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一次函数解题探究一次函数的“最值”一次函数y=kx+b中，x、y均可取一切实数．如果缩小x的取值范围，则其函数值就会出现最大值或最小值．一次函数的“最值”由一次函数的性质决定，与其k值、自变量的取值范围密切相关：⑴k＞0时，y随x增大而增大．因此，x取最小值时，y有最小值；x取最大值时，y有最大值．⑵k＜0时，y随x增大而减小．因此，x取最小值时，y有最大值；x取最大值时，y有最小值．k值、自变量的取值范围与函数最大值、最小值的对应情况如下表：xy=kx+bk＞0k＜0x≤mx有最大值，y有最大值y最大值=km+bx有最大值，y有最小值y最小值=km+bx≥mx有最小值，y有最小值y最小值=km+bx有最小值，y有最大值y最大值=km+bm≤x≤nx=m时（最小），y最小值=km+b；x=n时（最大），y最大值=kn+bx=m时（最小），y最大值=km+b；x=n时（最大），y最小值=kn+b求一次函数的最大、最小值，一般都是采用“极端值法”．即用自变量的端点值，根据函数增减性，对应求出函数的端点值（最值）．请看以下实例．例1．已知一次函数y=kx+b中自变量x的取值范围是-2≤x≤6，相应的函数取值范围是-11≤y≤9．求此函数的解析式．解析：x的取值范围与函数y的取值范围的对应情况，由k值的符号确定．故应分类讨论．⑴k＞0时，y随x增大而增大．x=-2时，y=-11；x=6时，y=9．∴解得∴y=x-1⑵k＜0时，y随x增大而减小．x=-2时，y=9；x=6时，y=-11．∴解得∴y=－x+14例2．康乐公司在A、B两地分别有同型号的机器17台和15台，现在运往甲地18台、乙地14台．从A、B两地运往甲、乙两地的费用如下表；甲地（元/台）（18）乙地（元/台）（14）A地（17）600（x）500（17-x）B地（15）400（18-x）800（x-3）⑴如果从A地运往甲地x台，求完成以上调运所需总费用y（元）关于x（台）的函数解析式；⑵若康乐公司请你设计一种最佳调运方案，使总的费用最少，则该公司完成以上调运方案至少需要多少费用？为什么？解析：⑴y=600x+500（17-x）+400（18-x）+800（x-3）=500x+13300⑵由①x≥0；②17-x≥0；③18-x≥0；④x-3≥0∴3≤x≤17∵k=500＞0，∴y随x增大而增大，x取最小值时，y有最小值．∴x=3时，y最小值=500×3+13300=14800（元）故该公司完成以上调运方案至少需14800元运费．调运方案为：由A地运往甲地3台，运往乙地14台；由B地运往甲地15台．一次函数图象平移的探究湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学赵国瑞我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移∣b∣个单位长度得到(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向上平移)．或者说，直线y=kx平移∣b∣个单位长度得到直线y=kx+b(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移)．例如，将直线y=-x向上平移3个单位长度就得到直线y=-x+3，将直线y=-x向下平移1个单位长度就可以得到直线y=-x-1．需要注意的是，函数图象的平移，既可以上下平移，也可以左右平移．这里所说的平移，是指函数图象的上下平移，而非左右平移．以上平移比较简单，因为它是对最简单的一次函数即正比例函数进行平移．对于一个一般形式的一次函数图象又该怎样进行平移呢？让我们一起进行探究：问题1已知直线：y=2x-3，将直线向上平移2个单位长度得到直线，求直线的解析式．分析：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线的解析式为y=2x+b，由于直线的解析式中只有一个未知数，因此再需一个条件即可．怎样得到这个条件呢？注意到直线与两条坐标轴分别交于两点，而直线与y轴的交点易求，这样就得到一个条件，于是直线的解析式可求．解：设直线的解析式为y=2x+b，直线交y轴于点(0，-3)，向上平移2个单位长度后变为(0，-1)．把(0，-1)坐标代入y=2x+b，得b=-1，从而直线的解析式为y=2x-1．问题2已知直线：y=2x-3，将直线向下平移2个单位长度得到直线，求直线的解析式．答案：直线的解析式为y=2x-5．(解答过程请同学们自己完成)对比直线和直线直线的解析式可以发现：将直线：y=2x-3向上平移2个单位长度得到直线的解析式为：y=2x-3+2；将直线：y=2x-3向下平移2个单位长度得到直线的解析式为：y=2x-3-2．(此时你有什么新发现？)问题3已知直线：y=kx+b，将直线向上平移m个单位长度得到直线，求直线的解析式．简解：设直线的解析式为y=kx+n，直线交y轴于点(0，b)，向上平移m个单位长度后变为(0，b+m)，把(0，b+m)坐标代入的解析式可得，n=b+m．从而直线的解析式为y=kx+b+m．问题4已知直线：y=kx+b，将直线向下平移m个单位长度得到直线，求直线的解析式．答案：直线的解析式为y=kx+b-m．(解答过程请同学们自己完成)由此我们得到：直线y=kx+b向上平移m（m为正）个单位长度得到直线y=kx+b+m，直线y=kx+b向下平移m（m为正）个单位长度得到直线y=kx+b-m，这是直线直线y=kx+b上下(或沿y轴)平移的规律．这个规律可以简记为：．以上我们探究了直线y=kx+b的上下(或沿y轴)的平移，如果直线y=kx+b不是上下(或沿y轴)平移，而是左右(或沿x轴)平移，又该怎样进行平移呢？Let,sgo，让我们一起继续探究！问题5已知直线：y=3x-12，将直线向左平移5个单位长度得到直线，求直线的解析式．简解：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线的解析式为y=3x+b，直线交x轴于点(4，0)，向左平移5个单位长度后变为(-1，0)．把(-1，0)坐标代入y=3x+b，得b=3，从而直线的解析式为y=3x+3．问题6已知直线：y=3x-12，将直线向右平移5个单位长度得到直线，求直线的解析式．答案：直线的解析式为y=3x-27．(解答过程请同学们自己完成)对比直线和直线直线的解析式可以发现：将直线：y=3x-12向左平移5个单位长度得到直线的解析式为：y=3(x+5)-12；将直线：y=3x-12向右平移5个单位长度得到直线的解析式为：y=3(x-5)-12．(此时你有什么新发现？)问题7已知直线：y=kx+b，将直线向左平移m个单位长度得到直线，求直线的解析式．简解：设直线的解析式为y=kx+n，直线交x轴于点(，0)，向左平移m个单位长度后变为(0，-m)，把(0，-m)坐标代入的解析式可得，n=km+b．从而直线的解析式为y=kx+km+b，即y=k(x+m)+b．问题8已知直线：y=kx+b，将直线向右平移m个单位长度得到直线，求直线的解析式．答案：直线的解析式为y=k(x-m)+b．(解答过程请同学们自己完成)由此我们得到：直线y=kx+b向左平移m（m为正）个单位长度得到直线y=k(x+m)+b，直线y=kx+b向右平移m（m为正）个单位长度得到直线y=k(x-m)+b，这是直线y=kx+b左右(或沿x轴)平移的规律．这个规律可以简记为：．下面就请同学们运用一次函数图象平移的规律解决下面问题：1．直线y=-x-3向上平移2个单位长度后得到的直线解析式是＿＿＿；直线y=-2向下平移3个单位长度后得到的直线解析式是＿＿＿．2．直线y=-5x-12向左平移2个单位长度后得到的直线解析式是＿＿＿；直线y=向右平移3个单位长度后得到的直线解析式是＿＿＿．3．直线y=8x+13既可以看作直线y=8x-3向＿＿＿平移(填“上”或“下”)＿＿＿单位长度得到；也可以看作直线y=8x-3向＿＿＿平移(填“左”或“右”)＿＿＿单位长度得到．4．要由直线y=2x+12得到直线y=2x-6，可以通过平移得到：先将直线y=2x+12向＿＿＿平移(填“上”或“下”)＿＿＿单位长度得到直线y=2x，再将直线y=2x向＿＿＿平移(填“上”或“下”)得到直线y=2x-6；当然也可以这样平移：先将直线y=2x+12向＿＿＿平移(填“左”或“右”)＿＿＿单位长度得到直线y=2x，再将直线y=2x向＿＿＿平移(填“左”或“右”)得到直线y=2x-6；以上这两种方法是分步平移．也可以一次直接平移得到，即将直线y=2x+12向＿＿＿平移(填“上”或“下”)直接得到直线y=2x-6，或者将直线y=2x+12向＿＿＿平移(填“左”或“右”)直接得到直线y=2x-6．参考答案：1．y=-x-1；y=+12．y=-5x-22；y=3．上，16，左，24．下，12，下，6，右，6，右，3，下，18，右，9两个斜率和截距互换的一次函数湖北省襄阳市樊城区牛首镇竹条一中谷兴武张琴学习八年级数学（上）《一次函数》内容时经常遇到这样的习题：一次函数与的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（）A.B.C.D.笔者调查了本校的部分数学教师，归纳有两种方法传授给学生，方法一：逐个去分析这四幅图，就其中一幅图而言，首先假定其中任意一条直线是，由该直线的位置可得与0的大小关系（即判断出的符号），再用已确定符号的，试一试是否适合另一条直线的位置（假定另一条直线是），若适合，选择该图。方法二：也是逐个分析每一幅图，任意假定其中一条直线是，得到一组的符号；再假定另一条直线是，也得到一组的符号，如果这两组的符号一致，说明此图正确。前不久笔者看到一本有关初中奥数的书中指出，直线与的交点是，交点的横坐标是定值1。本人当时就预感到自己和部分教师对“一次函数与的图象在同一直角坐标系内的大致位置”的认识欠深入，有必要再研究。一、从两直线的交点入手解一次函数与组成的方程组，但是在解的过程中，笔者发现：只有当时（即时），方程组才有唯一的一组解，即直线与在同一直角坐标系内交点才是唯一的，且为，可见，这个交点只在直线上(如图1)。容易看出，当时，一次函数与成同一条直线了，所以笔者认为文首题目的条件不严密，应添加：.二、从两直线所在的象限入手笔者分析，一次函数图像的大致位置是由直线的斜率和它在y轴上的截距的符号来决定的，由于直线与的斜率和在y轴上的截距是互相交换的，所以这两条直线的位置互相牵制。当同号时，直线与同时过相同的三个象限；当异号时，它们不能同时过相同的三个象限。笔者通过探究，可归为三类：1.当且时，两条直线都过一、二、三象限（如图2）说明一下，图形中的位置可以互换（下文的图3同），但是同时两直线的解析式也发生互换。2.当且时，两条直线都过二、三、四象限（如图3）3.当时，过一、三、四象限，过一、二、四象限。当时，过一、二、四象限，过一、三、四象限。显然，第三类的两种情况可以合二为一：当异号时，若一条直线过一、三、四象限，则另一条直线必过一、二、四象限（如图4）。反之，亦然。总结综上所述，归纳如下：情形1当同正且不相等时，一次函数与的图象在同一直角坐标系内都过一、二、三象限，这两条直线的交点一定在第一象限且在直线上.情形2当同负且不相等时，这两条直线都过二、三、四象限，交点一定在第四象限且也在直线上.情形3当异号时，它们其中一条直线过一、三、四象限，另一条直线过一、二、四象限，交点所在象限取决于的符号，若，交点在第一象限；若，交点在轴上（1，0）处；若时，交点在第四象限。且交点必在直线上.三、应用举例例1现在，我们再回过头来解决文章开头的题目（最好加个条件），首先从交点上分析，一次函数与的图象在同一坐标系内的交点必在直线上，淘汰选项B、D；然后再从这两条直线所经过的象限来分析，只有上述总结的三种情形，从而在剩余的选项A、C中把A淘汰掉，选择C.显然，此法优于文章第二段介绍的方法。例2设且，将一次函数与的图象画在同一直角坐标系内，则图中正确的是（）分析首先根据条件，淘汰选项，再从这两条直线所经过的象限来分析，观察剩下的三个选项都符合前面总结的情形3，但是选项中两直线的交点所处的位置有所不同，从三幅图可得：异号且.又因已知，所以，可得交点在第四象限，故选一次