1【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.5两角和与差的正弦、余弦和正切公式理1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C(α-β))cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(C(α+β))sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ(S(α-β))sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(S(α+β))tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ(T(α-β))tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ(T(α+β))2.二倍角公式sin2α=2sinαcosα;cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;tan2α=2tanα1-tan2α.3.公式的逆用、变形等(1)tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ);(2)cos2α=1+cos2α2,sin2α=1-cos2α2;(3)1+sin2α=(sinα+cosα)2,1-sin2α=(sinα-cosα)2,sinα±cosα=2sinα±π4.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立.(√)(2)在锐角△ABC中,sinAsinB和cosAcosB大小不确定.(×)(3)公式tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ可以变形为tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tan2αtanβ),且对任意角α,β都成立.(×)(4)存在实数α,使tan2α=2tanα.(√)(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.(√)1.已知sinα+cosα=13,则sin2π4-α=.答案1718解析由sinα+cosα=13两边平方得1+sin2α=19,解得sin2α=-89,所以sin2π4-α=1-cosπ2-2α2=1-sin2α2=1+892=1718.2.若sinα+cosαsinα-cosα=12,则tan2α=.答案34解析由sinα+cosαsinα-cosα=12,等式左边分子、分母同除cosα得,tanα+1tanα-1=12,解得tanα=-3,则tan2α=2tanα1-tan2α=34.3.(2015·重庆改编)若tanα=13,tan(α+β)=12,则tanβ=.答案17解析tanβ=tan[(α+β)-α]=α+β-tanα1+α+βα=12-131+12×13=17.4.(教材改编)sin347°cos148°+sin77°cos58°=.3答案22解析sin347°cos148°+sin77°cos58°=sin(270°+77°)cos(90°+58°)+sin77°cos58°=(-cos77°)·(-sin58°)+sin77°cos58°=sin58°cos77°+cos58°sin77°=sin(58°+77°)=sin135°=22.5.设α为锐角,若cos(α+π6)=45,则sin(2α+π12)的值为.答案17250解析∵α为锐角,cos(α+π6)=45,∴α+π6∈π6,2π3,∴sin(α+π6)=35,∴sin(2α+π3)=2sin(α+π6)cos(α+π6)=2425,∴cos(2α+π3)=2cos2(α+π6)-1=725,∴sin(2α+π12)=sin(2α+π3-π4)=22[sin(2α+π3)-cos(2α+π3)]=17250.题型一三角函数公式的基本应用例1(1)已知sinα=35,α∈(π2,π),则cos2α2α+π4=.(2)设sin2α=-sinα,α∈π2,π,则tan2α的值是.答案(1)-75(2)34解析(1)cos2α2sinα+π4=cos2α-sin2α222sinα+22cosα=cosα-sinα,∵sinα=35,α∈π2,π,∴cosα=-45.∴原式=-75.(2)∵sin2α=2sinαcosα=-sinα,∴cosα=-12,又α∈π2,π,∴sinα=32,tanα=-3,∴tan2α=2tanα1-tan2α=-231--32=3.思维升华(1)使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征.(2)使用公式求值,应先求出相关角的函数值,再代入公式求值.(1)若α∈(π2,π),tan(α+π4)=17,则sinα=.(2)已知cos(x-π6)=-33,则cosx+cos(x-π3)的值是.答案(1)35(2)-1解析(1)∵tan(α+π4)=tanα+11-tanα=17,∴tanα=-34=sinαcosα,∴cosα=-43sinα.又∵sin2α+cos2α=1,∴sin2α=925.5又∵α∈(π2,π),∴sinα=35.(2)cosx+cos(x-π3)=cosx+12cosx+32sinx=32cosx+32sinx=3(32cosx+12sinx)=3cos(x-π6)=-1.题型二三角函数公式的灵活应用例2(1)sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)·cos(110°-x)的值为.(2)(2015·重庆改编)若tanα=2tanπ5,则cosα-3π10sinα-π5=.答案(1)22(2)3解析(1)原式=sin(65°-x)·cos(x-20°)+cos(65°-x)cos[90°-(x-20°)]=sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)sin(x-20°)=sin[(65°-x)+(x-20°)]=sin45°=22.(2)cosα-3π10sinα-π5=sinπ2+α-3π10sinα-π5=sinα+π5sinα-π5=sinαcosπ5+cosαsinπ5sinαcosπ5-cosαsinπ5=tanαtanπ5+1tanαtanπ5-1=2+12-1=3.思维升华运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确,而且要熟悉公式的逆用及变形,如tanα+tanβ=tan(α+β)·(1-tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力.(1)在斜三角形ABC中,sinA=-2cosB·cosC,且tanB·tanC=1-2,6则角A的值为.(2)函数f(x)=2sin2(π4+x)-3cos2x的最大值为.答案(1)π4(2)3解析(1)由题意知:sinA=-2cosB·cosC=sin(B+C)=sinB·cosC+cosB·sinC,在等式-2cosB·cosC=sinB·cosC+cosB·sinC两边同除以cosB·cosC得tanB+tanC=-2,又tan(B+C)=tanB+tanC1-tanBtanC=-1=-tanA,所以A=π4.(2)f(x)=1-cosπ4+x-3cos2x=sin2x-3cos2x+1=2sin2x-π3+1,可得f(x)的最大值是3.题型三角的变换问题例3(1)设α、β都是锐角,且cosα=55,sin(α+β)=35,则cosβ=.(2)已知cos(α-π6)+sinα=453,则sin(α+7π6)的值是.答案(1)2525(2)-45解析(1)依题意得sinα=1-cos2α=255,cos(α+β)=±1-sin2α+β=±45.又α,β均为锐角,所以0αα+βπ,cosαcos(α+β).因为4555-45,所以cos(α+β)=-45.于是cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-45×55+35×255=2525.(2)∵cos(α-π6)+sinα=453,∴32cosα+32sinα=453,73(12cosα+32sinα)=453,3sin(π6+α)=453,∴sin(π6+α)=45,∴sin(α+7π6)=-sin(π6+α)=-45.思维升华(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(2)常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=α+β2-α-β2,α=α+β2+α-β2,α-β2=(α+β2)-(α2+β)等.若0<α<π2,-π2<β<0,cosπ4+α=13,cosπ4-β2=33,则cosα+β2=.答案539解析cosα+β2=cosπ4+α-π4-β2=cosπ4+αcosπ4-β2+sinπ4+αsinπ4-β2,∵0<α<π2,∴π4<π4+α<3π4,∴sinπ4+α=223.又-π2<β<0,则π4<π4-β2<π2,∴sinπ4-β2=63.故cosα+β2=13×33+223×63=539.5.三角函数求值忽视角的范围致误典例(1)已知0<β<π2<α<π,且cosα-β2=-19,sinα2-β=23,则cos(α+8β)的值为.(2)已知在△ABC中,sin(A+B)=23,cosB=-34,则cosA=.易错分析(1)角α2-β,α-β2的范围没有确定准确,导致开方时符号错误.(2)对三角形中角的范围挖掘不够,忽视隐含条件,B为钝角.解析(1)∵0<β<π2<α<π,∴-π4<α2-β<π2,π4<α-β2<π,∴cosα2-β=1-sin2α2-β=53,sinα-β2=1-cos2α-β2=459,∴cosα+β2=cosα-β2-α2-β=cosα-β2cosα2-β+sinα-β2sinα2-β=-19×53+459×23=7527,∴cos(α+β)=2cos2α+β2-1=2×49×5729-1=-239729.(2)在△ABC中,∵cosB=-34,∴π2<B<π,sinB=1-cos2B=74.∵π2<B<A+B<π,sin(A+B)=23,∴cos(A+B)=-1-sin2A+B=-53,∴cosA=cos[(A+B)-B]=cos(A+B)cosB+sin(A+B)sinB=-53×-34+23×74=35+2712.答案(1)-239729(2)35+27129温馨提醒在解决三角函数式的求值问题时,要注意题目中角的范围的限制,特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号.另外,对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题,解题时要加强对审题深度的要求与训练,以防出错.[方法与技巧]1.巧用公式变形:和差角公式变形:tanx±tany=tan(x±y)·(1∓tanx·tany);倍角公式变形:降幂公式cos2α=1+cos2α2,sin2α=1-cos2α2,配方变形:1±sinα=sinα2±cosα22,1+cosα=2cos2α2,1-cosα=2sin2α2.2.重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角:对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.