空间解析几何,李养成(新版),第二章_第二节

§2.2线性图形的位置关系线性图形的位置关系主要是平面与平面、平面与直线以及直线与直线之间的位置关系,包括平行、重合、相交等.至于点与直线以及点与平面的关系，即点在直线(平面)上或之外.在仿射坐标系下,只需将点的坐标代入直线(或平面)方程便可判定.那么(1)与相交的充要条件是(2)与平行的充要条件是(3)与重合的充要条件是111222111222::::;ABCABC11112222;ABCDABCD11112222.ABCDABCD2.2.1两平面的相关位置定理2.2.1在仿射坐标系下，设二平面的方程为1111122222:0,:0.AxByCzDAxByCzD(1)设,即111222::::ABCABC证明充分性.平面与的相关位置取决于线性方程组111122220,0AxByCzDAxByCzD(☆)的解的情况.12不全为零，不妨设第一个行列式不为零.111111222222,,ABACBCABACBC那么下面三个2阶行列式.,,,212121212121至少有一个成立AACCCCBBBBAA12从而与相交.1112220,0.AxByDAxByD0z在方程组中令，得11220ABAB因为，所以根据克莱姆法则知有唯一解，于是是方程组(☆)的解，即两个平面有一个公共点说明两平面相交或重合。00,,0.xy00,,0xxyyz111,,0,xy112,,0xy易找到一点且00,xxyy设为21212121,,,.AABBCCDD(2)由已知条件知，存在实数使得0这时方程组(☆)变为一个方程因此与重合.11110,AxByCzD12(3)由条件知存在实数使得21212121,,,,AABBCCDD0于是方程组(☆)变成111111110,0.AxByCzDDAxByCz因为，所以上述方程组无解，与没有公共点，即与平行.21DD11222D口答：研究以下各组里两平面的位置关系：013,012)1(zyzyx01224,012)2(zyxzyx02224,012)3(zyxzyx（2）两平面平行（3）两平面重合答：（1）两平面相交11220,ABAB分析：假设思考：如何把直线l的一般方程化成标准方程?直线的方向向量如何表示？111122220,0.AxByCzDAxByCzD22221111DzCyBxADzCyBxA利用克莱姆法则和行列式的性质，可解得2211222111BABABDzCBDzCx221122112211BABABDBDzBCBC仿射坐标系11112222111122221111222211112222,,BCBDBCBDxzABABABABCADACADAyzABABABAB通过移项，成比例，从而得直线的标准方程000111111222222,xxyyzzBCCAABBCCAAB0x0y00z111111222222,,.BCCAABBCCAABv若给定直线的一般方程则它的方向向量可取为111122220,0.AxByCzDAxByCzD重点知识因，故方程组表示一条直线。2:1:12:1:(3)例2.2.1化直线的一般方程25=0,231=0xyzxyz为标准方程.l01305,0zyzyx解方程组令)1,4,0上一点（得l)0,8,4(121223213111，，的方向向量为l）取方向向量为（0,2-,1从而得直线的标准方程01241zyx解法一已得到直线l上一点（0,4,1），例2.2.1化直线的一般方程25=0,231=0xyzxyz为标准方程.l从而得直线的标准方程01241zyx设直线l的方向向量为（l,m,n）,可列方程组03202nmlnml021::n:m:l解得解法二例2.2.1化直线的一般方程25=0,231=0xyzxyz为标准方程.l从而得直线的标准方程21.120xyzxzyxzy2132503-111，有由于3111211251xxz，3111321125xxy得，所以利用克莱姆法则可1,24,zyx即解法三例2.2.1化直线的一般方程25=0,231=0xyzxyz为标准方程.l在直角坐标系下，你还有第四种解法吗？（1）求出直线上一点（2）求出直线的方向向量取特殊值，如令x=0,y=0利用公式求解设方向向量（l,m,n）,列方程组求出比值利用克莱姆法则求解④利用外积求解（直角坐标系）2.2.2直线与平面的相关位置命题2.2.1在仿射坐标系中，设直线与平面的方程分别为000:,:0,xxyyzzlXYZAxByCzDl0;AXBYCZ0000;AxByCzD0AXBYCZ且0000.AxByCzD0AXBYCZ且(1)与相交的充要条件是(2)与平行的充要条件是(3)在上的充要条件是lll则220,:360xyzlxyz例2.2.2试求与的值使得直线0z在平面上.解：直线l的方向向量211112=,,2,2,.1133v直线l在平面z=0上，有016020-2-）（）（6即，220,:360xyzlxyz例2.2.2试求与的值使得直线0z在平面上.解：20,360xzxz3,3(1)xz解得11031由于,取y=0,可将方程组化为3,0,3(1).l于是点而直线l又在平面z=0上，所以有013）（1即，1,6所以为所求的值.从图上易见，两直线与的相关位置取决于三个向量的相互关系.1l2l1212,,MMvv11111112222222::xxyyzzlXYZxxyyzzlXYZ，.在仿射坐标系中，设直线过点，方向向量为那么它们的标准方程为il,,iiiiMxyz(,,),1,2,iiiiXYZiv2.2.3两条直线的相关位置两条直线之间的位置关系是共面或异面.在共面的情况下，又有相交、平行与重合三种情形.(3)与平行与共线，但不与共线；1l2l1v2v12MM(2)与相交共面，与不共线；1l2l1212,,MMvv1v2v1212(,,)0;MMvv且不共线；12,vv1212(,,)0MMvv1212,,MMvv1l2l(4)与重合共线.1l2l1212,,MMvv(1)与异面不共面；命题2.2.2直线与如前面所述.1l2l111222::::XYZXYZ212121::;xxyyzz111222::::XYZXYZ212121::.xxyyzz2121211112220;xxyyzzXYZXYZ坐标形式111222::::;XYZXYZ=0且向量形式例2.2.3求与直线平行且与下列两条直线和相交的直线方程.30,:40xyzlxyz01:3,12,4lxtytzt2:23,1,4lxtyzt直线的方向向量为因所求直线与平行，取作为,因而也是的方向向量.如果能找到l所经过的一个点,就可写出l的对称式方程.0l3113,,1,1,2.111111--l0l01,1,2v0ll解法一,于是经过点,例2.2.3求与直线平行且与下列两条直线和相交的直线方程.30,:40xyzlxyz01:3,12,4lxtytzt2:23,1,4lxtyzt解法一2(10,1,0)Pl1lll设与的交点对应的参数为，对应参数为，则的坐标分别为1P1t与的交点2l2P2t1,P2P1113,12,4ttt和2223,1,4tt，2111235244=,112ttttt也是直线的方向向量,于是与共线,立即得到0v12PPl因此1221112PP=(3t5,2,44)tttt127,4tt解得参数方程的妙用！101=.112xyz它的标准方程为1M1ll2M2l2v1v01,1,2v解法二由上已求得l的方向向量.1(3,1,0),M1l又过点方向向量为)4,2,1(1v2(3,0,1).v过点，方向向量为)4,12(2，M例2.2.3求与直线平行且与下列两条直线和相交的直线方程.30,:40xyzlxyz01:3,12,4lxtytzt2:23,1,4lxtyzt0l0v220.yz0,1vv方位向量为的平面上，该平面方程为Ml1ll直线与相交，那么必落在经过点，即,042121113zyxl73170.xyz02,vvM同理，又落在经过点，方位向量为的平面上，它的方程是所求的直线的一般方程为220,73170.yzxyz在直角坐标系下，已学结论有鲜明的几何解释：在直角坐标系下平面的法向量,,,ABCn0.nv=0AXBYCZ用坐标表示(1)命题2.1.1设平面的方程为则向量平行于平面的充要条件是0,AxByCzD,,XYZv0.AXBYCZ垂直与nv向量v平行于平面xyzovn(2)定理2.2.1讨论平面与的位置关系.11111:0AxByCzD22220AxByCzD2:在直角坐标系下，平面的法向量i,,,1,2.iiiiABCin1212与相交和不共线nn111222::::.ABCABC用坐标表示111111222222,,.BCCAABBCCAAB在这种情形下，求和的交线的方向向量可以更为直观(如图).因为且,所以与共线，不妨取，它的分量恰为12lv1vn12v=nnv2vn12nnv(3)命题2.2.1谈及直线与平面的位置关系,我们仅讨论平行情形.000:xxyyzzlXYZ:0AxByCzD在直角坐标系下，平面的法向量直线的方向向量又点.,,,nABCX,Y,Z,v=0000,,Mxyzll00vnM且点用坐标表示0AXBYCZ0vnM且点l∥0000.AxByCzD且xyzoln试一试：在直角坐标系下，求过点)5,2,3(且与两平面34zx和152zyx的交线平行的直线方程.解:设所求直线的方向向量为),,,(pnms根据题意知,1ns,2ns取21nns),1,3,4(.153243zyx所求直线的方程例2.2.4证明每一个平行六面体的三条对角线交于一点而且互相平分.证明已给一个平行六面体，其顶点为O，A，D，B，E，C，F，G.选取仿射坐标系如下：取O为原点，作为基向量(如图).1,OAe2,eOB3eOC在该坐标系下，六面体的八个顶点的坐标是(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),OABC(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,1,).DEFG例2.2.4证明每一个平行六面体的三条对角线交于一点而且