最新人教版27.2.1相似三角形的判定(3)

到目前为止，我们学习了哪些判定三角形相似的方法，请你用几何语言叙述。2.（预备）定理:（平行法）平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。ABCDE几何语言：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABCACBEDF1.定义法:如果两个三角形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个三角形相似.ABACABCABCABAC几何语言：，A=A,∽4.（SAS）判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角相似.CBAC′B′A′3.（SSS）判定定理:如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似。ABACBCABCABACBCABC几何语言：，∽（一）探究一观察两副三角尺，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的。3、请你证明：一般地，我们有利用两组角判定两个三角形相似的定理。（如图）ABCA′B′C′∠A=∠A′，∠B=∠B′△ABC∽△A′B′C′已知：如图在⊿ABC和⊿A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，求证：△ABC和△A′B′C′相似BACA′B′C′DE证明：在AB上截取A′D=AB，画DE∥B′C′交A′C′与点E，则：△A′DE∽△A′B′C′，∠A′DE=∠B′，∵∠B=∠B′∴∠B=∠A′DE∵A′D=AB，∠A=∠A′∴△ABC≌△A′DE∴△ABC∽△A′B′C′CAA'BB'C'∵∠A=∠A'，∠B=∠B'∴ΔABC∽ΔA'B'C'用数学符号表示：判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成：两角分别相等的两个三角形相似。ABCA’B’C’基础演练1下列图形中两个三角形是否相似？ABCDEABCA’C’B’ABCDE(1)(2)(3)(4)2、已知：ΔABC和ΔDEF中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°。求证：ΔABC∽ΔDEFAFECBD例1、如图，Rt△ABC中，∠C=90°。AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB,垂足为D。求AD的长。解：∵ED⊥AB∴∠EDA=90°.又∴∠C=90°,∠A=∠A∴△AED∽△ABCABAEACAD41058ABAEACAD注意：由三角形相似的条件可知，如果两个直角三角形满足一个锐角相等，两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似。对于两个直角三角形，我们可以利用“HL”判定它们全等.那么,满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似吗?已知:在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=90°，∠C‘=90°，求证:Rt△ABC∽Rt△A′B′C′。证明:.CAACBAABk设.,CAkACBAkAB则由勾股定理，得.,2222CABACBACABBC.222222kCBCBkCBCAkBAkCBACABCBBC.CAACBAABCBBC∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.ABCA′B′C′ABAC.ABAC（二）探究二即：如果如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。知识要点判定三角形相似的定理之四HLABC△ABC∽△A1B1C1.那么√A1B1C11111,ABBCkABBCRt△ABC和Rt△A1B1C1.AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，且交AD于F，你能从中找出几对相似三角形？BCAEDF基础演练2思考(1)如果两个等腰三角形有一对底角对应相等那么它们是否一定相似?有一对顶角对应相等呢?(2)有一个角等于300的两个等腰三角形是否相似?等于1200呢?1.底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论．BACB'A'C'已知：等腰△ABCAB=AC和等腰△A'B'C'，A'B'=A'C'且有∠B=∠B',求证:△ABC∽△A'B'C'证明：∵等腰三角形AB=AC∴∠B=∠C∴△ABC∽△A'B'C'∵等腰三角形A'B'=A'C'∴∠B'=∠C'∵∠B=∠B',∴∠C=∠C'课后练习2.如图，Rt△ABC中,CD是斜边上的高，求证：（1）△ACD∽△ABC；（2）△CBD∽△ABC。证明：∴∠ACB=∠ADC=90°又∠A=∠A∴△ACD∽△ABC∴∠CDB=∠ACB=90°∠B=∠B∴△CBD∽△ABC∵CDAB∴∠ADC=90°∵CDAB∴∠CDB=90°4.已知：Rt△ABC中，CD是斜边AB的高。求证：AC2=AD·ABCADB1证明:∵∠A+∠ACD=90°∠1+∠ACD=90°∴∠A=∠1∵∠ACB=∠ADC=90°∴△ABC∽△ACDACADABAC∴AC2=AD·AB3.如果Rt△ABC的两条直角边分别为3和4，那么以3k和4k（k是正整数）为直角边的直角三角形一定与Rt△ABC相似吗？为什么？1、下面每组的两个三角形是否相似？为什么？①①②③④70o50oABCFDEACBDEFBACDFE30o30o30o30o55o30o60o50o基础演练32.如图所示：∠1=∠2=∠3图中相似三角形有ABCDE3213.判断并说理（1）顶角相等的两个等腰三角形相似。()（2）有一个角为120°的两个等腰三角形相似。()（3）有一个角为40°的两个等腰三角形相似。(4)两个等腰三角形相似。()4.Rt△ABC中，CD是斜边AB的高，图中相似的三角形有CADB4321△∽△∽△ABCACDCBD△AED∽△ADB∽△ABC√5.如图所示：AB⊥BD、ED⊥BD、C为BD中点，且AC⊥CE、ED=1、BD=4,则AB=()BEDAC122？46.如图所示:若△ABO∽△CDO，则应添加的条件为（）ABCDO7如图：已知:DE∥BC,EF∥AB,则图中共有（）对三角形相似.ABCDEF3ABCDE例4.已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点，若∠A=35°,∠C=85°,∠AED=60°求证：AD·AB=AE·AC4.过△ABC(∠C∠B)的边AB上一点D作一条直线与另一边AC相交，截得的小三角形与△ABC相似，这样的直线有几条？CD●ＡＢBCADEEBCAD△ADE∽△ABC△AED∽△ABC∠A=∠A∠AED=∠C∠A=∠A∠AED=∠B作DE，使∠AED=∠C作DE，使∠AED=∠B这样的直线有两条：8.如图直线BE、DC交于A,AD·AC=AE·BA，求证：∠E=∠CEDBCAABCED将△DAE绕A点旋转如何证明∠DEA＝∠C？EABDC解：∵∠A=∠A∠ABD=∠C∴△ABD∽△ACB∴AB:AC=AD:AB∴AB2=AD·AC∵AD=2AC=8∴AB=43.已知如图，∠ABD=∠CAD=2，AC=8，求ABABCDABDCABDC4、如图：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BD⊥AC于D问（1）图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？解：图中有三个直角三角形，分别是：△ABC、△ADB、△BDC△ABC∽△ADB∽△BDC求证（2）AB2=AD·ACBD2=AD·DCABCDEABC21OCBADOCDABABCDE基本图形的形成、变化及发展过程：∽平行型斜交型......旋转平移垂直型特殊特殊平移相似三角形的识别方法有那些？方法1：通过定义方法5：两角对应相等三个角对应相等三边对应成比例课堂小结方法2：平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所得三角形与原三角形相似方法3：三边对应比相等方法4：两边对应比相等且夹角相等方法6：HL(直角三角形)例2如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点P，求证:PA·PB＝PC·PD证明：连接AC、BD．∵∠A和∠D都是所对的圆周角，∴∠A＝∠D同理∠C＝∠B∴△PAC∽△PDBPBPCPDPA即PA·PB＝PC·PD·ABCDOPCB引申１：如果弦AB和CD相交于圆O外一点P，结论还成立吗？DBPAC引申２：上题中Ａ，Ｂ重合为一点时，又会有什么结论？DPAC