数系的四则运算.

3.2复数的四则运算预备知识•一、复数的几何意义•（1）复数z=a+bi与复平面内点Z(a,b)一一对应；•（2）复数z=a+bi与平面向量一一对应；（其中O是原点，Z是复数z所对应的点）OZ二、平面向量的加减法平行四边形法则、三角形法则1.复数的加法法则1、(1+2i)+(-2+3i)=口算：2、(-2+3i)+(1+2i)=3、[(-2+3i)+(1+2i)]+(3+4i)=4、(-2+3i)+[(1+2i)+(3+4i)]=-1+5i-1+5i(-1+5i)+(3+4i)=2+9i(-2+3i)+(4+6i)=2+9iRdcba,,,(1)规定:复数的加法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(c+d)i.（1）两个复数的和仍是一个复数。（2）复数的加法法则满足交换律、结合律。说明：(2)复数加法满足交换律、结合律的证明设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i.(1)因为z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i,z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a1+a2)+(b1+b2)i,所以z1+z2=z2+z1容易得到，对任意z1,z2,z3C,有z1+z2=z2+z1(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)（同学们课后证明）(3)复数加法的几何意义复数可以用向量表示，如果与这些复数对应的向量不共线，那么这些复数的加法就可以按照向量的平行四边形法则来进行。Z1(a,b)Z2(c,d)ZOyxOZ=(a,b)+(c,d)1OZ2OZ=(a+c,b+d)对应复数(a+c)+(b+d)i2.复数的减法思考：复数是否有减法？如何理解复数的减法？类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi叫做复数a+bi减去复数c+di的差，记作(a+bi)-(c+di).根据复数相等的定义，有c+x=a,d+y=b,因此x=a-c,y=b-d所以x+yi=(a-c)+(b-d)i即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i口算：(1+2i)-(-2+3i)=3-i(1)复数的减法法则：（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i注：两个复数的差是仍为复数。探究：类比复数加法的几何意义，看看复数减法的几何意义是什么.Z1(a,b)Z2(c,d)OyxZz1-z2(2)复数减法的几何意义两个复数相加（减）就是分别把实部、虚部对应相加（减），得到一个新的复数，即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i总结例1：计算（5-6i）+（-2-i）-（3+4i）（5–2-3）+（-6–1-4）i=-11i1、计算：(1)(2+4i)+(3-4i);(2)5-(3+2i);(3)(4)(0.5+1.3i)-(1.2+0.7i)+(1-0.4i)2213()(1)()3324iii课堂练习：52-2i75612i0.3+0.2i3.复数代数形式的乘法（1）规定:复数的乘法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i探究：复数的乘法满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗?Rdcba,,,(2)复数乘法满足交换律、结合律的证明设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i.(1)因为z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i,z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(a2b1+b2a1)i,所以z1z2=z2z1容易得到，对任意z1,z2,z3C,有(z1z2)z3=z1(z2z3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3（同学们课后证明）例2计算(1-2i)(3+4i)(-2+i).解:(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.例3计算:(1)(3+4i)(3-4i);(2)(1+i)2;(3)(1-i)2解:(1)25.(2)2i.(3)-2i.4.共轭复数的定义当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于０的两个共轭复数也叫做共轭虚数。思考：若z1z2，是共轭复数，那么（１）在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？（２）z1z2是一个怎样的数？关于实轴对称实数RbabiaZbiaZ,,则即4.共轭复数的性质：ZZZZZZZZRZZZ22)2()1(0)5()4()3(2212121212121ZZZZZZZZZZZZZ探究：类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算.试探求复数除法的法则.5.复数除法的法则是:).0()()(2222dicidcadbcdcbdacdicbia方法:在进行复数除法运算时,通常先把)()(dicbia写成dicbia分母都乘以分母的共轭复数c-di,化简后就可得到上面的结果.这与作根式除法时的处理是很类似的.在的形式,再把分子与作根式除法时,分子分母都乘以分母的“有理化因式”,从而使分母“有理化”.这里分子分母都乘以分母的“实数化因式”(共轭复数),从而使分母“实数化”.例4计算).43()21(ii.525125105434683)43)(43()43)(21(4321)43()21(:22iiiiiiiiiiii解ii11ii11例5(1)1-7i复平面内点A、B分别对应复数zA=2+5i和zB=3-2i，则向量对应的复数是ABzB-zA复平面内点A、B分别对应复数zA和zB，则向量对应的复数是AB结论1：复平面内点A、B对应的复数分别为zA=3+2i和zB=-2+4i，则A、B间的距离是______(2)29结论2：复平面内点A、B对应的复数分别为zA、zB，则A、B间的距离是||BAzz3.根据复数的几何意义,满足条件的复数z在复平面上对应的点的轨迹是1|)1(|iz4.满足条件的复数z在复平面上对应的点的轨迹是2|)32(|iz例5：以（1，1）为圆心，半径为1的圆周以（2，3）为圆心，半径为2的圆周思考：你能归纳推导出一个更一般的结论吗？以（a，b）为圆心，半径为r的圆周满足条件的复数z在复平面上对应的点的轨迹是)0(|)(|rrbiaz结论3：思考：复数z满足条件，则的最大值是3||iz|2|iz4课堂小结•类比思想：（代数角度）与实数之间的类比：复数的加减运算遵循实数运算的运算律和运算顺序；（几何意义）与向量的概念、运算之间的类比。•数形结合：利用复数的几何意义解决距离、轨迹等的问题。