利用向量方法解决几何问题

江西师范大学2012届数学与应用数学学士学位论文江西师范大学科学技术学院毕业论文利用向量方法解决几何问题SolvingProblemsinGeometrybyUsingtheMethodofVectors姓名:符扬波学号：0807019012学院：科学技术学院专业：数学与应用数学指导老师：杨金波（教授）完成时间：2012年4月20日江西师范大学2012届数学与应用数学学士学位论文I利用向量方法解决几何问题符扬波【摘要】向量是形与数的高度统一,它集几何图形的直观与代数运算的简洁于一身。向量在几何中的应用主要在平面几何与空间几何两方面。利用向量解决一些相关数学问题将大大减少解题步骤，大多数学，物理问题，用向量来解决往往解法简单明快。所以本文先回顾向量的一些基本概念及定理，再分别从平面向量和空间向量两个方面总结归纳且列举说明向量在解决几何问题中的应用。【关键词】向量平面几何立体几何江西师范大学2012届数学与应用数学学士学位论文IISolvingProblemsinGeometrybyUsingtheMethodofVectorsFuYangBo【Abstract】vectorisahighuniformofalgebraandgeometricgraphwhichintegratestheclearversionofgeometricgraphandtheconciseofalgebraiccalculation.Theapplicationofvectoringeometryismainlyofplanegeometryandspacegeometry.Itisvectorthatmakessignificantcontributiontothereductionofcalculationprocessamongseveralmathematicalproblemswhichcouldbeusedinthemajorityofmathematicalandphysicalproblems.So,thispaperwillfirstlymakeareviewonseveralbasicconceptsandtheoriesofvector,andthenmakesummariesaswellastheapplicationsofvectorinsolvinggeometricproblemsontheaspectsofplanegeometryandspacegeometry.【Keywords】Vector，Planegeometry，Solidgeometry江西师范大学2012届数学与应用数学学士学位论文III目录1引言............................................................１2向量的基本知识及定理............................................１2.1平面向量基本知识...........................................１2.2空间向量基本知识...........................................３2.3向量的基本定理.............................................４3利用向量方法解决平面几何问题.....................................６3.1利用向量线性关系解决平面几何中的共线问题...................６3.2利用向量知识证明平面几何中的平行问题.......................８3.3利用向量知识证明平面向量中的垂直问题.......................８3.4利用向量知识求平面几何中的夹角问题.........................９3.5利用向量知识求解平面几何中的线段长度问题.................１１3.6利用向量知识解决平面解析几何问题.........................１１3.6.1求解解析几何中的线段长度............................１２3.6.2利用向量处理解析几何中的夹角问题....................１３3.6.3平面向量与解析几何中的共线问题......................１４4利用向量解决立体几何问题.......................................１５4.1利用向量证明立体几何中的线面问题.........................１５4.1.1线面平行问题........................................１５4.1.2线面垂直问题........................................１６4.1.3线面夹角问题........................................１６4.2利用向量解决空间中异面直线所成角的问题....................１８4.3利用向量知识求解二面角问题...............................１９5小结...........................................................２２参考文献.........................................................２３江西师范大学2012届数学与应用数学学士学位论文１1引言向量是形与数的高度统一,它集几何图形的直观与代数运算的简洁于一身。是高中数学新增加的内容，在作用上它取代了以往复数在高中数学教材中的地位，但从目前的使用情况来看，向量的作用要远远大于复数。一个复数所对应的点只能在平面上，而向量却有平面向量和空间向量之分，这一点在与几何（尤其是立体几何）的联系上表现得更加突出。向量在数学，力学，物理学和工程技术中应用很广泛，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容中的许多主干知识相结合，形成知识交汇点。向量方法在解决几何问题时充分体现了它的优越性，平面向量就具有较强的工具性作用，向量方法不仅可以用来解决不等式、三角、复数、物理、测量等某些问题，还可以简捷明快地解决平面几何许多常见证明（平行、垂直、共线、相切、角相等）与求值（距离、角、比值等）问题.不难看出向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合。向量法是将几何问题代数化，用代数方法研究几何问题。用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化。那么解立体几何题时就可以用向量方法，对某些传统性较大，随机性较强的立体几何问题，引入向量工具之后，可提供一些通法。2向量的基本知识及定理向量是形与数的高度统一，它集几何图形的直观与代数运算的简洁于一身，在解决几何问题中有奇特的功效。在利用向量解决几何问题前理解向量的基本概念和掌握向量的基本定理是非常必要的[10].2.1平面向量基本知识一、向量的基本概念（1）既有大小又有方向的量称为向量。（2）向量的表示方法：几何表示法、字母表示法。（3）相等的向量：方向相同且长度相等的有向线段表示同一向量或相等向量。（4）如果ABa，那么AB的长度，叫做a的模，记作a或者AB。江西师范大学2012届数学与应用数学学士学位论文２（5）长度为零的向量，叫做零向量。记作0，其向量的方向不确定。（6）与非零的向量a同方向且长度等于1的向量，叫做a的单位向量，若a的单位向量为0a，则0a与a的关系是00aaa。（7）通过有向线段AB的直线，叫做向量AB的基线。（8）如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量平行或共线。二、平面向量的线性运算（1）向量的加法运算：①、已知向量a、b，在平面上任取一点A，作,ABaBCb，再作向量AC,则向量AC叫做a与b的和（或和向量），记作a+b。②、向量的加法满足交换律：a+b=b+a，也满足结合律：（a+b）+()cabc。③、向量加法可以使用平行四边形法则和三角形法则。（2）向量的减法：①、相反向量：与a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作-a。②、向量的减法可以使用三角形法则。（3）向量的数乘运算：设,,,jkRab是向量，则①、（j+k）a=ja+ka；②、j（ka）=（jk）a；③、j（a+b）=ja+jb。三、平面向量的基本定理及其坐标表示（1）平面向量的基本定理：1e、2e是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数1、2，使1122aee。（2）两个向量平行的充要条件：1221//(0)0ababbxyxy。（3）两个向量垂直的充要条件：121200ababxxyy。（4）平行四边形对角线定理：对角线的平方等于四边的平方和。即江西师范大学2012届数学与应用数学学士学位论文３22222()ababab四、平面向量的数量积（1）两个非零向量的夹角：已知非零向量a与b，作,OAaOBb，则AOB叫做a与b的夹角（AOB0）。当AOB=0时，a与b同向；当AOB=时，a与b反向；当AOB=2时，a与b垂直。（2）数量积的概念：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则cosabab，ab叫做a与b的数量积（或内积）。规定00a。（3）两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)axybxy，则1212abxxyy。（4）平面内两点间的距离公式：设11(,)axy，则222axy或22axy。如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，那么221212()()axxyy（平面内两点间的距离公式）2.2空间向量基本知识一、空间向量的定义（1）定义：空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量。（2)空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,ab，空间任取一点O,作,OAaOBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作,ab；且规定0,ab,显然有,,abba；若,2ab，则称a与b互相垂直，记作ab。（3）向量的模:设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的模，记作a。二、空间向量的相关公式（1）空间向量的运算:令123123(,,),(,,)aaaabbbb，则112233(,,)abababab，123(,,)aaaa，112233abababab，312112233123//,,()aaaababababRbbb，江西师范大学2012届数学与应用数学学士学位论文４1122330abababab，222123aaaaaa，112233222222123123cos,ababababababaaabbb；空间两点间的距离公式：222212121()()()dxxyyzz。（2）法向量：若向量a所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a，如果a那么向量a叫做平面的法向量。四、共线向量和共面向量（1）共线向量：空间向量的有向线段所在的直线互相平行或者重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。a平行于b，记作//ab。（2）共面向量：如果两个向量a，b不共线，p与向量a，b共面的充要条件是存在实数x，y使pxayb。2.3向量的基本定理定理1向量加法满足下述运算律结合律：()()abcabc交换律：abba可逆律：()()0aaaa