千古绝技割圆术

1千古绝技“割圆术”苏翃重庆工学院2008.6.4刘徽的大智慧2西方古代数学之神阿基米德给我一个支点，我就能撬动地球。3东方古代数学之神刘徽观阴阳之割裂，总算术之根源。4中华文明难道是可“忽略”的吗M.Kline《古今数学思想》被誉为“古今最好的一部数学史”该书高度赞誉古希腊文明同时贬低中华文明“希腊人在文明史上首屈一指，在数学史上至高无上。”“阿基米德是古代最伟大的数学家。他的几何学是古希腊数学的顶峰。”1908－1992“为着不使资料漫无边际，我忽略了几种文化，例如中国的文化，因为他们的工作对于数学思想的主流没有重大影响。”5扑朔迷离的千古疑案博大精深的千古奇文神奇玄妙的千古绝技刘徽：古代数学之神内容提要这份报告旨在说明刘徽在1800年前提出的“割圆术”达到了古今难以逾越的学术高度6数学史上一道千古难题圆是最基本最常见的几何图形大小不同的圆中存在具有普适意义的“不变量”圆周率=圆周长/直径=圆面积/半径2数学不变量是重要的数学生长点在古代计算高精度的圆周率意义重大：衡量一个数学家的数学才能反映一个国家一个民族的数学发展水平标志一个地区一个时代科学技术的发达程度7群星璀璨的数学奇观在近代数学史上大多数数学家都亲自动手计算过圆周率都亲身体验过求值的艰辛(法)韦达(1540—1603)割圆到393216边形准确到小数点后10位(德)鲁道夫(1540-1610)割圆到264边形准确到小数点后35位鲁道夫数铭刻墓碑上直到19世纪(英)尚克斯耗时15年将算到707位并刻在墓碑上后计算机验算528位起出错8圆周率精确计算的先驱者3.14上古普遍流行“周三径一”的说法认为圆的周长是其直径的3倍这样有史称古率从现有的史料来看首创圆周率精密计算的是古希腊的阿基米德(约公元前287－前212年)阿基米德用正96边形逼近圆周求得公元前3世纪古希腊遭到罗马人的摧残叙拉古王国灭亡古希腊文明衰落西方圆周率计算就此沉寂一千多年39焚书坑儒留下历史空白在阿基米德被罗马士兵野蛮杀害的公元前212年秦始皇正耀武扬威地巡视着那空前规模的大帝国大一统的秦王朝屹立在世界的东方秦始皇在全国统一了度量衡刘徽据秦汉量器测算发现当时所使用的圆周率约为3.14中国上古时代科技相当发达然而关于圆周率的记载却是一片空白这是否与秦始皇的焚书坑儒有关呢?10扑朔迷离的千古疑案公元5世纪南北朝祖冲之准确到小数点后7位称雄千年的一项数学成就祖冲之算法称“缀术”缀术千年失传中国古代最辉煌的数学成就竟是一桩千古疑案3.14159263.141592711华罗庚先生的评说（1963年）华罗庚《高等数学引论》第4章§5“祖冲之计算圆周率的方法”指出“祖冲之从圆的内接正六边形和外切正六边形出发。显然圆夹在这两个六边形之间，再做内接的和外切的正12边形、正24边形、…，边数愈多，内接的和外切的正多边形就愈接近圆的面积。”华先生认为祖冲之实际上是沿袭了阿基米德的做法12钱宝琮先生的推测（1963年）钱宝琮《中国数学史》指出“《缀术》失传，祖冲之推算圆周率的方法难以详考。”钱先生指出如果直接用内接与外切正多边形逼近圆周为要获得祖冲之的圆周率要割到24576边形钱先生认为祖冲之的“缀术”是继承了魏晋刘徽的“割圆术”他推测“祖冲之写了数十篇专题论文，附缀于刘徽注的后面，叫它‘缀述’。”按钱先生的理解“缀术”是割圆术的补充说明13博大精深的千古奇文魏晋刘徽《九章算术注》（公元263年）创建中华数学的理论体系《九章》圆田术：圆面积=半周长×半径刘徽圆田术注约1800字后世称“割圆术”上篇（263字）深邃的极限思想中篇（1264字）高明的逼近方法下篇（159字）玄妙的加速技术14刘徽是怎样割圆的割之弥细失之弥少割之又割以至于不可割则与圆合体而无所失矣15深邃的极限思想古希腊人在精神上对“无穷”怀有恐惧阿基米德的著作总是谨慎地回避“取极限”“割圆术”涵盖大学高等数学教材中有关数列极限的基本知识诸如极限的定义收敛性的判别无穷小量概念等“中国的牛顿”?近代数学之王牛顿1643—172716阿基米德的双侧逼近用内接外切正96边形逼近圆周求得3.14内接多边形弱近似外切多边形强近似17高明的逼近方法用内接正3072边形逼近圆周求得弱近似内接多边形强近似破缺的外切多边形计算量节省一半2nS()2n2nnS+S-S史称徽率=3.141618割圆计算的刘徽算法动态的二分演化过程(倍增过程)取递推计算证明基于勾股定理1800年前用算筹实施的一项伟大的计算工程标准的计算机程序6122448122448llllSSS61rl222242nnnnllnSl勾股弦小弦小股小勾19一份珍贵的文化遗产《割圆术》这篇千古奇文提供了一个绝好的机会让今人亲眼瞧一瞧刘徽这位古代数学泰斗在1800年前是怎样实施一项伟大的计算工程进而提炼出割圆术这个千古绝技的用算筹实施的一项伟大的计算工程标准的计算机程序简单的重复生成复杂20刘徽的奇思妙想*2n2nnS≈S+ω(S-S)*19219296SS+ω(S-S)0ω12nnS-S双侧逼近立足于偏差加速逼近关键在于松弛因子的选择刘徽适当选取考察加速公式其中数据很粗糙阿基米德早已掌握*2n2nn2n2nnS+0(S-S)SS+1(S-S)ωω96192S,S21神奇玄妙的千古绝技=3.141636ω=10519219296S+ω(S-S)6436105=3146251056256436100431431431462562562525刘徽令并取半径100寸求得故有刘徽据此断定用极其粗糙的数据加工出高精度的结果石破天惊的伟大成就192192963072S+ω(S-S)=S22破解“缀术”之谜刘徽加速技术祖冲之算法自称“缀术”汉字“缀”有两层涵义缀合即组合缀补即修补校正结论：祖冲之的“缀术”源于刘徽的“割圆术”ˆ(1)()n2nn2n2nnS=+SS=S+S-S组合技术校正技术23差之毫厘，失之千里修改松弛因子加速公式千古辉煌留给了两百年后的祖冲之n963.1410319513.1415925341923.1414524723.1415926463843.141557608351053611053nnnnSSSS2231ˆ24神机妙算“割圆术”15世纪阿拉伯人阿尔·卡西割到805306368（8亿多）边形精确到小数点后17位运用刘徽的加速技术调用数学软件Mathematica进行符号演算利用直到384边形的数据加工出的值准确到小数点后18位25追踪混沌非线性迭代倍周期分叉过程确定需要求解某个阶非线性方程组当增大时计算量急剧增长1(1)nnnxλxx1kk2k123426一蹴而就创奇迹运用刘徽的加速技术加速算法：人工手算胜过超级计算111ˆ3.6692kkkkk13.000000000003.571993214123.449489742803.569872702333.544090350613.569994417543.564407266123.569945550653.568759419623.569945667863.56969160983kkˆ27刘徽：古代数学之神•深邃的极限思想走到了微积分的大门口•高明的逼近方法一项伟大的计算工程•玄妙的加速技术达到了古今不可逾越的学术高度28新时代呼唤“新科学”StephenWolfram•1959年生•15岁发表粒子物理学术论文•22岁被授予美国“天才人物奖”•研制Mathematica致富•隐姓埋名潜心探索“复杂性”十余年2002年5月推出鸿篇巨著《一种新科学》该书用丰富的计算机实验证明“简单的重复生成复杂”声称“宇宙原理只是区区几行程序代码”29“新科学”期盼“新思维”基本原理简单的重复生成复杂Wolfram元胞自动机人工生命人工宇宙二分演化机制信息科学需要中华数学中华数学必将大放异彩高效算法高效网络…010-1近三年高等教育出版社出版相关著作两本教材一本专著30爱因斯坦的迷茫西方科学发展以数学演绎和科学实验这两个伟大成就为基础。‘‘在我看来，中国的贤哲没有走上这两步，那是用不着惊奇的。要是这些发现果真都作出来了，那倒是令人惊奇的事。”31探究中西文明大碰撞激扬中华先贤大智慧复兴先贤伟业重振中华雄风32谢谢!