数学模型第十一章对策与决策方法建模--11.4层次分析法

§4层次分析法某些问题的一个共同特点是它们都通常涉及到经济、社会、人文等方面的因素。在作比较、判断、评价、决策时，这些因素的重要性、影响力或者优先程度往往难以量化，人的主观选择会起着相当重要的作用，这就给用一般的数学方法(机理分析和统计分析)解决问题带来本质上的困难。例1国家综合实力分析一些高层研究人员要对美,俄,中,英,法,日,德等大国的国家综合实力进行分析。美俄中英法日德等大国国家综合实力分析国民收入入入军事力量量科技水平平平社会稳定定对外贸易易例2资源开发的综合判断某发展中国家有7种可供开发的矿产资源:铁Ir,铜Cu,磷酸盐Ph，铀Ur,铝Al,金Go,金刚石Di，开发这些资源有关的因素有：潜在经济价值1Q，开采费用2Q，风险3Q，需求4Q，战略重要性5Q，交通条件6Q。对经济发展的贡献1Q2Q3Q4Q5Q6QIr,Cu,Ph,Ur,Al,Go,Di例3大学毕业生工作选择工作选择贡献收入发展声誉关系位置国家机关,国营企业,三资企业科技成果评价直接经济效益间接经济效益社会效益学术水平技术创新学术规模待评价的诸项科技成果例4科技成果的综合评价T.L.Saaty等人在七十年代提出了一种能有效地处理这样一类问题的实用方法,称层次分析法(简记AHP),是一种定性和定量相结合的,系统化,层次化的分析方法。由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快就在世界范围内得到普遍重视和广泛应用。它的应用已遍及经济计划和管理、能源、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、医疗、环境等领域。从处理问题的类型看，主要是决策、评价、分析、预测等。下面以一个例子来介绍AHP的基本步骤。1、建立层次结构模型在深入分析实际问题的基础上,将有关的各个因素按不同属性自上而下地分解成若干层次。同一层次的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响,同时又支配下一层的因素或受下层因素的作用,最上层为目标层,最下层为方案层,中间可有1个或几个层次,称为准则层。选择旅游地景色1C费用2C居住3C饮食4C旅途5C苏杭1P北戴河2P桂林3P目标层准则层方案层2、构造成对比较矩阵从层次结构模型的第二层开始，对于从属于上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1-9比较尺度构造成对比较阵，直到最下层。例如要比较nCCC,,,21对上层因素0的影响，每次取两个因素iC和jC，用ija表示iC和jC对0的影响之比。全部比较结果用成对比较矩阵ijjiijnxnijaaaaA1,0,表示，这里ija是相对比较尺度，其含义如下：尺度ija含义1iC对jC的影响相同3iC对jC的影响稍强5iC对jC的影响强7iC对jC的影响明显地强9iC对jC的影响绝对地强2，4，6，8iC对jC的影响之比在上述两相邻等级之间这里设某人得到成对比较阵为1135131112513131211714155712334211A1215121215211B，1383113813112B，131313113113B，114111314314B，144411141115B3、计算权向量并做一致性检验成对比较阵A应满足nkjiaaaikjkij,,2,1,,,.称这样的A为一致性矩阵。它有下面性质：1）1Arank，A的唯一非零特征根为n；2）A的任一列向量都是对应于特征根n的特征向量。因此自然应取对应特征根n的，归一化的特征向量（即分量之和为1）表示诸因素nCCC,,,21对上层因素0的权重，这个特征向量称为权向量。仔细分析一下本例的A，可以发现221a，413a，8723a，一般地，n个因素要做21nn次成对比较，不容易做到完全一致。因为矩阵A的特征根和特征向量连续地依赖于矩阵的元素ija，所以当ija离一致性的要求不远时，A的特征根和特征向量也与一致阵相差不大，Saaty等人建议，如果成对比较阵A不是一致阵，但在不一致的容许范围内，仍可以用对应于A的最大特征根的特征向量（归一化）作为权向量W。但怎样确定A的不一致程度的容许范围呢？就要进行一致性检验，步骤是1）计算一致性指标1nnCI；2）查下表得出随机一致性指标RI的数值n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.513）对3n，计算一致性比率RICICR；若1.0CR，认为A的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量，否则应重新构造成对比较阵。在本例中，计算A的TW)110.0,099.0,055.0,475.0,263.0(,073.52018.0155073.5CI，1.0016.0,12.1CRRI，通过一致性检验。)5,4,3,2,1(kBk的一致性检验结果见下表：k12345k3.0053.0023.0003.0093.0003kW0.5950.0820.4290.6330.1660.2770.2360.4290.1930.1660.1280.6820.1420.1740.668kCI0.0030.00100.0050kCR0.0050.00200.0090这里58.0kRI，可见kB全通过一致性检验。4、计算组合权向量并做组合一致性检验由各准则对目标的权向量2W和各方案对每个准则的权向量),,2,1(3nkWk，计算各方案对目标的权向量3W，称组合权向量，计算办法是，以3kW为列向量构成矩阵],,[)3()3(1)3(n则第3层对第1层的组合权向量3W为23)3(在本例中456.0244.0300.0110.0099.0055.0475.0263.0668.0166.0166.0174.0142.0682.0128.0193.0429.0236.0277.0633.0429.0082.0595.03W在层次分析的整个计算过程中，除3对每个成对比较阵进行一致性检验，以判断每个权向量是否可以应用外，还应对最后结果进行组合一致性检验，以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据。第3层对第1层的组合一致性比率为3323RICICRCR其中2CR即前面的CR，)2()3()3(1)3(],,[WCICICIn)2()3()3(1)3(],,[WRIRIRIn当1.03CR时认为整个层次的比较判断通过一致性检验，可按组合权向量表示的结果进行决策，否则需要重新构造那些一致性比率CR较大的成对比较矩阵。在本例中，可以算出00176.03CI，58.03RI，016.0CR，于是1.0019.058.000176.0016.03CR通过了组合一致性检验，于是3W结果表明方案3P在旅游地选择中的权重近于21，远大于21,PP，应作为第一选择地点。