高考数学二轮复习课件+训练：第一部分专题六三角恒等变换与解三角形

三角恒等变换与解三角形题六专卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ2018正、余弦定理的应用·T17二倍角公式及余弦定理的应用·T6二倍角公式·T4同角三角函数关系及两角和的正弦公式·T15三角形的面积公式及余弦定理·T92017正、余弦定理、三角形的面积公式及两角和的余弦公式·T17余弦定理、三角恒等变换及三角形的面积公·T17余弦定理、三角形的面积公式·T172016正、余弦定理、三角形面积公式、两角和的正弦公式·T17诱导公式、三角恒等变换、给值求值问题·T9同角三角函数的基本关系、二倍角公式·T5正弦定理的应用、诱导公式·T13利用正、余弦定理解三角形·T8卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ纵向把握趋势卷Ⅰ3年3考且均出现在解答题中的第17题，涉及正、余弦定理、三角形的面积公式、两角和与差的正、余弦公式，难度适中．预计2019年会以选择题或填空题的形式考查正、余弦定理的应用及三角恒等变换，难度适中卷Ⅱ3年5考，既有选择题、填空题，也有解答题，涉及诱导公式、同角三角函数基本关系式、三角恒等变换、正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式，难度适中．预计2019年会以解答题的形式考查正、余弦定理和三角形面积公式的应用卷Ⅲ3年5考，既有选择题，也有解答题，难度适中．涉及同角三角函数基本关系式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理、三角形面积公式等．预计2019年会以解答题的形式考查正、余弦定理在解三角形中的应用横向把握重点1.高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现．2.若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9或第13～15题位置上．3.若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题位置上，难度中等.考法一三角恒等变换[题组全练]1．(2018·全国卷Ⅲ)若sinα＝13，则cos2α＝()A．89B．79C．－79D．－89解析：∵sinα＝13，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2×132＝79.故选B.答案：B2．(2016·全国卷Ⅱ)若cosπ4－α＝35，则sin2α＝()A．725B．15C．－15D．－725解析：因为cosπ4－α＝35，所以sin2α＝cosπ2－2α＝2cos2π4－α－1＝－725.答案：D3．已知sinα＋π6－cosα＝13，则cos2α－π3＝()A．－518B．518C．－79D．79解析：由sinα＋π6－cosα＝13，得32sinα＋12cosα－cosα＝32sinα－12cosα＝sinα－π6＝13，所以cos2α－π3＝1－2sin2α－π6＝1－29＝79.答案：D4．已知sinβ＝35π2βπ，且sin(α＋β)＝cosα，则tan(α＋β)＝()A．－2B．2C．－12D．12解析：∵sinβ＝35，且π2βπ，∴cosβ＝－45，tanβ＝－34.∵sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝－45sinα＋35cosα＝cosα，∴tanα＝－12，∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－2.答案：A5．已知A，B均为钝角，sin2A2＋cosA＋π3＝5－1510，且sinB＝1010，则A＋B＝()A．3π4B．5π4C．7π4D．7π6解析：因为sin2A2＋cosA＋π3＝5－1510，所以1－cosA2＋12cosA－32sinA＝5－1510，即12－32sinA＝5－1510，解得sinA＝55.因为A为钝角，所以cosA＝－1－sin2A＝－1－552＝－255.由sinB＝1010，且B为钝角，可得cosB＝－1－sin2B＝－1－10102＝－31010.所以cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝－255×－31010－55×1010＝22.又A，B都为钝角，即A，B∈π2，π，所以A＋B∈(π，2π)，故A＋B＝7π4，选C.答案：C[系统方法]1．化简求值的方法与思路(1)方法：①采用“切化弦”“弦化切”来减少函数的种类，做到三角函数名称的统一；②通过三角恒等变换，化繁为简，便于化简求值；(2)基本思路：找差异，化同名(同角)，化简求值．2．解决条件求值问题的三个关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角；(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示；(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．考法二正弦定理、余弦定理的应用[多维例析]角度一利用正、余弦定理进行边、角计算[例1](1)(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为a2＋b2－c24，则C＝()A．π2B．π3C．π4D．π6[解析]∵S＝12absinC＝a2＋b2－c24＝2abcosC4＝12abcosC，∴sinC＝cosC，即tanC＝1.∵C∈(0，π)，∴C＝π4.[答案]C(2)(2018·长春质检)已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c,2asinB＝3b，b＝2，c＝3，AD是角A的平分线，D在BC上，则BD＝________.[解析]由正弦定理可得，2sinAsinB＝3sinB，可得sinA＝32，因为0Aπ2，所以A＝π3，由余弦定理得BC2＝22＋32－2×2×3×cosπ3，解得BC＝7，在△ABD和△ADC中，分别应用正弦定理得，3sin∠ADB＝BDsinπ6.①2sin∠ADC＝7－BDsinπ6.②又sin∠ADB＝sin∠ADC，③联立①②③，解得BD＝375.[答案]375角度二与三角形面积、周长有关的问题[例2](2019届高三·武汉调研)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2bcosC＝2a＋c.(1)求角B的大小；[解]由正弦定理，知2sinBcosC＝2sinA＋sinC，由A＋B＋C＝π，得2sinBcosC＝2sin(B＋C)＋sinC，即2sinBcosC＝2(sinBcosC＋cosBsinC)＋sinC，整理得2cosBsinC＋sinC＝0.因为sinC≠0，所以cosB＝－12.因为0＜B＜π，所以B＝2π3.(2)若b＝2，a＋c＝5，求△ABC的面积．[解]由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac－2accosB，因为b＝2，a＋c＝5，所以22＝(5)2－2ac－2accos2π3，得ac＝1.所以S△ABC＝12acsinB＝12×1×32＝34.[例3](2018·广州模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ba＋c＝sinA－sinCsinB－3sinC.(1)求tan2A＋π3的值；[解]由已知，得b(sinB－3sinC)＝(a＋c)·(sinA－sinC)，由正弦定理，得b(b－3c)＝(a＋c)(a－c)，即b2＋c2－a2＝3bc.再由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝32.又0＜A＜π，所以A＝π6.故tan2A＋π3＝tan2π3＝－tanπ3＝－3.(2)若△ABC的面积为1，求△ABC的周长的最小值．[解]由(1)及已知得，△ABC的面积为S△ABC＝12bcsinπ6＝1，所以bc＝4.于是a2＝b2＋c2－2bccosA≥2bc－2bc×32＝8－43，当且仅当b＝c＝2时，a取得最小值，且最小值为8－43＝6－2，此时a＋b＋c＝6－2＋4.故△ABC的周长的最小值为6－2＋4.[类题通法]利用正、余弦定理解三角形的常用策略(1)当出现边角混合的式子时，常常根据a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC来统一成边或统一成角；(2)当式子中出现三边的平方和或差时，常常要利用余弦定理解题；(3)当三个内角A，B，C都出现时，根据三角形内角和A＋B＋C＝180°，消掉一个角，留下两个角，然后化简整理；若已知一个角，式子中含有两个角时，结合已知消掉一个角，留下一个角，然后根据和角公式展开，再进一步化简．[综合训练]1．(2018·南宁模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c(1＋cosB)＝b(2－cosC)．(1)求证：2b＝a＋c；解：证明：∵c(1＋cosB)＝b(2－cosC)，∴由正弦定理可得sinC(1＋cosB)＝sinB(2－cosC)，即sinCcosB＋sinBcosC＋sinC＝2sinB，sin(B＋C)＋sinC＝2sinB，∴sinA＋sinC＝2sinB，∴2b＝a＋c.(2)若B＝π3，△ABC的面积为43，求b.解：∵B＝π3，∴△ABC的面积S＝12acsinB＝34ac＝43，∴ac＝16.由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac.∵a＋c＝2b，∴b2＝4b2－3×16，解得b＝4.2．(2018·合肥质检)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a－2b)cosC＋ccosA＝0.(1)求角C的大小；解：根据正弦定理，由已知得(sinA－2sinB)cosC＋sinCcosA＝0，即sinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosC，∴sin(A＋C)＝2sinBcosC，∴sinB＝2sinBcosC，∴cosC＝12.∵C∈(0，π)，∴C＝π3.(2)若c＝23，求△ABC周长的最大值．解：由(1)及余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝12，又c＝23，∴a2＋b2－12＝ab，∴(a＋b)2－12＝3ab≤3a＋b22，即(a＋b)2≤48(当且仅当a＝b＝23时等号成立)．∴△ABC周长的最大值为63.3．(2018·武汉调研)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足cos2A－cos2B＋2cosπ6－B·cosπ6＋B＝0.(1)求角A的大小；解：由cos2A－cos2B＋2cosπ6－Bcosπ6＋B＝0，得2sin2B－2sin2A＋234cos2B－14sin2B＝0，化简得sinA＝32，又△ABC为锐角三角形，故A＝π3.(2)若b＝3且b≤a，求a的取值范围．解：∵b＝3≤a，∴c≥a，∴π3≤C＜π2，π6＜B≤π3，∴12＜sinB≤32.由正弦定理asinA＝bsinB，得a32＝3sinB，∴a＝32sinB，由sinB∈12，32，得a∈[3，3)．即a的取值范围是[3，3)．考法三解三角形与三角函数的综合问题[由题知法][典例]已知函数f(x)＝23sinxcosx－2cos2x－1，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和最小值；[解]因为f(x)＝23sinxcosx－2cos2x－1＝3sin2x－(cos2x＋1)－1＝3sin2x－cos2x－2＝2sin2x－π6－2，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π2＝π，最小值为－4.(2)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝3，f(C)＝0，sinB＝2sinA，求a，b的值．[解]因为f(C)＝2sin2C－π6－2＝0，所以sin2C－π6＝1，又C∈(0，π)，所以－π6＜2C－π6＜116π，所以2C－π6＝π2，得C＝π3.因为sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋4a2－2a2＝3a2，又c＝3，所以a＝1，b＝2.[类题通法]解三角形与三角函数综合问题求解策略(1