遵义2019版中考数学复习复习三角形课时18解直角三角形及其应用课件

教材同步复习第一部分第四章三角形课时18解直角三角形及其应用知识要点·归纳知识点一锐角三角函数1．锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图所示：正弦：sinA＝∠A的对边斜边＝ac；余弦：cosA＝∠A的邻边斜边＝①______；正切：tanA＝∠A的对边∠A的邻边＝②______.bcab2•【注意】(1)锐角三角函数是在直角三角形中定义的；(2)sinA，cosA，tanA表示的是一个整体，是指两条线段的比，没有单位；(3)锐角三角函数的大小仅与角的大小有关，与该角所处的直角三角形的大小无关；(4)当∠A为锐角时，0sinA1,0cosA1，tanA0，且正弦值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小，正切值随着角度的增大而增大．3•2．特殊角的三角函数值4α的度数三角函数值30°45°60°sinα122232cosα322212tanα3313【夯实基础】1．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AB＝5，AC＝3,BC＝_____，sinA＝______.2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8,sinA＝34，则BC的长为_____.3.3tan30°－2cos45°＝_____.4．已知α，β均为锐角，且满足|sinα－12|＋tanβ－12＝0,则α＋β＝________.4456075°5知识点二解直角三角形1．解直角三角形的有关概念(1)定义：在直角三角形中，除直角外，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．(2)依据：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则①边角关系：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab；②三边之间的关系：③______________；③三角之间的关系：∠A＋∠B＝∠C.(3)面积公式：S△ABC＝12ab＝④____________.(h为斜边c上的高)(4)边角间关系：sinA＝cosB＝ac，cosA＝sinB＝bc，tanA＝ab，tanB＝ba.a2＋b2＝c212ch6【注意】直角三角形中的边角关系三边关系勾股定理：a2＋b2＝c2三角关系∠A＋∠B＝∠C边角关系sinA＝ac＝cosB，cosA＝bc＝sinB，tanA＝ab＝1tanB7•2．解直角三角形的常见类型和解法8已知条件图形解法已知一个直角边和一个锐角(a，∠A)∠B＝90°－∠A，c＝asinA，b＝atanA(或b＝c2－a2)已知斜边和一个锐角(c，∠A)∠B＝90°－∠A，a＝c·sinA，b＝c·cosA(或b＝c2－a2)已知条件图形解法已知两直角边(a，b)c＝a2＋b2，由tanA＝ab求∠A，∠B＝90°－∠A已知斜边和一条直角边(c，a)b＝c2－a2，由sinA＝ac求∠A，∠B＝90°－∠A9•【注意】解直角三角形的方法：•(1)当所求元素不在直角三角形中时，应作辅助线构造直角三角形，或寻找已知直角三角形中的边角替代所要求的元素；(2)解决实际问题的关键是构造几何模型，大多数问题都需要添加适当的辅助线，将问题转化为直角三角形中的边角来计算．10【夯实基础】5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论错误的是()A．sinB＝ADABB．sinB＝ACBCC．sinB＝ADACD．sinB＝CDACC11•6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，则BE的长为_______.1222•7．如图，AD，BE分别是△ABC中BC，AC边上的高，AD＝4，AC＝6，则sin∠EBC＝______.1353知识点三解直角三角形的实际应用1．解直角三角形实际应用的有关概念概念定义图形仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角坡度(坡比)、坡角坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示；坡面与水平面的夹角α叫坡角，i＝tanα＝⑤________hl14概念定义图形方向角一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角)，通常表示成北(南)偏东(西)多少度，方向角的角度值在0°～90°之间．如图，点A，B，C关于O点的方向角分别是北偏东30°，南偏东60°，北偏西45°(也称西北方向)15•【注意】(1)东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向，我们一般画图的方位为上北下南，左西右东.(2)精确度：一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，如3.1415926精确到0.01是⑥___________，精确到0.1是⑦__________，精确到整数位是⑧_______.163.143.13•4．解直角三角形实际应用的常见模型及辅助线的作法•(1)“母子”型及其变式：17•(2)“背靠背”型及其变式：18•(3)其他图形：19•【注意】解直角三角形的实际应用主要涉及测量、航空、航海、工程等领域，解此类问题一般按以下步骤进行：(1)根据题中图形标出已知长度和角度，以及待求长度或高度．(2)构造直角三角形，一般需构造两个，它们共直角边．如果题中图形是锐角三角形，一般采用切割法；如果题中图形是钝角三角形，一般采用拼补法．(3)先解一个直角三角形，通过重叠的直角边，将数据转化到第二个直角三角形．(4)解第二个直角三角形，求出题中要求的长度或高度，并作答．20•【夯实基础】•8．4月26日，2015黄河口(东营)国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为30°，B处的高度CD为200米，点A，D，B在同一直线上，则AB两点的距离是_______________米．21200(3＋1)9．如图，一山坡的坡度为i＝1∶3，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升_________米．10022•10．如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于________海里．23103•【例1】(2018·德州)如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是______.24重难点·突破考点1解直角三角形(重点)55•【思路点拨】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．25【解答】∵AB2＝32＋42＝25,AC2＝22＋42＝20,BC2＝12＋22＝5，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，则sin∠BAC＝BCAB＝55.•本题考查解直角三角形.如果在解决三角形的相关问题时，题目中没有明显的直角三角形，需要恰当地构造直角三角形进行转化，就会有化难为易、事半功倍的效果.对于非直角三角形，往往通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路：•1作垂线构造直角三角形；•2利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边.26•【例2】(2018·台州)图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度．(结果保留小数点后一位，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53)27考点2解直角三角形的实际应用(高频考点)•【思路点拨】过点C作CE⊥BD于点E，过点A作AF⊥CE于点F，易得四边形AHEF为矩形，则EF＝AH＝3.4m，∠HAF＝90°，可计算出∠CAF＝28°，则在Rt△ACF中利用正弦可计算出CF，然后计算CF＋EF即可．28【解答】如答图，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作AF⊥CE于点F，则四边形AHEF为矩形，∴EF＝AH＝3.4m，∠HAF＝90°，∴∠CAF＝∠CAH－∠HAF＝118°－90°＝28°.在Rt△ACF中，∵sin∠CAF＝CFAC，AC＝9m，∴CF＝9·sin28°≈4.23m，∴CE＝CF＋EF＝4.23＋3.4≈7.6m.答：操作平台C离地面的高度为7.6m.•【例3】(2018·黄冈)如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE＝30°，楼高AB＝60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．•(1)求坡底C点到大楼距离AC的值；•(2)求斜坡CD的长度．29【思路点拨】(1)在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长即可；(2)设CD＝2x，则DE＝x，CE＝x，构建方程即可解决问题．【解答】(1)在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，∠BCA＝60°，AB＝60米，∴AC＝ABtan60°＝603＝203(米)．答：坡底C点到大楼距离AC的值是203米．(2)过点D作DF⊥AB于点F.设CD＝2x，则DE＝x，CE＝3x.在Rt△BDF中，∵∠BDF＝∠DBF＝45°，∴BF＝DF，∴60－x＝203＋3x，解得x＝403－60，∴CD＝2x＝803－120.答：斜坡CD的长度为(803－120)米．30•本题考查解直角三角形的实际应用．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另外当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中的边角关系问题加以解决．常见的构造基本图形有以下几种：•(1)构造一个直角三角形：31•(2)构造两个直角三角形：•①不同地点测量，如图1；②同一地点测量，如图2.32图1图2易错点解决锐角三角函数问题时，是否明确对边、邻边、斜边都在直角三角形中【例4】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则sinA等于()A.23B.1010C.23D.5533错解：∵sinA＝对边斜边，∴sinA＝BCAB＝232＝23，故选A.【错解分析】应用锐角三角函数的公式sinA＝对边斜边时，前提必须是在一个直角三角形中．本题未判断△ABC是否为直角三角形，而直接应用公式，出现概念性错误．首先应该构造一个直角三角形ADC，再应用公式求解，即sinA＝对边斜边＝CDAC＝210＝55.34【正解】∵在直角三角形中，sinA＝对边斜边，∴作CD⊥AB于点D，在Rt△ADC中，sinA＝CDAC＝210＝55，故选D.35