2019高职高考数学复习-数列

第五章数列【考试内容】1.数列的概念.2.等差数列.3.等比数列.【考纲要求】1.了解数列的概念,理解等差数列、等比数列的定义.2.掌握等差中项公式、等差数列的通项公式与前n项和公式.3.掌握等比中项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式.4.解决简单的数列应用题.【知识结构】5.1数列【复习目标】1.了解数列的分类.2.理解数列的定义;通项公式、递推公式的概念及意义.3.能根据首项和递推公式写出数列的任意一项.4.能根据数列的前几项归纳出数列的一个通项公式.【知识回顾】1.定义:按一定次序排列的一列数a1,a2,a3,…,an,…叫做数列,简记为{an}.其中排在第n个位置的那一项叫做数列的第n项,记为an.【说明】(1)若次序不同,则数列就不同.(2)数列的项与它的项数是不同的概念,数列的项是指这个数列中的某一个确定的数;而项数是指这个数在数列中的位置序号.2.通项公式:一个数列{an}的第n项an与项数n之间的函数关系式叫做这个数列的通项公式.【说明】(1)根据通项公式就可写出数列的任意一项.(2)并非所有的数列都能写出它的通项公式.(3)有些数列的通项公式的形式不一定是唯一的.如-1,1,-1,1,…的通项公式可写成an=(-1)n,也可写成an=(-1)n+2.3.数列的递推公式:用含有数列前面的若干项的表达式来表示后面的某一项的公式,称为数列的递推公式,如:an+1=2an+1.【说明】已知首项和递推公式,实际上也确定了数列.4.数列的分类:(1)按项数分:有穷数列(项数有限)、无穷数列(项数无限).(2)按项与项的大小分:递增数列(anan+1)、递减数列(anan+1)、常数列、摆动数列.(3)常数列:数列的所有项都是同一个常数.5.利用数列的前n项和Sn与n之间的关系求出数列{an}的通项公式:Sn=a1+a2+a3+…+anan=𝑺𝟏,(𝒏=𝟏)𝑺𝒏−𝑺𝒏−𝟏,(𝒏≥𝟐).【说明】这里是用两个式子联合起来表示的,切莫忘记前一个式子.事实上,当n=1时,Sn-1=S0,而S0没有意义,因而第二个式子也无意义.【例题精解】【例1】根据通项公式,求出数列{an}的前4项:(1)an=𝒏+𝟏𝒏+𝟐;(2)an=(-1)n(n+1);(3)an=𝟏−𝟐𝒏(𝒏为奇数)𝟏𝟏+𝟐𝒏(𝒏为偶数)【分析】数列的通项公式是以正整数集的子集为定义域的函数.其中项数n为自变量,项an为函数值.在通项公式中,n分别代1,2,3,4就行了.请读者自行解答.【点评】数列的通项公式是函数关系式,其表达式可能是分段函数.【例2】已知数列{an}满足a1=1,an=1+𝟏𝒂𝒏−𝟏(n≥2),求数列{an}的第4项.【分析】由递推公式且已知a1,可求a2,将a2代入递推公式可求a3…….请读者自行解答.【例3】已知数列{an},a1=3,a2=6,且an+2=an+1+an,求a5.【分析】因未给出通项公式,想“一步到位”求a5不容易.但可逐步递推:由a1,a2求a3,由a2,a3求a4,由a3,a4求a5.读者自行解答.【点评】通项公式和递推公式是给定数列的两种常见形式,且各有特点:通项公式是an和n之间的函数关系式,已知通项公式,可直接求出数列任一项;递推公式是数列前后若干项之间的关系式,已知递推公式和前若干项,可逐步递推求出数列的项.【例4】写出下列数列的一个通项公式:(1)1,4,9,16,…(2)0,3,8,15,…(3)𝟏𝟐,𝟑𝟒,𝟓𝟔,𝟕𝟖,…(4)9,99,999,9999,…【分析】观察项的特点并与项数n沟通,分析特点,找出共同规律,就能归纳出一个通项公式.【解】(1)∵1=12,4=22,9=32,16=42∴an=n2.(2)∵0=12-1,3=22-1,8=32-1,15=42-1∴an=n2-1.(3)∵𝟏𝟐=𝟐×𝟏−𝟏𝟐×𝟏,𝟑𝟒=𝟐×𝟐−𝟏𝟐×𝟐,𝟓𝟔=𝟐×𝟑−𝟏𝟐×𝟑,𝟕𝟖=𝟐×𝟒−𝟏𝟐×𝟒∴an=𝟐𝒏−𝟏𝟐𝒏.(4)∵9=101-1,99=102-1,999=103-1,9999=104-1∴an=10n-1.【点评】1.由数列的前若干项归纳出数列的一个通项公式,体现了由特殊到一般的数学思想.2.熟悉一些常见的数列,如(1)正整数列{n}:1,2,3,4,…(2)正整数的平方数列{n2}:1,4,9,16,…(3)立方数列{n3}:1,8,27,64,…(4)倒数数列{𝟏𝒏}:1,𝟏𝟐,𝟏𝟑,𝟏𝟒,…【例5】已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+n+2,求通项公式an.【分析】直接运用公式an=𝑺𝟏,(𝒏=𝟏)𝑺𝒏−𝑺𝒏−𝟏,(𝒏≥𝟐)即可求得.读者自行解答.【点评】已知Sn,求an时,需分n=1和n≥2两种情况进行运算,然后验证二者能否统一,不统一则需要分开表示.【同步训练】【答案】C一、选择题1.数列的通项公式是an=4n-1,则a6等于()A.21B.22C.23D.24【答案】B2.数列{an}的通项公式an=𝟐,(𝒏=𝟏)𝒏𝟐,(𝒏≥𝟐),则这个数列的前三项是()A.1,4,9B.2,4,9C.2,6,11D.2,1,4【答案】B3.数列𝟏𝟐,-𝟏𝟒,𝟏𝟖,-𝟏𝟏𝟔,…的一个通项公式是()A.(-1)n𝟏𝟐𝒏B.(-1)n-1𝟏𝟐𝒏C.(-1)n𝟏𝟐𝒏D.(-1)n-1𝟏𝟐𝒏【答案】C4.已知数列{an}的首项a1=1,且an=2an-1+1(n≥2),则a5为()A.7B.15C.31D.30【答案】B5.若数列{n(n+1)},则380是这个数列的第项.()A.20B.19C.18D.21【答案】A6.数列{an}的前n项和Sn=n，则a3=()A.1B.2C.3D.4【答案】B7.已知数列{an}的通项公式an=n(n+1)，则S5=()A.40B.70C.112D.30【答案】C8已知数列{an}的通项公式是an=𝒏𝟐𝒏+𝟏,那么这个数列的前四项是()A.𝟏𝟑,𝟏𝟓,𝟏𝟕,𝟏𝟗B.𝟏𝟑,𝟐𝟒,𝟑𝟓,𝟒𝟔C.𝟏𝟑,𝟐𝟓,𝟑𝟕,𝟒𝟗D.𝟏𝟑,𝟐𝟑,𝟑𝟑,𝟒𝟑【答案】B9.已知数列𝟏𝟐,𝟐𝟑,𝟑𝟒,𝟒𝟓,…下列各式不是它的通项的是()A.an=𝒏𝒏+𝟏B.an=𝒏+𝟏𝒏+𝟑C.an=1-𝟏𝒏+𝟏D.a1=𝟏𝟐,an=𝒏𝒏+𝟏(n≥2,n∈N)【答案】C10.已知数列1,-𝟏𝟐,𝟏𝟑,-𝟏𝟒,…,(-1)n+1·𝟏𝒏,…,那么它的第10项的值等于()A.-1B.1C.-𝟏𝟏𝟎D.𝟏𝟏𝟎二、填空题11.已知数列{an}的通项公式是an=(−𝟏)𝒏𝒏(𝒏+𝟏),那么这个数列的前四项依次为.12.已知数列{an}满足an=𝟐𝒏+𝟏𝒏𝟐+𝟏,则a1=,an+1=.13.数列{an}的第n项an=n(n+2),则a8+a10=.14.已知a1=2,an+1=2an+3,则a4=.15.数列{an}的前n项和Sn=3+2n,则an=.-𝟏𝟐、𝟏𝟔、-𝟏𝟏𝟐、𝟏𝟐𝟎𝟑𝟐𝟐𝒏+𝟑𝒏𝟐+𝟐𝒏+𝟐2003715,(1)2,(2)nnn三、解答题16.已知数列{an}的通项公式是an=(-1)n+1·𝒏+𝟏𝒏,写出它的前4项.【解】a1=(-1)1+1·𝟏+𝟏𝟏=2a2=(-1)2+1·𝟐+𝟏𝟐=-𝟑𝟐a3=(-1)3+1·𝟑+𝟏𝟑=𝟒𝟑a4=(-1)4+1·𝟒+𝟏𝟒=-𝟓𝟒17.写出下面数列的一个通项公式:(1)2,4,8,16,…(2)𝟑,𝟔,𝟗,𝟏𝟐,…(3)-𝟑𝟐,𝟓𝟒,-𝟕𝟔,𝟗𝟖,…【解】(1)∵2=21,4=22,8=23,…∴an=2n(2)∵𝟑=𝟑×𝟏,𝟔=𝟑×𝟐,𝟗=𝟑×𝟑,…∴an=𝟑𝒏(3)∵-𝟑𝟐=(−𝟏)𝟏×(𝟐×𝟏+𝟏)𝟐×𝟏,𝟓𝟒=(−𝟏)𝟐×(𝟐×𝟐+𝟏)𝟐×𝟐,-𝟕𝟔=(−𝟏)𝟑×(𝟐×𝟑+𝟏)𝟐×𝟑,…∴an=(−𝟏)𝒏·(𝟐𝒏+𝟏)𝟐𝒏【解】当n=1时,a1=S1=12+2×1-1=2当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-1-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n+1∵2×1+1≠2∴an=𝟐,𝒏=𝟏𝟐𝒏+𝟏,𝒏≥𝟐.18.在数列{an}中,用Sn表示前n项之和,且Sn=n2+2n-1,求数列的通项公式an.