2014届高三数学：正弦定理与余弦定理

一、正、余弦定理正弦定理余弦定理内容a2＝；b2＝；c2＝．asinA＝bsinB＝csinCb2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC正弦定理余弦定理变形形式①a＝，b＝，c＝；②sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(其中R是△ABC外接圆半径)③a∶b∶c＝④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA.cosA＝；cosB＝；cosC＝.2RsinA2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinCb2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab正弦定理余弦定理解决的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.二、三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)；(2)S＝12bcsinA＝＝；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．12acsinB12absinC[小题能否全取]1．(2012·广东高考)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝()A．43B．23C.3D.32解析：由正弦定理得：BCsinA＝ACsinB，即32sin60°＝ACsin45°，所以AC＝3232×22＝23.答案：B2．在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：∵cosA＝b2＋c2－a22bc＝1＋4－32×1×2＝12，又∵0°A180°，∴A＝60°.答案：C3．(教材习题改编)在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有()A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定解析：∵asinA＝bsinB，∴sinB＝basinA＝2418sin45°，∴sinB＝223.又∵ab，∴B有两个．答案：B4．(2012·陕西高考)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝π6，c＝23，则b＝________.解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋12－2×2×23×32＝4，所以b＝2.答案：25．△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．解析：设BC＝x，由余弦定理得49＝25＋x2－10xcos120°，整理得x2＋5x－24＝0，即x＝3.因此S△ABC＝12AB×BC×sinB＝12×3×5×32＝1534.答案：1534(1)在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，AB⇔ab⇔sinAsinB.(2)在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两解一解一解利用正弦、余弦定理解三角形[例1](2012·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝3acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．[自主解答](1)由bsinA＝3acosB及正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝3cosB，所以tanB＝3，所以B＝π3.(2)由sinC＝2sinA及asinA＝csinC，得c＝2a.由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋c2－ac.所以a＝3，c＝23.在本例(2)的条件下，试求角A的大小．解：∵asinA＝bsinB，∴sinA＝asinBb＝3·sinπ33＝12.∴A＝π6.1．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．2．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．1．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a.(1)求ba；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.解：(1)由正弦定理得，sin2AsinB＋sinBcos2A＝2sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝2sinA.故sinB＝2sinA，所以ba＝2.(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cosB＝1＋3a2c.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得cos2B＝12，又cosB0，故cosB＝22，所以B＝45°.利用正弦、余弦定理判定三角形的形状[例2](2012·安徽名校模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(4，－1)，n＝cos2A2，cos2A，且m·n＝72.(1)求角A的大小；(2)若b＋c＝2a＝23，试判断△ABC的形状．[自主解答](1)∵m＝(4，－1)，n＝cos2A2，cos2A，∴m·n＝4cos2A2－cos2A＝4·1＋cosA2－(2cos2A－1)＝－2cos2A＋2cosA＋3.又∵m·n＝72，∴－2cos2A＋2cosA＋3＝72，解得cosA＝12.∵0Aπ，∴A＝π3.(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，且a＝3，∴(3)2＝b2＋c2－2bc·12＝b2＋c2－bc.①又∵b＋c＝23，∴b＝23－c，代入①式整理得c2－23c＋3＝0，解得c＝3，∴b＝3，于是a＝b＝c＝3，即△ABC为等边三角形．依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．[注意]在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．2．已知在△ABC中，cos2A2＝b＋c2c，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形解析：由正弦定理得b＋c2c＝12＋sinB2sinC，∴1＋cosA2＝12＋sinB2sinC，∴sinB＝cosA·sinC.∵在三角形中有sinB＝sin(A＋C)，∴sinAcosC＋cosAsinC＝cosAsinC.∴sinAcosC＝0.∵sinA≠0，∴cosC＝0，C＝π2.故ABC为直角三角形．答案：A与三角形面积有关的问题[例3](2012·新课标全国卷)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.(1)求A；[自主解答](1)由acosC＋3asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋3sinAsinC－sinB－sinC＝0.因为B＝π－A－C，所以3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.由于sinC≠0，所以sinA－π6＝12.又0＜A＜π，故A＝π3.(2)△ABC的面积S＝12bcsinA＝3，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.1．正弦定理和余弦定理并不是孤立的．解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用．2．在解决三角形问题中，面积公式S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理结合应用．3．(2013·江西重点中学联考)在△ABC中，12cos2A＝cos2A－cosA.(1)求角A的大小；(2)若a＝3，sinB＝2sinC，求S△ABC.解：(1)由已知得12(2cos2A－1)＝cos2A－cosA，则cosA＝12.因为0Aπ，所以A＝π3.(2)由bsinB＝csinC，可得sinBsinC＝bc＝2，即b＝2c.所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝4c2＋c2－94c2＝12，解得c＝3，b＝23，所以S△ABC＝12bcsinA＝12×23×3×32＝332.正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点．主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及测量、几何计算有关的实际问题．正、余弦定理的考查常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差倍角公式甚至三角函数的图象和性质等交汇命题，多以解答题的形式出现，属解答题中的低档题．“大题规范解答——得全分”系列之(四)解三角形的答题模板[典例](2012江西高考·满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝π4，bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a.(1)求证：B－C＝π2；(2)若a＝2，求△ABC的面积．[动漫演示更形象，见配套光盘][教你快速规范审题]1．审条件，挖解题信息观察条件―→A＝π4，bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a――――――――――→等式中既有边又有角，应统一sinBsinπ4＋C－sinCsinπ4＋B＝sinA2．审结论，明解题方向观察所求结论―→求证：B－C＝π2―――――――――――――――→应求角B－C的某一个三角函数值sinB－C＝1或cosB－C＝0.3．建联系，找解题突破口考虑到所求的结论只含有B，C，因此应消掉,sinBsin4C－sinCsin4B＝sinA中的角A4A代入＝sinBsinπ4＋C－sinCsinπ4＋B＝22―――――――――――――――→利用两角和与差的三角函数公式sinB－C＝1―――――――――――――――――→要求角的值，还应确定角的取值范围由0B，C3π4，解得B－C＝π21．审条件，挖解题信息观察条件―→a＝2，A＝π4，B－C＝π2――――――→可求B，C的值B＝5π8，C＝π82．审结论，明解题方向观察所求结论―→求△ABC的面积―――――→应具有两边及其夹角由asinA＝bsinB＝csinC，得b＝2sin5π8，c＝2sinπ83．建联系，找解题突破口△ABC的边角都具备――――――――――→利用面积公式求结论S＝12bcsinA＝2sin5π8sinπ8＝2cosπ8sinπ8＝12[教你准确规范解题](1)证明：由bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a，应用正弦定理，得sinBsinπ4＋C－sinCsinπ4＋B＝sinA，(2分)sinB22sinC＋22cosC－sinC22sinB＋22cosB＝22，整理得sinBcosC－cosBsinC＝1，(5分)即sin(B－C)＝1，由于0B，C34π，从而B－C＝π2.(6分)(2)B＋C＝π－A＝3π4，因此B＝5π8，C＝π8.(8分)由a＝2，A＝π4，得b＝asinBsinA＝2sin5π8，c＝asinCsinA＝2sinπ8，(10分)所以△ABC的面积S＝12bcsinA＝2sin5π8sinπ8＝2cosπ8sinπ8＝12.(12分)[常见失分探因]易忽视角B－C的范围，直接由sin(B－C)＝1，求得结论.————————[教你一个万能模板]————————―→―→解三角形问题一般可用以下几步解答：利用正弦定理或余弦定理实现边角互化(本题为边化角)第一步三角变换、化简、消元，从而向已知角(或边)转化第二步―→代入求值第三步反思回顾，查看关键点，易错点，如本题中公式应用是否正确第四步教师备选题（给有能力的学生加餐）1．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，