2014届高三数学一轮：正弦定理和余弦定理的应用

1．实际问题中的有关概念(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图③)①北偏东α：指北方向顺时针旋转α到达目标方向．②东北方向：指北偏东45°或东偏北45°.③其他方向角类似．(4)视角：观测点与观测目标两端点的连线所成的夹角叫做视角(如图④)．[小题能否全取]1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是()A．αβB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°答案：B2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的()A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°解析：如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A在点B的北偏西15°.答案：B3.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝135°，CD＝30m，并在点C处测得塔顶A的仰角为30°，则塔高AB为()A．102mB．103mC．156mD．106m解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－135°＝30°，由正弦定理，得BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD，所以BC＝30sin135°sin30°＝302(m)．在Rt△ABC中，AB＝BC·tan∠ACB＝302tan30°＝106(m)．答案：D4．(2011·上海高考)在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为________千米．解析：如图所示，由题意知∠C＝45°，由正弦定理得ACsin60°＝2sin45°，∴AC＝222·32＝6.答案：65．(2012·泰州模拟)一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上．继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60°，另一灯塔在船的南偏东75°，则这艘船每小时航行________海里．解析：如图，由题意知在△ABC中，∠ACB＝75°－60°＝15°，B＝15°，∴AC＝AB＝8.在Rt△AOC中，OC＝AC·sin30°＝4.∴这艘船每小时航行412＝8海里．答案：8解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．测量距离问题[例1]郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.(1)求AB的长度；(2)若不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由)．[自主解答](1)在△ABC中，由余弦定理得cosC＝AC2＋BC2－AB22AC·BC＝82＋52－AB22×8×5，①在△ABD中，由余弦定理得cosD＝AD2＋BD2－AB22AD·BD＝72＋72－AB22×7×7，②由∠C＝∠D得cosC＝cosD.解得AB＝7，所以AB的长度为7米．(2)小李的设计使建造费用最低．理由如下：易知S△ABD＝12AD·BDsinD，S△ABC＝12AC·BCsinC，因为AD·BDAC·BC，且∠C＝∠D，所以S△ABDS△ABC.故选择△ABC的形状建造环境标志费用较低．解：因为AD＝BD＝AB＝7，所以△ABD是等边三角形，∠D＝60°，∠C＝60°.故S△ABC＝12AC·BCsinC＝103，所以所求的最低造价为5000×103＝500003≈86600元．若环境标志的底座每平方米造价为5000元，试求最低造价为多少？求距离问题要注意：(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．1．为了更好地掌握有关飓风的数据资料，决定在海上的四岛A、B、C、D建立观测站，已知B在A正北方向15海里处，C在A的东偏北30°方向，又在D的东北方向，D在A的正东方向，且BC相距21海里，求C、D两岛间的距离．解：由已知得A、B、C、D四岛的位置如图所示，设A、C两岛相距x海里．∵C在A的东偏北30°方向，∴∠BAC＝60°.在△ABC中，由余弦定理得，212＝152＋x2－2×15xcos60°，化简得x2－15x－216＝0，解得x＝24或x＝－9(舍去)．又∵C在D的东北方向，∴∠ADC＝135°，在△ADC中，由正弦定理得CDsin30°＝ACsin135°，∴CD＝AC·sin30°sin135°＝24×1222＝122.∴C、D两岛间的距离为122海里．测量高度问题[例2](2012·九江模拟)如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD(CD所在的直线与地平面垂直)对于山坡的斜度为α，从A处向山顶前进l米到达B后，又测得CD对于山坡的斜度为β，山坡对于地平面的坡角为θ.(1)求BC的长；(2)若l＝24，α＝15°，β＝45°，θ＝30°，求建筑物CD的高度．[自主解答](1)在△ABC中，∠ACB＝β－α，根据正弦定理得BCsin∠BAC＝ABsin∠ACB，所以BC＝sinsinl.(2)由(1)知BC＝lsinαsinβ－α＝24×sin15°sin30°＝12(6－2)米．在△BCD中，∠BDC＝π2＋π6＝2π3，sin∠BDC＝32，根据正弦定理得BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD，所以CD＝24－83米．求解高度问题应注意：(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．2．(2012·西宁模拟)要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求电视塔的高度．解：如图，设电视塔AB高为xm，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，则BD＝3x.在△BDC中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，即(3x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，所以电视塔高为40米．测量角度问题[例3](2012·太原模拟)在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇以每小时14nmile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．[自主解答]如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.根据正弦定理得BCsinα＝ACsin120°，解得sinα＝20sin120°28＝5314.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314.1．测量角度，首先应明确方位角，方向角的含义．2．在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理综合使用的特点．3．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(3－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以103nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解析：如图，设缉私船用th在D处追上走私船，则有CD＝103t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2×cos120°＝6.∴BC＝6，且sin∠ABC＝ACBC·sin∠BAC＝26×32＝22.∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向垂直．∵∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10tsin120°103t＝12，∴∠BCD＝30°，即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船．[典例]某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．[解](1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S＝900t2＋400－2·30t－＝900t2－600t＋400＝900t－132＋300，故当t＝13时，Smin＝103，v＝10313＝303，即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B处相遇，如图所示．由题意可得：(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·30t·cos(90°－30°)，化简得：v2＝400t2－600t＋900＝4001t－342＋675.由于0t≤12，即1t≥2，所以当1t＝2时，v取得最小值1013，即小艇航行速度的最小值为1013海里/小时．[题后悟道]解答本题利用了函数思想，求解时，把距离和速度分别表示为时间t的函数，利用函数的性质求其最值，第二问应注意t的范围．关于三角形中的最值问题，有时把所求问题表示关于角θ的三角函数，再利用三角函数的性质来求解．针对训练如图，在△ABC中，已知B＝π3，AC＝43，D为BC边上一点．若AB＝AD，则△ADC的周长的最大值为________．解析：∵AB＝AD，B＝π3，∴△ABD为正三角形，在△ADC中，根据正弦定理，可得ADsinC＝43sin2π3＝DCsinπ3－C，∴AD＝8sinC，DC＝8sinπ3－C，∴△ADC的周长为AD＋DC＋AC＝8sinC＋8sinπ3－C＋43＝8sinC＋32cosC－12sinC＋43＝812sinC＋32cosC＋43＝8sinC＋π3＋43，∵∠ADC＝2π3，∴0Cπ3，∴π3C＋π32π3，∴当C＋π3＝π2，即C＝π6时，△ADC的周长的最大值为8＋43.答案：8＋43教师备选题（给有能力的学生加餐）1.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？解题训练要高效见“课时跟踪检测（二十五）”解：如图，连接A1B2