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第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.了解正弦定理的推导过程,掌握正弦定理及其变形.2.能用正弦定理解三角形,并能判断三角形的形状.121.正弦定理文字语言在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等符号语言在△ABC中,𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶作用解三角形、判断三角形的形状等12设△ABC的外接圆的半径为R,则有a𝑠𝑖𝑛A=b𝑠𝑖𝑛B=c𝑠𝑖𝑛C=2R.由此还可以推出以下结论:①a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;②ab=𝑠𝑖𝑛A𝑠𝑖𝑛B,ac=𝑠𝑖𝑛A𝑠𝑖𝑛C,bc=𝑠𝑖𝑛B𝑠𝑖𝑛C;12③a𝑠𝑖𝑛A=b𝑠𝑖𝑛B=c𝑠𝑖𝑛C=a+b+c𝑠𝑖𝑛A+𝑠𝑖𝑛B+𝑠𝑖𝑛C;④a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;⑤sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R;⑥AB⇔ab⇔2RsinA2RsinB⇔sinAsinB.12【做一做1】在△ABC中,a=2,b=3,则𝑠𝑖𝑛A𝑠𝑖𝑛B=()A.32B.23C.25D.不确定答案:B122.解三角形一般地,把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.利用正弦定理可以解两类三角形:①已知三角形的任意两个角与一边,求其他两边和另一角;②已知三角形的两边与其中一边的对角,计算另一边的对角的正弦,有解时,进而求出其他的边和角.12【做一做2-1】在△ABC中,c=3,A=45°,C=60°,则a=.答案:6【做一做2-2】在△ABC中,a=2,b=1,sinA=13,则sinB=.答案:16确定三角形解的个数剖析:(1)已知两角与其中一角的对边(或两角的夹边),根据正弦定理,有且只有一解.(2)已知两边及其中一边的对角,根据正弦定理,可能有两解、一解或无解.在△ABC中,已知a,b和角A时,解的情况如下:角A为锐角角A为钝角或直角图形关系式①a=bsinA②a≥bbsinAababsinAaba≤b解的情况一解两解无解一解无解具体解题时,作出已知角A,边AC,以点C为圆心,以边长a为半径画弧,与射线AB的公共点(除去顶点A)的个数即为三角形解的个数.题型一题型二题型三题型一已知两角和一边解三角形【例1】在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且A=30°,C=100°,a=10,求b,c,B(边长精确到0.01).解:∵A+B+C=180°,∴B=180°-A-C=50°.由正弦定理,可知b=a𝑠𝑖𝑛B𝑠𝑖𝑛A=10𝑠𝑖𝑛50°𝑠𝑖𝑛30°≈15.32,c=a𝑠𝑖𝑛C𝑠𝑖𝑛A=10𝑠𝑖𝑛100°𝑠𝑖𝑛30°≈19.70.题型一题型二题型三已知三角形的两角和一边时,解三角形的步骤如下:①利用三角形内角和定理求出第三个角;②用正弦定理求出另外两边.题型一题型二题型三题型二已知两边和其中一边的对角解三角形【例2】在△ABC中,已知下列条件,解三角形:(1)a=10,b=20,A=80°;(2)b=10,c=56,C=60°;(3)a=3,b=2,B=45°.题型一题型二题型三解:(1)由正弦定理,得sinB=b𝑠𝑖𝑛Aa=20𝑠𝑖𝑛80°10=2sin80°1,故此三角形无解.(2)由正弦定理,得sinB=b𝑠𝑖𝑛Cc=10𝑠𝑖𝑛60°56=22.∵0°B180°,∴B=45°或135°.题型一题型二题型三当B=45°时,A=180°-(B+C)=180°-(45°+60°)=75°,∴a=b𝑠𝑖𝑛A𝑠𝑖𝑛B=10𝑠𝑖𝑛75°𝑠𝑖𝑛45°=10×6+2422=5(3+1).当B=135°时,A=180°-(B+C)=-15°0°,∴此时无解.故B=45°,A=75°,a=5(3+1).题型一题型二题型三(3)由正弦定理,得sinA=a𝑠𝑖𝑛Bb=3×𝑠𝑖𝑛45°2=32.又∵0°A180°,∴A=60°或120°.当A=60°时,C=75°,∴c=b𝑠𝑖𝑛C𝑠𝑖𝑛B=2𝑠𝑖𝑛75°𝑠𝑖𝑛45°=6+22;题型一题型二题型三当A=120°时,C=15°,∴c=b𝑠𝑖𝑛C𝑠𝑖𝑛B=2𝑠𝑖𝑛15°𝑠𝑖𝑛45°=6-22.∴A=60°,C=75°,c=6+22或A=120°,C=15°,c=6-22.题型一题型二题型三已知两边和其中一边的对角解三角形的步骤:①利用正弦定理求出另一角的正弦值m,若m1,则此三角形无解,若0m≤1,则执行下一步;②借助于三角形的内角范围和m来确定该内角的大小;③分类讨论该内角的大小,先用三角形的内角和定理求出第三个角,再用正弦定理求出第三边,此时可能无解,或仅有一解,或有两解.此类题目也可先确定三角形解的个数,再解三角形.题型一题型二题型三题型三判断三角形的形状【例3】已知△ABC中,bsinB=csinC,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断三角形的形状.分析:设a𝑠𝑖𝑛A=b𝑠𝑖𝑛B=c𝑠𝑖𝑛C=2R,再利用sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R将角的关系化为边之间的关系.题型一题型二题型三解:由正弦定理,设a𝑠𝑖𝑛A=b𝑠𝑖𝑛B=c𝑠𝑖𝑛C=2R,从而得sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R.∵bsinB=csinC,sin2A=sin2B+sin2C,∴b·b2R=c·c2R,a2R2=b2R2+c2R2,题型一题型二题型三∴b2=c2,a2=b2+c2,∴b=c,A=90°.∴△ABC为等腰直角三角形.题型一题型二题型三(1)要判断三角形的形状,必须深入研究边与边的大小关系:是否两边相等?是否三边相等?是否符合勾股定理?还要研究角与角的大小关系:是否两个角相等?是否三个角相等?有无直角或钝角?(2)解此类题的思想方法是:从条件出发,利用正弦定理等进行代换、转化、化简、运算,发现边与边的关系或角与角的关系,从而作出正确判断.(3)一般有两种转化方向:①角转化为边;②边转化为角.12341.在△ABC中,A=60°,a=43,b=42,则B等于()A.45°或135°B.135°C.45°D.以上答案都不对1234解析:由a𝑠𝑖𝑛A=b𝑠𝑖𝑛B,得sinB=b𝑠𝑖𝑛Aa=42×𝑠𝑖𝑛60°43=22.∵ab,∴AB,而A=60°,∴B为锐角,∴B=45°.答案:C12342.在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,若a=3,b=1,∠A=𝜋3,则∠B=.解析:由正弦定理得a𝑠𝑖𝑛A=b𝑠𝑖𝑛B,所以3𝑠𝑖𝑛𝜋3=1𝑠𝑖𝑛B,解得sinB=12,所以B=5𝜋6(舍去)或B=𝜋6,所以B=𝜋6.答案:𝜋612343.在△ABC中,a,b分别是△ABC的内角A,B所对的边.若B=45°,b=2a,则C=.解析:由正弦定理得ab=𝑠𝑖𝑛A𝑠𝑖𝑛B,所以𝑠𝑖𝑛A𝑠𝑖𝑛45°=a2a.所以sinA=12.又0°A180°,所以A=30°或150°.当A=30°时,C=180°-A-B=105°,当A=150°时,A+B=195°180°,此时不合题意,所以C=105°.答案:105°12344.在△ABC中,a=5,B=45°,C=105°,求边c.解:由三角形内角和定理,知A+B+C=180°,∴A=180°-(B+C)=180°-(45°+105°)=30°.由正弦定理a𝑠𝑖𝑛A=c𝑠𝑖𝑛C,得c=a·𝑠𝑖𝑛C𝑠𝑖𝑛A=5·𝑠𝑖𝑛105°𝑠𝑖𝑛30°=5·𝑠𝑖𝑛(60°+45°)𝑠𝑖𝑛30°=5·𝑠𝑖𝑛60°𝑐𝑜𝑠45°+𝑐𝑜𝑠60°𝑠𝑖𝑛45°𝑠𝑖𝑛30°=52(6+2).