[自动控制原理][课件][第10讲][根轨迹的绘制1]

Sunday,February09,20201第四章根轨迹法Sunday,February09,20202根轨迹意义概述我们知道，闭环系统的稳定性取决于闭环系统的极点分布，其它性能取决于其零极点分布。因此，可以用系统的零极点分布来间接地研究控制系统的性能。W.R.伊文思提出了一种在复平面上由开环零极点确定闭环零极点的图解方法—根轨迹法。将系统的某一个参数（比如开环放大系数）的全部值与闭环特征根的关系表示在一张图上。Sunday,February09,20203第一节根轨迹的基本概念Sunday,February09,20204根轨迹定义例：如图所示二阶系统，)15.0(ssK)(sR)(sC-特征方程为：0222Kss闭环传递函数：KssKs222)(2系统开环传递函数为：)15.0()(ssKsGkKs2112,1特征根为：Sunday,February09,20205201j1j1根轨迹定义Ks2112,1特征根为：[讨论]：①当K=0时，s1=0,s2=-2,是开环传递函数的极点②当K=0.32时，s1=-0.4,s2=-1.6③当K=0.5时，s1=-1,s2=-1④当K=1时，s1=-1+j,s2=-1-j⑤当K=5时，s1=-1+3j,s2=-1-3j⑥当K=∞时，s1=-1+∞j,s2=-1-∞j0K0K1K5K[根轨迹定义]：开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。Sunday,February09,20206根轨迹基本概念系统的结构图如下：)(sR)(sC-)(sG)(sH闭环传递函数为：)()(1)()(sHsGsGs开环传递函数为：)()()(sHsGsGk将写成以下标准型，得：)(sGknjjmiigkpszsksG11)()()(为开环零极点。迹增益；传递系数，或称为跟轨式中：jigpzk，Sunday,February09,20207根轨迹定义闭环传递函数的极点就是闭环特征方程：的根。0)(1sGk的根。的极点，闭环特征方程的点就是闭环系统或：换句话说，满足：1)()(1)(11njjmiigkpszsksG[根轨迹定义]：开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。为根轨迹方程。或：称1)()(1)(11njjmiigkpszsksGSunday,February09,20208根轨迹的幅值和相角条件...2,1,0,)12()()(1|)(||)(|1)(|)(|)(1111kkpszspszsksGsGsGnjjmiinjjmiigkkk或是复数，上式可写成：由于上述两式分别称为满足根轨迹方程的幅值条件和相角条件。[一些约定]：在根轨迹图中，“”表示开环极点，“”表示开环有限值零点。粗线表示根轨迹，箭头表示某一参数增加的方向。“●”表示根轨迹上的点。我们先以根轨迹增益（当然也可以用其它变量）作为变化量来讨论根轨迹。gkSunday,February09,20209[例4-1]如图二阶系统，当Kg从0→∞时绘制系统的根轨迹。)1(sskg)(sR)(sC-[解]闭环传递函数：ggkssks2)(特征方程和特征根：ggkskss41212102,12，[讨论]：①；1，是开环系统的极点-0和时2,10skg，②1沿负实轴向右移动。从，从0沿负实轴向左移动时，12skgs③在负实轴上。时重根。可见当时2,12,14102141skskgg，，，④直线移动。于虚轴的点处分成两支，沿平行21为复根。在时2,141skg，⑤jskg212,1时，根轨迹解析法绘制Sunday,February09,202010根轨迹解析法绘制[总结]当从0变化到时，系统的根轨迹是连续的。的点称为起点，的点称为终点。本例中有两个分支，终点都在无穷远处。gk0gkgk这里是用解析法画出的根轨迹，但对于高阶系统，求根困难，需用图解法画图。复平面上满足相角条件的点应在根轨迹上。上例中，A点在根轨迹上吗？向量s和s+1的相角分别为根据相角条件(试探法)：21AA和)12()1()1(21kBAOAsssskAAg显然，只有三角形OAB是等腰三角形时，，A点在根轨迹上。点显然不在根轨迹上。21AA'A100gk0gk1j1j5.0gkgkA1ss1A2AB'ASunday,February09,202011[定义]：满足相角条件的点连成的曲线称为180度等相角根轨迹。同样，满足幅值条件的点连成的曲线称为等增益根轨迹（它是在某一增益的情况下绘制的）。180度等相角根轨迹和等增益根轨迹是正交的，其交点满足根轨迹方程，每一点对应一个。由于180度等相角根轨迹上的任意一点都可通过幅值条件计算出相应的值，所以直接称180度等相角根轨迹为根轨迹。gkgk在根轨迹上的已知点求该点的值的例子。上例中，若A点的坐标是0.5+j2，则根据幅值条件：gk25.41)1(25.0gjsgkssk，Sunday,February09,202012第二节根轨迹绘制的基本准则Sunday,February09,2020132、根轨迹的对称性：一般物理系统特征方程的系数是实数，其根必为实根或共轭复根。即位于复平面的实轴上或对称于实轴。用解析法或试探法绘制根轨迹很烦琐。下面讨论的内容通过研究根轨迹和开环零极点的关系，根轨迹的特殊点，渐近线和其他性质将有助于减少绘图工作量，能够较迅速地画出根轨迹的大致形状和变化趋势。以下的讨论是针对参数的180度根轨迹的性质。gK根轨迹的连续性和对称性1、根轨迹的连续性：闭环系统特征方程的某些系数是增益的函数。当从0到无穷变化时，这些系数是连续变化的。故特征方程的根是连续变化的，即根轨迹曲线是连续曲线。gKgKSunday,February09,2020144、根轨迹的起点和终点：gjnjmiiKpszs1)()(11根轨迹方程为：时为起点，时为终点。0gKgK根轨迹的支数和起始点3、根轨迹的支数：n阶特征方程有n个根。当从0到无穷大变化时，n个根在复平面内连续变化组成n支根轨迹。即根轨迹的支数等于系统阶数。gK当时，只有时，上式才能成立。而是开环传递函数的极点，所以根轨迹起始于开环极点。n阶系统有n个开环极点，分别是n支根轨迹的起点。)~1(njpsjjp0gKSunday,February09,202015根轨迹的起点和终点iz当时，①，上式成立。是开环传递函数有限值的零点，有m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在m个有限零点处。②若nm，那么剩余的n-m个终点在哪里呢？在无穷远处。由根轨迹方程知：当时)~1(mizsisgKSunday,February09,202016P144例4-1Sunday,February09,202017根轨迹的渐近线5.根轨迹的渐近线：若开环零点数m小于开环极点数n，则当系统的开环增益Kg→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条。这n-m条根轨迹趋向无穷远的方位可由渐近线决定。gmiijnjKzsps11)()(由根轨迹方程可得：gmmmnnnmiijnjKbsbsbsasasaszsps0111011111)()(njjnpa11miimzb11式中，Sunday,February09,202018根轨迹的渐近线gmnmnmnKsbas111)(当Kg→∞，由于mn，故s→∞满足根轨迹方程，上式近似为gmnmnmnKsbas111)(gmnmnKsbas)1(11两边开n-m次方mngmnmnKsbas1111)()1(利用二项式定理)11(!)1()1(!2)1(1)1(2xxIIKKKxKKKxxIK当时，，令，1xKxxK1)1(sbaxmn11mnK1mngmnKsbamns111)()11(Sunday,February09,202019根轨迹的渐近线mngmnKmnbas111)(设s=x+jy,利用－1=cos(2k+1)π+jsin(2k+1)π，并根据德莫弗(DeMoive)代数定理(cos+jsin)n=cos(n)+jsin(n)，上式可写为mnkjmnkKmnbajyxmngmn)12(sin)12(cos111mnkKmnbaxmngmn)12(cos111mnkKymng)12(sin1mnktgmnbaxymn)12(11Sunday,February09,202020根轨迹的渐近线xmnktgmnbaxmnktgymn)12()12(11mnzpmnzpmnbamiinjjmiinjjmn111111这是与实轴交点为－，斜率为的直线方程。也就是渐近线方程。渐近线与实轴的夹角(称为渐近线的倾斜角为mnktg)12(2,1,0)12(kmnk18001mn909002mn454518004mn606018003mnSunday,February09,202024P144例4-1Sunday,February09,202025[例4-2]系统开环传递函数为：，试确定根轨迹支数，起点和终点。若终点在无穷远处，求渐近线与实轴的交点和倾角。)5)(1()(sssKsGgk[解]：根轨迹有3支。起点为开环极点,5,1,0321ppp无有限值零点，所以三支根轨迹都趋向无穷远。渐近线与实轴的交点：20351mnzpii渐近线与实轴的倾角：300,180,60)12(mnk零极点分布和渐近线（红线）如图所示。603001800125Sunday,February09,2020266、实轴上的根轨迹：实轴上具有根轨迹的区间是：其右方开环系统的零点数和极点数的总和为奇数。[证明]：例如在实轴上有两个开环极点p1、p2，复平面上有一对共轭极点p3、p4和一对共轭零点z1、z2。2s3s先看试验点s1点：所以s1点满足根轨迹相角条件，于是[－p2,－p1]为实轴上的根轨迹。实轴上的根轨迹1s1z3p4p2p1p2z3412②成对出现的共轭零点z1、z2对实轴上任意试探点构成的两个向量的相角之和为0°；③试探点左边的极点p2对试探点构成的向量的相角为0°；④试探点右边的极点p1对试探点构成的向量的相角为180°；再看s2点：不满足根轨迹相角条件，所以不是根轨迹上的点。①成对出现的共轭极点p3、p4对实轴上任意试探点构成的两个向量的相角之和为0°；同样s3点也不是根轨迹上的点。Sunday,February09,202027P144例4-1Sunday,February09,202028[例4-3]设系统的开环传递函数为：试求实轴上的根轨迹。)10)(5)(1()2()(2sssssKsGgk[解]：零极点分布如下：红线所示为实轴上根轨迹，为：[-10，-5]和[-2，-1]。注意在原点有两个极点，双重极点用“”表示。012510实轴上