动态几何中的双动点最值问题的求解策略

-1-动态几何中的双动点最值问题的求解策略双动点问题将几何知识与数学知识融合一起，综合考查学生应用知识的能力．这类问题综合度高，立意深，对学生的能力要求高，往往形成学生学习中的难点，尤其是双动点问题中的最值问题，对学生思维要求更高．如何引导学生解决这类问题，成为中考复习的一个要点．本文以双动点中的线段最值问题、面积最值问题、情景最值问题为例，进行详解，以期找到解决这类问题的一般方法．一、双动点形成的线段最值问题例1如图l，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和l，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是．解析由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，如图2，连接BD，∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形．∴BD=AB=AD=3．∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1．∴PE=1，DF=2，∴PE+PF的最小值是3．点评本题需要综合应用菱形的性质，相切两圆的性质；等边三角形的判定和性质，才能使问题得以解决．在数学思维应用中要特别重视数形结合的思想，从中找到最值的条件是关键．二、双动点问题形成的面积最值问题例2如图3，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是．解析如图4，过点O作OC垂直AB于C，交⊙O于D、E两点，连接OA、OB、DA、DB、EA、EB．-2-∵∠AMB=45°，∴∠AOB=2∠AMB=90°,∴△OAB是等腰直角三角形,∴AB=2OA=22而S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，∵当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大，△NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点时，四边形MANB面积最大．∴四边形MANB面积最大值：S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=12AB·CD+12AB·CE=12AB·(CD+CE)=12AB·DE=12×22x4=22点评本题将圆与三角形知识综合在一起，需要深刻理解垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质，通过两动点运动，找到组成四边形的两三角形面积最值情景，从而使问题得以解决．三、双动点问题中形成的情景最值问题例3如图5，直线y=43x+8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t(s)(0t≤3)．(1)写出A，B两点的坐标；(2)设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQP的面积最大；(3)当t为何值时；以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似?并直接写出此时点Q的坐标．解析(1)令y=0，则43x+8=0，解得x=6；令x=0，则y=8．所以OA=6，OB=8，所以点A(6，0)，B(0，8)(2)在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB=22OBOA=10．因为点P的速度是每秒2个单位，点Q的速度是每秒1个单位所以AP=2t，AQ=AB-BQ=10-t．所以点Q到AP的距离为-3-AQ·sin∠AOB=(10-t)×810=45(10-t)．所以△AQP的面积S=122t·45(10-t)=45t2+5t(0t≤3)．又因为S=45(t-5)2+20，450，0t≤3，所以当t=3时，△AQP的面积S最大=845.(3)t=3013秒时，点Q的坐标是(1813，8013)．