方阵，称为单位矩阵，以E符号表示，相当于一般代数中1的作用。（2）零矩阵的行数与列数可以不等，而单位矩阵的行数与列数必须相等。（3）单位矩阵的matlab表示%生成m×m的单位矩阵CC=eye(m)七、对称方阵当方阵具有A=AT，即各元素有性质时，称A为对称方阵，其全部元素沿主对角线呈对称分布。吉林大学aijaji汽车仿真与控制国家重点实验室八、奇异矩阵、非奇异矩阵当方阵A的行列式|A|=0，称A为奇异矩阵；否则，称A为非奇异矩阵。1.1.3矩阵的运算一、矩阵的加减对于同价矩阵，矩阵的加减等于其对应元素的加减，即矩阵与数的乘，等于矩阵每个元素与数的乘，即吉林大学AB[aijbij]二、矩阵与数的乘kA[kaij]cijaikbkj汽车仿真与控制国家重点实验室三、矩阵的乘（1）矩阵乘的条件是，第1个矩阵的列数等于第2个矩阵的行数。（2）矩阵乘满足结合律，即ABC=(AB)C=A(BC)。（3）矩阵乘不满足交换律，即一般AB≠BA。吉林大学当A为m×p阶矩阵，B为p×n阶矩阵，则矩阵A与B乘的结果为m×n阶矩阵，其元素为pk1关于矩阵乘的几点说明232（6）矩阵乘的转置有下面的关系（AB）T=BTAT（7）矩阵乘的行列式有下面的关系|AB|=|A||B|吉林大学汽车仿真与控制国家重点实验室（4）当两个矩阵乘为零时，并不意味着其中之一为零矩阵，例如31031（5）当AB=AC时，B=C不一定成立，例如62453汽车仿真与控制国家重点实验室四、矩阵的逆对于两个方阵A和B，若有AB=E，则A和B互为逆矩阵，记为A-1=B，B-1=A五、矩阵运算的Matlab表示A=[1,3,6;2,7,8;7,3,9]B=[3,4,5;6,7,1;8,1,5]Y=[10;9;8]C=A+BD=A-B吉林大学%矩阵加法%矩阵减法汽车仿真与控制国家重点实验室E=5+AF=5*AG=A*Binv(A)det(A)X=A\Y%矩阵与数加法%矩阵数乘%矩阵乘法%矩阵求逆%求矩阵行列式%求线性方程组AX=Y的解X，等价于X=inv(A)*Y1.1.4矩阵的正定一、二次型的定义吉林大学axx汽车仿真与控制国家重点实验室jiji(aijaji)ni,j1二次型是一个含有n个变量x1、x2、…、xn的二次齐次函数，形如F(x1,x2,,xn)a11x12a22x22a33x32annxn22a12x1x22a13x1x32a1nx1xn2a23x2x32a24x2x42a2nx2xn2an1,nxn1xn二、二次型的矩阵表示这里，以三个变量x1、x2、x3的二次型进行推导，即F(x1,x2,x3)a11x12a22x22a33x322a12x1x22a13x1x32a23x2x3吉林大学x3a13x1a23x2a33x3a12a22a32a11x3]a21a31x2[x1a11x1a12x2a23x3x3]a21x1a22x2a23x3a31x1a32x2a33x3x2[x1汽车仿真与控制国家重点实验室F(x1,x2,x3)a11x12a22x22a33x322a12x1x22a13x1x32a23x2x3a11x12a22x22a33x32a12x1x2a21x1x2a13x1x3a31x1x3a23x2x3a32x2x3a11x12a12x1x2a13x1x3a21x1x2a22x22a23x2x3a31x1x3a32x2x3a33x32x1(a11x1a12x2a23x3)x2(a21x1a22x2a23x3)x3(a31x1a32x2a33x3)Tx2Xx1a13a23ATa33a12a22a32a11Aa21a31如果设则有F(x1,x2,x3)XTAX吉林大学a汽车仿真与控制国家重点实验室因此，有一个二次型，必有一个对称矩阵A与之对应，反之亦然。三、对称矩阵的正定与负定设有实二次型更为一般地，n个变量x1、x2、…、xn的二次型可以表示为F(x1,x2,,xn)XTAXx2xn]TX[x1ATa1na2nanna12a22an2a11A21an1F(x1,x2,,xn)XTAX，对任意X≠0，若恒有（1）F(x1,x2,,xn)0则称其为正定二次型，A称为正定阵；吉林大学吉林大学对称矩阵正定的充分必要条件是其各阶主子是均大于零，即汽车仿真与控制国家重点实验室（2）F(x1,x2,,xn)0则称其为半正定二次型，A称为半正定阵；（3）F(x1,x2,,xn)0则称其为负定二次型，A称为负定阵；（4）F(x1,x2,,xn)0则称其为半负定二次型，A称为半负定阵。四、对称矩阵正定的充要条件a1100a12a22a11a210ak2ak1a12a11akka22a21a2ka1kA0吉林大学汽车仿真与控制国家重点实验室1.2矢量代数1.2.1矢量的表示1.2.2矢量的主要类型1.2.3矢量的运算汽车仿真与控制国家重点实验室1.2矢量代数1.2.1矢量的表示一、二维矢量在二维坐标系下，从某固定点O引向某一点A的有向线段，称为二维矢量，记作坐标原点。二维矢量存在如下关系（1）与坐标（x,y）一一对应，因此，可将二维矢量用列矩阵表示，即吉林大学OA。通常，为研究方便，将固定点O作为OA（3）当OA与两个坐标轴的方向角为α和β时，则其两个坐标（投影）x2y2OA汽车仿真与控制国家重点实验室xy（2）OA的模（长度）xOAcosyOAcoscos2cos21（4）平面上两个矢量AB(x1x2)2(y1y2)2吉林大学OA[x1,y1]T和OB[x2,y2]T，A和B之间的距离汽车仿真与控制国家重点实验室二、多维矢量将二维矢量推广到n维坐标系，可得n维矢量X，其存在如下关系（1）X与坐标（x1、x2、…、xn）一一对应，因此，可将n维矢量用列矩阵表示，即X[x1,x2,,xn]T（2）X的模Xx12x22xn2（3）当X与坐标轴的方向角为α1、α2、…、αn时，则有吉林大学cosi1汽车仿真与控制国家重点实验室xiXcosi2ni1（4）两个矢量X和Y之间的距离XY(x1y1)2(x2y2)2(xnyn)21.2.2矢量的主要类型一、零矢量元素全为零的矢量，称为零矢量，其始点和端点重合，记为X=0。二、单位矢量吉林大学0e101e20ei10en0汽车仿真与控制国家重点实验室对某个n维矢量，若其中一个元素为1，其余元素都是零，则该矢量为n维单位矢量。n维单位矢量有n个，记为三、相等矢量对于两个维矢量，当对应的元素完全相同，则这两个矢量为相等矢量。1.2.3矢量的运算吉林大学10000100eiej吉林大学汽车仿真与控制国家重点实验室一、矢量的加减：矢量的加减等于其对应元素的加减二、矢量与数的乘：矢量与数的乘，等于矢量每个元素与数的乘三、矢量的点积（1）定义设两个矢量X和Y，其夹角为θ，则定义为两个矢量的点积，记为XY或X·Y。（2）性质根据点积的定义，有下列性质XYYX2XXXXYXY01ij0ijXYcosx0x0x3000xieixn]2XTY吉林大学汽车仿真与控制国家重点实验室（3）点积的矩阵表示1）单个矢量的单位矢量表示Xx1x10022ni1xn00xny1yynx