7.4区间估计

§7.3参数的区间估计前面，我们讨论了参数点估计.它是用样本算得的一个值去估计未知参数.可以想象,这个估计值正好为真值的可能性几乎为零这里就有两个问题:1、估计值和真值的差距有多大？2、能不能找一个区间，使它包含真值？，只能是以较高的可靠程度包含真值.希望确定一个区间，使其包含真值。这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平.习惯上把置信水平记作1这里是一个很小的正数.但是，区间也不可能完全肯定包含真值),,,,(ˆˆ2111nXXX),,,(ˆˆ2122nXXX)ˆˆ(21设是一个待估参数，给定,0若由样本X1,X2,…Xn确定的两个统计量7.3置信区间概念]ˆ,ˆ[21则称为的随机区间1}ˆˆ{21P若满足为的置信区间.121ˆˆ和置信上限（双侧置信区间）.7.3置信区间概念的置信水平（置信度）分别称为置信下限和为显著水平1为置信度，则称区间是]ˆ,ˆ[21说明:(1)式表示（,）包含未知参数θ的真值概率为1－α,如α=0.05时，若从总体中抽得容量相同的100个样本，则在确定的100个置信区间中将有95个包含θ的真值，不包含θ真值的区间只有5个。显然，置信区间不唯一。有点象套圈游戏几个常用统计量复习正态总体均值和方差的区间估计设nXXX,,,21为总体),(~2NX的样本，2,SX分别是样本均值和样本方差。一、数学期望的置信区间1、已知σ2时，μ的置信区间设),(~2NX2~(,)XNn则随机变量2~(0,1)XZNn对于任意给定的α，我们的任务是通过样本寻找一个区间，它以1－α的概率包含总体X的数学期望μ。令22{}1XPZn22z22z22{}1PXzXznn22[,]XzXznn置信区间也可简记为][2znX于是得到随机区间它以1－α的概率包含总体X的数学期望μ。其置信度为1－α。置信下限2znX置信上限2znX0.0510.95116n如取查表得96.1025.02ZZ若由一个样本值算得样本均值的观察值20.5x则得到一个区间)69.5,71.4()49.020.5((4.71,5.69)包含μ的可信程度为0.95.注：μ的置信水平1－α的置信区间不唯一。上例中同样给定05.0可以取标准正态分布上α分位点－Z0.04和Z0.01,则又有0.040.012{}0.95XPZZn0.010.04{}0.95PXZXZnn则μ的置信度为0.95的置信区间为0.010.04[,]XZXZnn与上一个置信区间比较，同样是95.01其区间长度不一样，上例98.04192.32025.0Zn比此例02.14108.4)(4101.004.0ZZ短。01.001.0z04.004.0z置信区间短表示估计的精度高，第一个区间为优像N(0,1)分布那样概率密度的图形是单峰且对称的情况。当n固定时以][2znX的区间长度为最短，我们一般选择它。若以L为区间长度，则22znL可见L随n的增大而减少（α给定时），随机地抽查了9人，其高度分别为：0795%假设标准差，置信度为；试求总体均值的置信区间。07,9,0.05.n解：已知由样本值算得：.115)110120115(91x21.96Z查正态分布表得临界值，由此得置信区间：57.119,43.1109/796.1115,9/796.1115例2已知幼儿身高服从正态分布，现从5～6岁的幼儿中115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;二、未知σ2时，μ的置信区间当总体X的方差未知时，容易想到用样本方差Ѕ2代替σ2。已知2~(1)XTtnsn则对给定的α，令22{(1)}1XPtnsn查t分布表，可得)1(2nt的值。则μ的置信度为1－α的置信区间为22{(1)(1)}1ssPXtnXtnnn22[(1),(1)]ssXtnXtnnn例3解本题是在σ2未知的条件下求正态总体参数μ的置信区间。由公式知μ的置信区间为查表则所求μ的置信区间为为了估计一批钢索所能承受的平均张力（单位kg/cm2),设钢索所能承受的张力X，分别估计这批钢索所能承受的平均张力的范围与所能承受的平均张力。随机选取了9个样本作试验，即则钢索所能承受的平均张力为6650.9kg/cm2由试验所得数据得例4解由置信区间的概念，所求μ的0.99的置信区间为在交通工程中需要测定车速（单位km/h),由以往2、现在作了150次观测，试问平均测量值的误差在的经验知道，即测量值为X，测量值的误差在之间。1、至少作多少次观测，才能以0.99的可靠性保证平均之间的概率有多大？由题意要求用平均测量值来估计μ其误差由题意知令至少要作86次观测，57.286005.0zn才能以0.99的可靠性保持平均测量误差在之间。158.3150.2n}1{XP}{nnXP1)(2n1)421.3(29994.019997.02思考题1：思考题2：在μ的区间估计中所起的重要作用称为枢轴量三、正态总体方差的区间估计下面我们将根据样本找出σ2的置信区间，已知总体对于给定的即则得到σ2随机区间以的概率包含未知方差σ2，这就是σ2的置信度为1－α的置信区间。例5某自动车床加工零件，抽查16个测得长度（毫米）01.1203.1216.1209.1208.1201.1212.1215.12怎样估计该车床加工零件长度的方差。解先求06.1201.1208.1211.1207.1213.1206.1215.12)05.0(075.12]6.012.015.0[16112x])075.1206.12()075.1215.12[(151222Sσ2的估计值0024.0]5.7161215[15100001222或22221111()[]11nniiiisxxxnxnn查表所求σ2的置信度为0.95的置信区间所求标准差σ的置信度为0.95的置信区间由得得例6为了估计灯泡使用时数（小时）的均值μ和解查表测试了10个灯泡得方差σ2，若已知灯泡的使用时数为X，求μ和σ2的置信区间。由公式知μ的置信区间为μ的置信区间为查表即由公式知σ2的置信区间为σ2的置信区间为例题72,2N(,)对于正态总体假设已知求的区间估计解：选取枢轴统计量2212()niiX2~()n2的置信区间为：1.1－2的估计四、两个正态总体X~N(1,12),Y~N(2,22)1)已知12和22枢轴变量取12221212()()XYZnn12221212()()XYZnnN(0,1)~2212221212()(){}1XYPZZnn22222212121212[,]XYZXYZnnnn2)12和22未知，12=22=22.的区间估计枢轴变量选择1)已知1与22)未知1、2222211211222222212~(1,1)SSFFnnSS2221()()12122211222{1,11,1}1SPFnnFnnS甲140137136140145148140135144141乙135118115140128131130115121125例8甲、乙两种稻种分别种在10块试验田中,每块田中甲、乙稻种各种一半。假设两种稻种产量X、Y服从正态分布，且方差相等.10块田中的产量如下表(单位：公斤)，求两稻种产量的期望差1－2的置信区间(α=0.05).解设X~N(1,12)，Y~N(2,22)，12=22=2，要估计1－2，取统计量),2(~11)()(212121nntnnSYXTw21)(1)(21222211nnSnSnSW其中由样本表可计算得,10,956.71,8.126,10,933.16,6.140222121nsynsx,667.618956.719933.169wS从而查t分布表得：t0.025(18)=2.1009两稻种产量期望差的置信度为95%的置信区间为1221211(2)][wXYnnSnnt]102667.61009.28.1266.140,102667.61009.28.1266.140[].064.20,536.7[即122121221211(2),11(2)[]wwXYnnSnnXYnnSnntt单正态总体的区间估计),(~2NX1221uWuP被估参数条件统计量(枢轴变量)置信区间μ已知σ2μ未知σ2)1,0(~NnXU)1(~ntnSXT22,unXunX)1(,)1(22ntnSXntnSX被估参数条件统计量(枢轴变量)置信区间σ2已知μσ2未知μ)(~212nXnii)1(~)1(222nSn)()(,)()(221122212nXnXniinii)1()1(,)1()1(2212222nSnnSn被估参数条件统计量(枢轴变量)已知σ12与σ22未知σ12和σ22未知μ1和μ2)1,0(~22212121NnnYXU)2(~11212121nntnnSYXTw)1,1(~212221212222222121nnFSSSSF21212221双正态总体的区间估计区间估计的方法与步骤选枢轴，去边角