专题：勾股定理折叠问题

勾股定理折叠问题中应用1.如图，Rt⊿ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，D为BC上一点，将AC沿AD折叠，使点C落在AB上，求CD的长。ACBDC´一、三角形的折叠2.如图，Rt⊿ABC中，∠C=90°，D为AB上一点，将⊿ABC沿DE折叠，使点B与点A重合，①若AC=4，BC=8，求CE的长。②若AC=24，BC=32，求折痕DE的长。ACBDE3、已知一个直角三角形纸片OAB，其∠AOB=90°，OA=2，OB=4，如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D。（Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；解：（Ⅰ）如图（1），折叠后点B与点A重合，连接AC，则△ACD≌△BCD，设点C的坐标为（0，m）（m0），则BC=OB-OC=4-m，于是AC=BC=4-m，在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC2=OC2+OA2，即（4-m）2=m2+22，解得m=，∴点C的坐标为；3、已知一个直角三角形纸片OAB，其∠AOB=90°，OA=2，OB=4，如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D。（Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；如图（2），折叠后点B落在OA边上的点为B′连接B′C，B′D，则△B′CD≌△BCD，由题设OB′=x，OC=y，则B′C=BC=OB-OC=4-y，在Rt△B′OC中，由勾股定理，得B′C2=OC2+OB′2，二、矩形的折叠１．如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠，使AD落在对角线BD上，得折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG。GA´DABC20cmBC16cmAB2.为了向建国六十周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级（3）班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长宽，的矩形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处，……请你根据①②步骤解答下列问题：（1）找出图中∠FEC的余角；（2）计算EC的长．DAECFBＡＢＣＤＥＦＤ´３．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，①求DF的长；②求重叠部分△AEF的面积；③求折痕EF的长。④着色部分的面积为多少？例3：矩形ABCD中，AB=6，BC=8，先把它对折，折痕为EF，展开后再沿BG折叠，使A落在EF上的A1，求第二次折痕BG的长。ABCDEFA1G提示：先证明正三角形AA1B4、如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b,BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明。ABCDEFA′B′如图，矩形ABCD的边长AB=6，BC=8，将矩形折叠，使点C与点A重合，则折痕EF长为______．5、动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的E处，折痕为PQ，当点E在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点E在BC边上可移动的最大距离为.BACEPQD6、把图一的矩形纸片ABCD折叠，B，C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二），已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为_______。7、如图，长方形ABCD中，O，F分别为AD，CD的中点，且点O是直角坐标系的原点，AB=2，沿BO将△ABO折叠，点A恰好落在BF上.（1）求AD的长度；（2）如图，若把△BCF绕点F顺时针旋转90°，得到△B′C′F′，求B′的坐标．8、（2011•内江）如图．在直角坐标系中，矩形ABC0的边OA在x轴上，边0C在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为（）三、正方形的折叠EA´DABCNM１．将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，①求线段CN的长②求AM③求折痕MN的长总结：①折叠的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等。②注意利用线段关系和勾股定理列方程计算2、如图，ABCD为正方形，E为BC上一点，将正方形折叠，使A点与E点重合，折痕为MN，若EB：AB=13，DC+CE=10．（1）求△ANE的面积；（2）求sin∠ENB的值．3、某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动.活动情境：如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠(折痕EG分别与AB、DC交于点E、G)，使点B落在AD边上的点F处，FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P．所得结论：当点F与AD的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）：甲：△AEF的边AE=cm，EF=cm；乙：△FDM的周长为16cm；丙：EG=BF.你的任务：小题1:填充甲同学所得结果中的数据；小题2:写出在乙同学所得结果的求解过程；小题3:当点F在AD边上除点A、D外的任何一处（如图2）时：①试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论；②丙同学的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若你认为成立，先证明EG=BF，再求出S（S为四边形AEGD的面积）与x（AF=x）的函数关系式，并问当x为何值时，S最大？最大值是多少？母题（2014成都）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是______．如图1，连接CM，过M点作MH⊥CD交CD的延长线于点H，则由已知可得，在Rt△DHM中，DM=1，∠HDM=60°，又∵根据翻折对称的性质，A′M=AM=1，最小，此时点A′落在MC上，如图2.∵MA′=NA=1，变式：（2015•自贡）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（）解：当∠BFE=∠EFD，点B′在FD上时，根据根据三角形的三边关系，两点之间线段最短，此时B′D的值最小，根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F，∴EB′⊥FD，∴EB′=EB∵E是AB边的中点，∴AE=EB′在Rt△EAD和Rt△EB′D中，∴Rt△EAD和Rt△EB′D∴B′D=AD=6．分析：当∠BFE=∠EFD，点B′在FD上时，根据三角形的三边关系，此时B′D的值最小，易证△AED≌△B′ED，B′D=AD=6．点评：本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点B′在何位置时，B′D的值最小，是解决问题的关键．