上海电力学院信号与系统考试复习题

第二次习题课本次习题课主要通过一些典型例题复习Z变换；离散时间系统；离散傅里叶变换的概念。例1：证明时间倒置性质。若[x(n)]=X(z)ROCRx1﹤|z|﹤Rx2有[x*(-n)]=X*(1/z*)ROC1/Rx2﹤|z|﹤1/Rx1证：利用Z变换定义1122111111)()()()(-)(-xxxxxnnnnnnnnnnRzRRRzRROCzXznxznxznxznxnx即，为'Z当x(n)为实序列或对x(n)不取共轭，则有下面推论[x(-n)]=X(1/z)ROC1/Rx2﹤|z|﹤1/Rx1例2：利用时间倒置性质求x(n)=an(-n)的Z变换。解：∵[an(n)]=1/(1-az-1)|z||a|∴[(1/a)n(n)]=1/(1-(az)-1)|z||1/a|由时间倒置性质有[an(-n)]=[(1/a)-n(-n)]=1/(1-a-1z)|z||a|推广可求x(n)=nan(-n)的Z变换。例3：求的Z反变换。41411)(||zzzX解1：由ROC可以判断该Z变换对应右边序列，将X(z)改写为41411144411)(111||zzzzzXx(n)=-4(n)+4(1/4)n(n)上式的Z反变换为解2：由时移性，因为是右边序列414111411)(11||zzzzzX既有x(n)=(1/4)n-1(n-1)表面上看，这两个序列不同，但实际上它们对全部n值是一样的。例4：求的Z反变换。441414)(2||zzzzzX解1：由ROC可以判断该Z变换对应无限长序列，应用长除法，先将X(z)改写为下面形式4115141516414)(zzzzzzzX41416151)(zzzzzX上式第一项对应左边序列，进行长除法时应按z的升幂排列，第二项对应右边序列，长除时应按z的降幂排列，则有33333222543241414441616)4(641161414zzzzzzzzzzzzzzzz22111321641641161161161414141)41(641161411zzzzzzzzzzz所以3212345641161411441161641151)(zzzzzzzzzX所以x(n)为)(41)1(-)4(151)(2nnnxnn解2：由部分分式展开法为4115141516414)(zzzzzzzX4141615141416151)(zzzzzzzzzX上式第一项对应左边序列，第二项对应右边序列，则有)(41)1(-)4(151)(41)1(-)4(16151)(2nnnnnxnnnn解：用围线积分法]e[zR][zjIm4104ccndzzzzzjnx1241)4(21)(C为X(z)的ROC内的闭合围线，如右图示。根据极点在C内、外的分布情况，当n≥-1函数41)4(41)4(112zzzzzzznn在C内只有一个一阶极点，采用留数法可求出围线C内的极点的留数11544115141)4(414141)4()(41112nzzzzzzzzsnxnnznn,Re表示为1154)(nnxnn≤-2函数41)4(41)4(112zzzzzzznn在C内只有一个一阶极点1/4和一个在z=0高阶的极点，而在围线C外只有一个一阶极点z=4，采用留数辅助定理可求出围线C外的极点的留数，即得2415141)4(4441)4()(24112nzzzzzzzzsnxnznn,Re表示为2154)(2nnxn例5：一线性系统用常系数线性差分方程表示如下式，试求该系统的单位抽样响应。（系统处于零状态）)(21)-(21)(nxnyny解1：设x(n)=(n)，且为零状态，有00)()(nnhny单位抽样响应即为)()(nhny利用递推法得综合以上得14415121541154)(22nnnnnxnnnn3221)4(2)3(21)4(21)3(2)2(21)3(21)2(2)1(21)2(1)1(2)0(21)1(2)0(21)(21)0(hhhhhhhhhh系统的单位抽样响应为)(211)()(1nnhnynn解2：利用Z变换法求，对常系数线性差分方程两边进行Z变换得)(2)(21)(1zXzYzzY11211122112)()()(zzzXzYzH)(211)(212)(1nnnhnnn所以例6：求如下两个序列的卷积)4()3(22)()6()(21)(nnnnhnnnxsin;解：这两个序列如下图所示-4–3-2-1012345678nx(n)123-4–3-2-1012345678nh(n)-22因为x(n)在区间[1，5]之外等于0，h(n)在[-3，3]之外为0，所以卷积区间为[-2，8]。采用滑动尺度法，把x(n)和h(-n)分列在两张纸条上，以0点对齐，得到如下的图。当n0h(n-m)向左移和x(m)相乘，然后相加；得到y(n)在n=-1的值，即y(-1)=2；在n=-2的值，即y(-2)=1；这是n0时y(n)的最后一个非零值。00000.511.522.50-2020-2020m=0左移右移x(n)h(n)同理，当n≥0，h(n-m)向右移和x(m)相乘，然后相加；得到y(n)在n≥0时的值，即y(0)=2y(1)=2y(2)=3y(3)=-2y(4)=-3y(5)=2y(6)=2y(7)=-4y(8)=-5卷积结果如右图所示，表达式为)8(5)7(4)6(2)5(2)4(2)3(2)2(3)1(2)(2)1(2)2()(nnnnnnnnnnnny-4–3-2-1012345678910ny(n)123-2–3–4–5例7：求如下两个序列的离散卷积闭式解)3(31)()(61)(6nnhnnxnn;解：这两个序列都是无限长序列，直接计算离散卷积更方便mmnhmxnhnxny)()()()()()0(2132211211316633163161)3(31)(61)(267263063066nmnnnynnnnnmmnnmmnmmmnm由于(n)使和的下限为0，且对于mn-3,(n-m)为0，故上限为n-3。例8：一线性离散系统由下面差分方程描述1)-(0.5)(502)-(1)-()(nxnxnynyny.求该系统对输入的响应，已知初始条件为)(0.5)(nnxn2502)(7501)(.;.yy解：利用Z变换求此系统的响应更为方便5050)(0..zzzzXn-nn因为对差分方程两边进行Z变换，并考虑时移性质得(-1))(0.5)(50(-2)(-1))((-1))()(1121xzzXzXyzyzzYyzzYzY.1)(50(-2)(-1)(-1))(11121zzXyyzyzYzz.150150175050)(5015050750-)(11)(50250750750)(122211211121zzzzzzzzzzYzzzzzYzzzzXzzYzz............利用部分分式展开得1250505050115050175050150175050150150175050)(2222321222zzzzzzzzzzzzKzKzKzzzzzzzzzzzzzY...............160260311602602150501502501502505050501250505050)(0200202222cossincoscos.............zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzY)(33132121)(1nnnnxnsincos所以ROC|z|1零、极点图]e[zR][zjIm2123230z→0.321.19例9：一因果线性移不变离散系统由下面差分方程描述1)-()(2)-(811)-(41)(nxnxnynyny（1）画出该系统的原理框图；（2）求系统函数H(z)及单位抽样响应h(n)。1)-()(2)-(811)-(41)(nxnxnynynyz-1+z-1z-14181-1)(nx)(ny解：根据差分方程可画出系统框图如下图所示；对差分方程两边进行Z变换得1211)(81411)(zzXzzzY41211814111)()()(211zzzzzzzzXzYzH系统函数的极点为z1=1/2、z2=-1/4，因为系统为因果系统，所以收敛域为|z|1/2。利用部分分式展开法41352132)(35)(4132)(21412141211)(41221121zzzzzHzzHzAzzHzAzAzAzzzzzHzz;所以单位抽样响应为)(41352132)(nnhnnz-1+)(nx)(ny+b0b1a1)(nq)1(nq1)-()()()(1)-()(101nqbnqbnynxnqanq联立上两式，得1)-()(1)-()(101nxbnxbnyany对上式两边Z变换，得例10：一因果稳定系统结构如图示，试列出差分方程，求系统函数。当b0=0.5、b1=1、a1=0.5时，求系统的单位抽样响应，画出系统的零极点图和频率响应曲线解：根据系统框图可写出差分方程如下50z221501501)()()()(1)(111111011011...zzzzazbbzXzYzHzXzbbzazY系统零、极点如右图所示，对上式进行