华工大学物理下第7章

七、机械波MechanicalWave波动就是振动的传播过程。激起波动的振动系统称为波源。机械振动经一定的弹性媒质而在空间的传播过程称为机械波。例如：水波、声波、地震波等等。(一)波动1、机械波简介(1)、机械波产生的条件：（a）有作机械振动的物体——波源（b）有传播振动的媒质(2)、机械波的分类：横波：振动方向与传播方向垂直。纵波：振动方向与传播方向平行。(3)、机械波的几何描述：波线（波射线）：波的传播方向。波振面：某时刻波动所到达的各点所连成的同相面。平面波：从平面波源发出的波动，向一定方向传播，相应的波面为一系列平行于波源的平面。球面波：从点波源发出的波动，向四面八方传播，在均匀媒质中，相同时间内波传播的距离相同，相应的波面为一系列以波源为中心的球面。2、描述波动的物理量：（1）波速u：单位时间内振动状态传播的距离，其决定于媒质的性质。（3）波的空间周期和频率波的空间周期--在同一波线上，相邻的两个具有相同振动状态（速度和位移）的质点间的空间距离（）（相位相差2）（2）波的时间周期和时间频率波的时间周期--波线上周期性地每传出一个完整的波所需要的时间（T）。波的时间频率--单位时间内，沿波线传出的波的个数（）。波的时间圆频率：（）21T波的空间频率--在波线上，单位空间长度内完整波的个数（）空1空/22空k波的空间圆频率（）k时间周期性空间周期性/2k/12T（4）空间周期与时间周期的关系时uTu注意：同一时间频率的波在不同介质中传播时空间频率不同。（不同）（二）波动方程1、沿X轴正向传播的平面简谐波描述波动过程的数学函数称为波动方程式。在均匀、无吸收媒质中沿＋X方向传播的平面波，其波源作简谐振动，称为平面简谐波。可见：每个质点依次作谐振动，各质点振动的先后有不同,不同时刻、不同位置的质点振动状态不同。设波源的振动方程：)cos(tAy质点a的振动比S晚/txu质点a的振动的方程为])(cos[ttAycos[()]xyAtu此式实际上给出了任一时刻、任一位置质点振动的位移，即为波动方程。/txuxSayxu平面简谐波波动方程的另一表达式：T122Tucos[()]22cos[()]cos[2()]xyAtutxATtxAT讨论：（1）若t是变量，而x取一定值（），则1xx1cos[()]xyAtu可见，y仅随t变化，表示处(p点)不同时刻的振动位移，此时波动方程转换为p点的振动方程。且初周相落后o点1x1xu（2）若x是变量，而t取一定值（），则1tt1cos[()]xyAtu可见，y仅随x变化，表示在时刻这一瞬间沿波线上各质点的振动位移。即波动方程转换为某时刻波形方程1tty1xx123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536X1tt2tt波形曲线（3）若x和t均为变量y1tt2ttu3ttxx1x2x时刻处质点的周相与时刻处质点的周相相同，即有：1t2t2x1x222cos[()]xyAtu111cos[()]xyAtu1212()()xxttuu得：2121()xxutt可见，在时间内，时刻波形沿＋X方向传播了距离，移动的速度就是波速u21ttt21xxx1t2、沿X轴负向传播的平面简谐波（非反射波）cos[()]xyAtu当波沿－X方向传播，同前理得：式中xu表示在x处质点的振动时间比原点在时间上超前。T122Tucos[2()]txyAT例1：有一横波（简谐波）沿X轴正向传播，已知t=0时的波形曲线是I，当t=0.5s时，波形曲线是II，根据图中给出的条件求：(1)O点的振动方程。（2）写出A点（x=2cm)的振动方程。（3）写出波动方程。（4）写出B点（x=3.5cm)的振动方程。（5）求A点、B点的初相及A、B两点的周相差？谁超前？xy4III54321ABo解：由图可知：4Acm4cm0.500.5ts211xcm4Acm12/0.520.542xucmstuHz则由曲线I求O点初相：设O点的振动方程为：0cos()yAt01110000coscoscos042tyyA时，＝00(t0时当O点比C点先达到峰值，之后将是D点到达峰值)用旋转矢量法可得O点此时000yv＝0sin0sin0/2m故所以是2（1）O点振动方程：04cos()2yt（2）A点的振动比O点的振动在时间上滞后了212xsut时刻A点实际振动时间为：()(1)xttu所以A点的振动方程为：4cos[(1)]24cos()2Aytt()cm（3）波线上距O点为x的任一点比O点振动落后时间为故，波线上任一点的振动方程，即波动方程为：xu4cos[()]24cos[()]22xytuxt（4）B点的振动方程，以3.5xcm代入上式得：3.54cos[()]222.54cos()2Bytt()cm()cm（5）A点的初周相：2222AAxuB点的初周相：3.52.5222BBxu0.75ABBA可见，A点比B点超前0.75（三）波的能量（EnergyofWaveMotion）波动能量的特点：（1）随着波动时间的延长，波动将传播到更远的空间，即波动的能量会分散到更为广阔的区域（2）要维持波动的连续，则波源处必须有策动力连续的作功输出能量1、波的能量密度以沿直杆传播的纵波为例来说明：xSY.dVxdxdVSdxdmdV则有：设一平面简谐波：各质点相应发生纵向振动，由于dx足够小，可认为在dV内所有质点的振动速率相同，即)(sinuxtAtyv体积元dV内波动的动能222211sin()22kxdEdmvdVAtucos[()]xyAtu体积元dV内波动的势能21dyyy考虑dx纵向形变而具有弹性势能。体积元dV的沿杆的伸长量应是BB的位移与AA的位移之差，即1y2y弹性势能：212PdEkdy1yAAAABBBB2yfYSkdydx2211()22PSYdydEdySYdxdxdx/fdyYSdx杨氏弹性模量sin()yAxtxuu以Yu和代入，得2222221()21()sin[()]21sin[()]2PdydESYdxdxAxSYtdxuuxAtdVu在体积元dV内波动总能量为：222sin[()]kPxdEdEdEAtdVu波动能量的特点：（1）波的动能和势能均随时间作周期性变化，变化的周期为波动周期之半，即T/2(2)波的动能和势能是同周相地变化，即动能和势能同时为零，又同时达到最大值（3）单位体积内的能量称为波的能量密度：222sin[()]dExwAtdVu一周期内的能量密度的平均值称平均能量密度：2220221sin[()]12TxwAtdtTuA2、波的能流密度（或波的强度）单位时间内垂直通过S面的平均能量，称通过S面的平均能量。1uS单位时间内通过S面的能量等于uS体积内的能量，所以波面通过S面的平均能流为：22112PSwuAuS波通过某个截面的平均能流也就是垂直通过该面的平均功率。u单位面积所通过的平均能流，称为能流密度（或波的强度）2212PIAuwuS可见，波动能量是沿波线并以波速u流动。或说，波动过程实质就是波源处策动力输出的能量，源源不断地籍着媒质内部的弹性作用，从一点传输至另一点。（四）惠更斯原理波的衍射1、惠更斯原理媒质中波动到达的各点都可看作发射同频率的子波波源，在其后一时刻的波阵面，由这些子波波面的包迹决定。新的波阵面对现象的解释从某时刻的波阵面得到下一时刻的波阵面球面波tutt时刻的波阵面t时刻的波阵面tt2时刻的波阵面平面波t时刻的波阵面tt时刻的波阵面tt2时刻的波阵面tu2、衍射现象衍射（绕射）--波动在传播过程中遇到障碍物时能绕过障碍物的边缘前进的现象“室内讲话，墙外有耳”水波的衍射对于一定波长，缝越窄，衍射现象越显著；缝越宽，衍射现象越不显著。（五）波的叠加原理波的干涉1、波的叠加原理两个或两个以上的波动在传播过程中相遇时，每一相遇点的振动是各个波动在该处振动的合成；相遇以后每一个波又按各自的特性继续向前传播。2、波的干涉xy一般而言，波的叠加较复杂相干波源--两个频率相同、振动方向相同、周相相同或周相差恒定的波源。相干波---由相干波源产生的两列能产生干涉现象的两列波。干涉现象--满足一定条件（相干条件）的两波源发出的相干波，在相遇的空间，有的地方振动始终加强，有的地方振动始终减弱或相消的现象（波动的特征之一）。相干条件：同频率、同振动方向、周相相同或周相差恒定。S1S2水波干涉干涉现象：实验中看到的光的干涉（牛顿环）P1r2r设有两相干波源S1S2)cos(11010tAy)cos(22020tAy则两波在P点引起的振动：两波在空间某点P处相遇，若111222SPrSPr1111cos(22)ryAt2222cos(22)ryAt)2cos(21212212221rrAAAAA可见，P点同时参与两个同方向同频率的简谐振动。合振幅：讨论：（1）合成振幅最大，即P点振动始终加强，则：krr221212...)3.2.1.0(k合振幅最大：21AAA)12(21212krr（2）合振幅始终最小，即合振动始终减弱，则：...)3.2.1.0(k21AAA合振幅最小：21（3）当212rr21AAA...)3.2.1.0(k21AAA振动最强；振动最弱；振动加强减弱条件可变成：,2/)12(,21kkrrr表示从相干波源发出的波动传至空间某一点P时，两相干波传播路程之差，称波程差。r波程差为半波长的偶数倍时，P点合振幅达到最大值；波程差为半波长的奇数倍时，P点合振幅达到最小值。干涉现象和衍射现象一样，也是波动的基本特性。3、驻波驻波是一种特殊的干涉现象。驻波：两个振幅相同、在同一直线上沿相反方向传播的相干波相互叠加而成的干涉现象。uu节点电动音叉+-腹点由于前进波与反射波是沿相反方向通过弦线上任一点（设无能量损耗），则波的能量密度为零，并没有能量沿弦线传播。（1）、驻波形成的条件：同振幅相向传播的两列相干波的合成。（b）波线上以波节为界分段各自振动，合成波波形不沿弦线移动。（c）同一段振动的周相相同，相邻两段周相相反。（2）、驻波的特点：（a）存在波腹、波节波腹：振动始终加强的点波节：振动始终减弱的点0A合2AA合(3)、驻波的波动方程：设两相干波在X轴上传播，振幅10200012AAA初相1cos2()xyAt)(2cos2xtAy叠加结果：21yyy方法一：cos(2)yAt合2212122122cos()42(1cos)22cosAAAAAxAxA合112211221212sinsincoscossin(2)sin(2)cos(2)cos(2)0AAarctgAAxxAAarctgxxAAtxAy