7.4 区间估计1

第四节区间估计区间估计的思想点估计总是有误差的，但没有衡量偏差程度的量，区间估计则是按一定的可靠性程度对待估参数给出一个区间范围。引例设某厂生产的灯泡使用寿命X~N（，1002），现随机抽取5只，测量其寿命如下：1455，1502，1370，1610，1430，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为1145515021370161014301473.45x可以认为该种灯泡的使用寿命在1473.4个单位时间左右，但范围有多大呢？又有多大的可能性在这“左右”呢？如果要求有95%的把握判断在1473.4左右，即{}0.9??5PXX{}0.95???PX0.0250.025{}0.95PXZXZnn~0,1XZNn0.0250.95XPzn0.0250.025XZXZnn一、区间估计的基本概念1.置信区间的定义含有一个未知参的分布函数设总体);(xFX,数1),(0对于给定值确定的两个统计量nXXX,,,21,)(),,,(),,,(2121nnXXXXXX和使得}{P,1的置信区的置信水平为是则称随机区间1),(若由样本.1为置信水平,置信下限和置信上限分别称为和,间关于定义的说明,虽然未知被估计的参数,但它是一个常数,没有随机性.),(是随机的而区间因此定义中下表达式)},,,(),,,({2121nnXXXXXXP1:的本质是,1),(的真值的概率包含着参数以随机区间.),(1的概率落入随机区间以而不能说参数(1):还可以描述为若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等,都是n)),,(间每个样本值确定一个区另外定义中的表达式)},,,(),,,({2121nnXXXXXXP1,的真值的真值或不包含包含每个这样的区间或按伯努利大数定理,在这样多的区间中,真值的约占包含,)%1(100.%100不包含的约占(2)例如,1000次反复抽样0.01,若.101000个真值的约为个区间中不包含则得到的(3)置信区间越小，估计越精确，但置信水平会降低；一般：对于固定的样本容量,不能同时做到精确度高（置信区间小），可靠程度也高（1-大）。如果不降低可靠性，而要缩小估计范围，则必须增大样本容量，增加抽样成本。相反，置信水平越大，估计越可靠，但精确度会低，置信区间会较长。2.求置信区间的一般步骤(共3步)以及其他未知参数，的分布不依赖于使W)1(的函数和寻求一个样本nXXX,,,21，);,,,(WW21nXXX称具这种性质的函数W为枢轴量.,),,,(21nXXX其中,等式,),,,(21都是统计量nXXX.1的置信区间的一个置信水平为是就那么),()2(,1对于给定的置信水平ba,出两个常数定使得});,,,({21bXXXZaPn,1得到等价的不从);,,,(21bXXXZan)3(,的无偏估计是因为X且nX/),1,0(N~二、单正态总体均值与方差的区间估计,)1(2为已知的置信区间均值,1设给定置信水平为,,,21nXXX并设,),(2的样本为总体N分别是样本均值和2,SX.样本方差/2/znXP,12/2/znXznXP即,1的置信区间的一个置信水平为于是得1这样的置信区间常写成.2/znX.,2/2/znXznX其置信区间的长度为.22/zn,05.0,,116n例如取,96.1025.02/zz查表可得.1.961610.95X的置信区间得一个置信水平为由一个样本值算得样本均值的观察值,20.5x则置信区间为),49.020.5().69.5,71.4(即,05.0例如给定,95.0/01.004.0znXzP则又有,95.0}{04.001.0znXznXP即.0.95,04.001.0的置信区间为的置信水平也是故znXznX其置信区间的长度为.)(01.004.0zzn.1:的置信区间是不唯一的置信水平为注意比较两个置信区间的长度2L1L.21LL显然置信区间短表示估计的精度高.,3.92n025.02zn,4.08n)(01.004.0zzn,)2(2为未知的置信区间的置信度为1.)1(2/ntnSX推导过程如下:,22的无偏估计是但因为S),1(~/ntnSX)1()1(2/2/ntnSXntnSXP)1(/)1(2/2/ntnSXntP则即,1,1解)15(025.0t.0.95的置信区间的置信度为,1315.2例1有一大批糖果,现从中随机地取16袋,称得重量(克)如下:496509502506496493505514512497510504503499508506设袋装糖果的重量服从正态分布,试求总体均值10.95,1n,152025.0,2022.6计算得x,75.503s1315.2162022.675.503).1.507,4.500(这个估计的可信程度为95%.即就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与507.1克之间,,的近似值为若依此区间内任一值作其误差不大于这个误差的可信度为95%.21315.2162022.6).(61.6克的置信区间的置信度为得5%9.未知的情况只介绍2的置信区间方差2.,根据实际需要,22的无偏估计是因为S),1(~)1(222nSn)1()1()1(22/2222/1nSnnP则,1)1()1()1()1(22/12222/2nSnnSnP即,112的置信区间的置信度为于是得方差.)1()1(,)1()1(22/1222/2nSnnSn1的置信区间的一个置信度为标准差.)1(1,)1(122/122/nSnnSn进一步可得:在密度函数不对称时,,2分布分布和如F注意:习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图).例2设某灯泡的寿命X~N（，2）,，2未知，现从中任取5个灯泡进行寿命试验，得数据10.5，11.0，11.2，12.5，12.8（单位：千小时），求置信水平为90%的2的区间估计。解20.99511.6Sx10.90.1220.0510.05(4)0.711(4)9.488220.05(1)40.9955.5977(4)0.711nS2的置信区间为（0.4195，5.5977）由得查表得220.95(1)0.4195(4)nS练习假设某片居民每月对某种商品的需求量X服从正态分布，经调查100家住户，得出每户每月平均需求量为10公斤，方差为9，如果某商店供应10000户，试就居民对该种商品的平均需求量进行区间估计（=0.01），并依此考虑最少要准备多少这种商品才能以99%的概率满足需求？2910100Sxn解0.010.0050.005(99)2.57tz23(99)2.570.771100Stn平均消费额的置信区间为（9.229，10.771）由查表得要以99%的概率满足10000户居民对该种商品的需求，则最少要准备的量为9.2291000092290（公斤）最多准备10.77110000107710（公斤）三、小结点估计不能反映估计的精度,故而本节引入了区间估计.求置信区间的三个步骤..1}{,,)(),,(－有意的即对于任置信水平概率参数具有预先给定的高它覆盖未知间置信区间是一个随机区P)1(的置信区间单个总体均值,2为已知.2/znX,2为未知.)1(2/ntnSX)2(2的置信区间单个总体方差.)1()1(,)1()1(22/1222/2nSnnSn正态总体的均值与方差的区间估计