反比例函数的图像和性质的复习课经典

反比例函数的概念一般地，形如y=(k为常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数.xk（2）判断一个函数是否是反比例函数，关键是看两个变量的乘积是否是一个常数.（1）k、x、y的取值均不为0.（3）只要k确定，则反比例函数关系式就确定.知识点1初中数学资源网反比例函数的三种表达形式：）是常数，）是常数，是常数，0()3(0()2()0()1(1kkkxykkxkykkxky知识点2确定反比例函数的关系式1.确定实际问题中的反比例函数关系式关键：认真审题，弄清题意，找出等量关系2.用待定系数法确定反比例函数关系式知识点2＞0时，双曲线的两支分别在第象限；关于轴对称当k＜0时，双曲线的两支分别在第象限．关于轴对称双曲线的两支关于坐标原点成中心对称.注意：1.用描点法画反比例函数图像时，连线必须是光滑的.2.画实际问题中的反比例函数的图像时，应注意自变量的取值范围，应在自变量的取值范围内画函数图像.知识点3二、四一、三y=-xy=x＞0时，双曲线的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．双曲线不过原点且与两坐标轴永不相交，但无限靠近x轴、y轴.反比例函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形；对称中心是原点，有两条对称轴.知识点4函数正比例函数反比例函数关系式图象形状K0K0位置增减性位置增减性y=kx(k≠0)(k是常数,k≠0)y=xk直线，经过原点双曲线，与坐标轴无交点一三象限y随x的增大而增大一三象限在每个象限内y随x的增大而减小二四象限二四象限y随x的增大而减小在每个象限内y随x的增大而增大填表分析正比例函数和反比例函数的区别)0(kxky知识点5反比例函数中比例系数k的几何意义反比例函数中比例系数k的绝对值的几何意义：如图，过双曲线上任意一点P分别作x轴，y轴的垂线，M、N分别为垂足，则kxyxyPNPMS矩形PMONkxyk知识点5（x，y）的面积。求矩形垂足分别为轴的垂线轴分别作过上任意一点是双曲线设OAPB,,,,,)0(),(BAyxPkxkynmPP(m,n)AoyxBP(m,n)AoyxB面积性质（一）.||||||)(||||knmAPOASnAPmOAOAPB矩形；如图所示，解：的面积。求垂足为轴的垂线作过上任意一点是双曲线设AOP,,,)0(),(AxPkxkynmP|k||n||m|APOAS|n|AP|m|OAΔOAP212121；，P(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx面积性质（二）反比例函数的应用图象实际问题数学问题（反比例函数模型）（抽象）（数形结合）数学问题（反比例函数模型）（解决）（转化）知识点6初中数学资源网类型一反比例函数的概念类型一：第21练11.若函数是反比例函数，则m2+3m+1=.22(1)mymx5）是常数，0(1kkxky01122mm得m=1初中数学资源网类型二确定反比例函数的关系式类型二：第21练2，32.已知y与x+2成反比例，且当x=2时,y=3，当x=-1时y=。12待定系数法1.近视眼镜的度数y度与镜片焦距x米成反比例，已知500度近视眼镜片的焦距为0.2米，则眼镜度数y度与镜片焦距x之间的函数关系式是.)0(100xxy＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5．（1）求y与x的函数关系式；（2）当x＝－2时，求函数y的值．思路点拨：本题中，y1与x和y2与x的函数关系中的待定系数不一定相同，故不能都设为k，为了区分，要用不同的字母表示．第21练11待定系数法xkxky2112214,52,2kkkkxxy2222(2)52y解：（1）由题意，设y1＝k1x（k1≠0），（k2≠0），则，当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5，得解得k1＝2，k2＝2．（2）当x＝－2时，．∴的几何意义解题类型三：第21练61.如图，点A、B是双曲线上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若则。3yx1S阴影，12SS4分析：由k的几何意义可知S1+S阴影=3，S2+S阴影=3，而S阴影=1，故S1+S2=4如图，直线y＝mx与双曲线交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连结BM,若=2，则k的值是（）A．2B.－2C.mD.4xkyABMSA第21练10对称性可知S△AOM=S△BOM=1如图，在反比例函数的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1+S2+S3=.)0(2xxy1.5第22练5S2S31234类型四反比例函数与一次函数综合应用类型四：第21练91.如图一次函数y1＝x－1与反比例函数y2＝的图像交于点A(2,1),B(－1,－2),则使y1＞y2的x的取值范围是()A.x＞2B.x＞2或－1＜x＜0C.－1＜x＜2D.x＞2或x＜－1x2B如图，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点.(1)求此反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.解：（1）一次函数的解析式y=-x-2反比例函数解析式xy8042xx或（2）x的取值范围为初中数学资源网变形：如图，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点.连AO、BO，求S△AOB变形提示：求出直线AB的表达式，并求它出与坐标轴的交点坐标，将△AOB分成两个或三个三角形来求.CD如图所示，点A是反比例函数的图象上一点，轴的正半轴于B点，C是OB的中点；一次函数的图象经过A、C两点，并交y轴于点D(0,-2)，若（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）观察图象，请指出在y轴的右侧，当时，x的取值范围．ABx4AODS△．yxCBADO反比例函数与一次函数综合应用12yy第21练14E解：作轴于E∵∴∴AE=4∵为的OB中点，∴∴∴∴A(4,2)将A(4,2)代入中，得k=8将A(4,2)和D(0,-2)代入解得：a=1,b=-2∴AEy42AODSOD△，421AEODABOBC，90DOCABCOCBCOCDBCA∠∠，，∠∠RtRtDOCABC△≌△2ABOD1kyx18yx2yaxb，22yxyxCBADO（2）在y轴的右侧，当时，12yy04x．E正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E”图案如图1所示．小矩形的长x（cm）与宽y（cm）之间的函数关系如图2所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）“E”图案的面积是多少？（3）如果小矩形的长是6≤x≤12cm，求小矩形宽的范围。类型五：第22练11初中数学资源网（1）设函数关系式为∵函数图象经过（10，2）∴∴k=20，∴（2）∵∴xy=20，∴（3）当x=6时，当x=12时，∵k=200，y随x增大而减小∴小矩形的长是6≤x≤12cm，小矩形宽的范围为xky102kxy20xy202162022162xySSE正310620y351220ycmy31035解：)0()1(.1图象的是在同一坐标系中的大致和如图能表示kxkyxkykkxyxky-)1(知识拓展：分类讨论知识拓展分类讨论已知点A(2,y1)，B（5,y2)是反比例函数图象上的两点．请比较y1,y2的大小．25y1y2ABy3C-3⑴代入求值⑵利用增减性⑶根据图象判断C（-3,y3)是,y3的大小．知识拓展数形结合知识拓展：数形结合初中数学资源网知识拓展转化思想如图，梯形AOBC的顶点A、C在反比例函数图象上，OA∥BC，上底边OA在直线y=x上，下底边BC交x轴于E（2，0），则四边形AOEC的面积为（）A．3B．C．-1D．+1知识拓展：转化思想333D点拨：将点C的纵坐标及OE的长，借助的OA函数关系式与OA和EC的平行关系，转化为梯形CAOE中的两底及高，从而求得梯形的面积.=x6y=-x6y=-xy=xy=xy=-x