常微分方程-拉氏变换法求解常微分方程

1拉普拉斯变换法/LaplaceTransform/2拉普拉斯变换含义：简称拉氏变换从实变量函数到复变量函数间的一种函数变换用途与优点对一个实变量函数作拉氏变换，并在复数域中进行运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域计算容易得多。应用：求解线性微分方程在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合3拉普拉斯变换法用于求解常微分方程的基本思路：对常微分方程进行拉氏变换法，得代数方程，求解再反变换获取原方程的解问题：1.什么是拉氏变换2.拉氏变换的基本性质3.什么是拉氏逆变换4.如何用拉氏变换求解微分方程4若0dttfest）（）（sF0steftdt（）)(tf),[0)(tf)()]([sFtfL1拉普拉斯变换定义(简称拉氏变换)对于在上有定义的函数对于已给的S（一般为复数）存在，则称为函数的拉普拉斯变换，记为TstTdttfe0）（limf(t)称为LaplaceTransform的原函数，F(s)称为f(t)的象函数.Res5拉普拉斯变换法存在性是分段连续的,并且常数)(tf0t0M00ttMetf)(sRe)(tf假若函数在的每一个有限区间上使对于所有的都有成立则当时,的LaplaceTransform是存在的。61)(tf)(0t01dtest例1][limsessTT11s10sRe)(Re][011ssL当即][limTstTes01拉普拉斯变换实例7例2(是给定的实数或复数)ztetf)(z][zteL0dteeztst)0)(Re(zs)Re(Rezs0dtetzs)(zs1][zteLzs18常用函数拉氏变换表利用拉氏变换进行计算时，可直接查变换表得结果9§2拉普拉斯变换的基本性质)(),(tgtf)]([)]([)]()([tgLtfLtgtfL1线性性质如果是原函数,和是任意两个常数(可以是复数)，则有102原函数的微分性质)(,),(),()(tftftfn)]([tfL)()]([0ftfsL)]([)(tfLn)]([tfLsn)(01fsn)()()(0012nnffs如果都是原函数，则有或113象函数的微分性质)]([)(tfLsF0)()(dttftesFst0)()()1()(dttfetsFstnnn()()(1)[()]nnnFsLtft12§3拉普拉斯逆变换已知象函数，求原函数)()]([tfsFL1也具有线性性质)]()([sFcsFcL22111)]([)]([sFLcsFLc21211113)(tf)(sF)()()(1sFsFsFn由线性性质可得如果的拉普拉斯变换可分解为并假定的拉普拉斯变换容易求得，即)(sFi)(sFi)]([tfLi则)]([)]([)]([sFLsFLsFLn1111)()(tftfn114例3求的Laplace反变换233)(2ssssF][][)]([)(2112111sLsLsFLtfttee220t解))(()(2132332sssssssF2112ss拉普拉斯逆变换实例15例4求22)2)(1(5)(ssssssF的Laplace反变换解2)2(111)(sssF])([][)(2112111sLsLtf)(02tteett16微分方程象函数的代数方程象函数原函数取拉氏变换解代数方程取拉氏逆变换微分方程的解4拉普拉斯变换法(求非齐次线性方程的特解)步骤：174拉普拉斯变换法(求非齐次线性方程的特解)()(1)11()nnnnxaxaxaxft)()()(,,)(,)(,)(1010000000nnxxxxxxxxia为常数令)]([)(txLsX0)(dttxest0xssXtxL)()]([)()()()()]([10200201nnnnnnxsxxsxssXstxL18)()()()(sBsFsXasasasnnnn111)()()()(sAsBsFsX])()()([)]([)(sAsBsFLsXLtx11给(4.32)两端施行LaplaceTransform)()(])([])([)()()()(sFsXaxssXaxxsxssXsaxsxxsxssXsnnnnnnnnnnn012003021110200201()(1)11()nnnnxaxaxaxft19解令)()]([sXtxL][][)(teLxLdtdxL2210ssXxssX)()()(1121211sssssX))(()(tteesLsLsXLtx21111121][][)]([)(例5texdtdx20)0(x满足初始条件求的特解用拉氏变换求微分方程实例22133xxxx0)0()0()0(xxx)]([)(txLsXssXssXsXssXs13323)()()()(例7求满足初始条件的特解311)()(sssX231111()1(1)(1)Xsssssttttettetteetx)()(2221121122令解23作业求下列初值问题的解：396,(0)(0)0txxexx