2019高职高考数学复习-圆的方程

8.4圆的方程【复习目标】1.熟练掌握圆的标准方程和一般方程.2.能根据已知条件求圆的方程.3.理解并掌握点与圆的位置关系.【知识回顾】1.定义:平面内,与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆,定点叫做圆的圆心,定长叫做圆的半径.2.圆的标准方程圆心在点C(a,b),半径为r的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2特殊地,圆心在坐标原点,半径为r的圆的标准方程是x2+y2=r23.圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0把圆的一般方程化为标准方程的形式就是:(x+𝑫𝟐)2+(y+𝑬𝟐)2=𝑫𝟐+𝑬𝟐−𝟒𝑭𝟒(1)当D2+E2-4F0时,方程表示一个圆的方程,圆心为(-𝑫𝟐,-𝑬𝟐),半径为r=𝑫𝟐+𝑬𝟐−𝟒𝑭𝟐.(2)当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点(-𝑫𝟐,-𝑬𝟐).(3)当D2+E2-4F0时,方程不表示任何图形.【说明】所有的二次曲线方程的一般形式是Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0,在圆的一般方程中,A=B≠0,且C=0.4.点与圆的位置关系对于点P(x0,y0)和圆(x-a)2+(y-b)2=r2或x2+y2+Dx+Ey+F=0,点P到圆心距离记作d.(1)点P在圆内⇔(x0-a)2+(y0-b)2r2⇔𝒙𝟎𝟐+𝒚𝟎𝟐+Dx0+Ey0+F0⇔dr(2)点P在圆上⇔(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔𝒙𝟎𝟐+𝒚𝟎𝟐+Dx0+Ey0+F=0⇔d=r(3)点P在圆外⇔(x0-a)2+(y0-b)2r2⇔𝒙𝟎𝟐+𝒚𝟎𝟐+Dx0+Ey0+F0⇔dr【说明】1.圆心和半径是圆的两个要素,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.只要圆心与半径明确了,圆就确定了,该圆的方程也就唯一地确定了.2.求圆方程的基本方法以待定系数法为主,应注意根据所给条件,明确应该使用标准方程还是一般方程.如果题目中给出了圆心坐标之间的关系或圆心的特殊位置关系时,一般用标准方程.如果给出圆上的三个点的坐标,一般用一般方程.另外还应注意用动点轨迹的方法求圆的方程,除定义外,还可以用其他等量关系列方程,如动点到两定点的连线互相垂直等.【例题精解】【例1】根据下列条件,求圆的方程:(1)圆心在P(-1,1),半径为𝟓(2)圆心在P(-3,4),并且过原点O(3)以AB为直径,A(2,3)、B(-4,5)【解】(1)所求圆的圆心是(-1,1),半径是𝟓所以所求圆的方程是:(x+1)2+(y-1)2=5(2)所求圆的半径为r=|OP|=(−𝟑−𝟎)𝟐+(𝟒−𝟎)𝟐=5,圆心是(-3,4)所以所求圆的方程是:(x+3)2+(y-4)2=25(3)所求圆的圆心为AB的中点,即(-1,4),半径为r=|𝑨𝑩|𝟐=(−𝟒−𝟐)𝟐+(𝟓−𝟑)𝟐𝟐=𝟏𝟎所以所求圆的方程是:(x+1)2+(y-4)2=10【点评】在圆的标准方程中要注意等式的右端是半径的平方.圆的两个要素是圆心、半径,圆心坐标确定圆的位置,半径确定圆的大小.【例2】若点P(t,2)在圆x2+(y-4)2=9的内部,求t的取值范围.【解】圆的圆心为(0,4),半径为3,由题意知𝒕𝟐+(𝟐−𝟒)𝟐3,t2+49解之得:-𝟓t𝟓∴t的取值范围是(-𝟓,𝟓)223(-1)201A.0B.151C.1D.R5xyxy【例】若表示圆，则的取值范围是或222222(-1)2040,(1)(2)40,C.xyxyDEF【解】方程表示圆，则即故选【解】设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0将A、B、C的坐标分别代入上式得:𝟓𝑬+𝑭+𝟐𝟓=𝟎𝑫−𝟐𝑬+𝑭+𝟓=𝟎𝟑𝑫+𝟒𝑬−𝑭−𝟐𝟓=𝟎解方程组得:D=6,E=-2,F=-15所以所求圆的方程为:x2+y2+6x-2y-15=0【点评】如果利用圆的标准方程设定圆心与半径再代入已知点的坐标显然是不易求解的,利用圆的一般方程,代入已知点坐标得到的是关于D、E、F的一次方程,求解则容易一些.【例4】求过三点A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)的圆的方程.【同步训练】【答案】D一、选择题1.圆(x+2)2+(y-3)2=7的圆心与半径分别是()A.(2,-3),7B.(-2,3),7C.(2,-3),𝟕D.(-2,3),𝟕【答案】D2.已知圆x2+y2+Dx+Ey-6=0的圆心在点(3,4)处,那么圆的半径是()A.𝟕𝟐B.5C.𝟔D.𝟑𝟏【答案】C3.圆x2+y2-2x+2y=0的周长等于()A.𝟐πB.2πC.2𝟐πD.4π【答案】A4.已知点P(4,-𝟑)与圆x2+y2-4x-6y+4=0,那么点P必定在()A.圆外B.圆上C.圆心处D.圆内,但非圆心处【答案】D5.若点(2a,a-1)在圆x2+y2-2y-4=0的内部,则a的取值范围是()A.-1a1B.0a1C.-1a𝟏𝟓D.-𝟏𝟓a1【答案】B6.动点P到定点(1,-2)的距离为3,则动点P的轨迹方程是()A.(x+1)2+(y-2)2=9B.(x-1)2+(y+2)2=9C.(x+1)2+(y-2)2=3D.(x-1)2+(y+2)2=3【答案】D7.方程x2+y2-2x+y+k=0是圆的方程,则实数k的取值范围是()A.k5B.k𝟑𝟐C.k𝟑𝟐D.k𝟓𝟒【答案】C8.若方程2x2+(m2-1)y2=1表示圆的方程,则m的值是()A.1B.𝟐C.𝟑D.(-∞,-1)∪(1,+∞)【答案】A9.圆的一条直径的端点是(2,0)和(2,-2),则此圆的方程是()A.x2+y2-4x+2y+4=0B.x2+y2-4x-2y-4=0C.x2+y2-4x-2y+4=0D.x2+y2+4x+2y+4=0【答案】B10.与圆x2+y2+6x+4y=0的圆心相同，且过点(2,1)的圆的一般方程是()A.x2+y2+6x+4y+21=0B.x2+y2+6x+4y-21=0C.x2+y2+6x=0D.x2+y2+2y=0二、填空题11.圆x2+y2-8x-14y+56=0的圆心坐标是,直径是.12.圆(x-2m)2+(y+m)2=m+1的半径为2,则m=,圆心坐标为.13.已知圆x2+y2=26及点A(-3,2)、B(-1,-5)、C(0,5.1)、D(4,-𝟏𝟎)、E(5,0),那么点在圆外,点在圆上,点在圆内.14.已知圆x2+(y-1)2=r2过点(2,1),则圆的面积是.15.圆心是(2,4),且经过点(0,3)的圆的方程是.(4,7)63(6,-3)CB、DA、E4π(x-2)2+(y-4)2=5三、解答题16.求适合下列条件的圆的方程.(1)圆心在C(2,3),半径为7;(2)圆心在P(5,-12),并且过原点O;(3)直径的两端点是A(1,5)、B(-3,5).【解】(1)圆的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=49(2)圆的半径为r=𝟓𝟐+(−𝟏𝟐)𝟐=13∴所求圆的标准方程为(x-5)2+(y+12)2=169(3)圆心为AB的中点(-1,5)半径r=(−𝟏−𝟏)𝟐+(𝟓−𝟓)𝟐=2∴所求图的标准方程为(x+1)2+(y-5)2=4【解】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,∴𝑭=𝟎𝟗+𝟒+𝟑𝑫+𝟐𝑬+𝑭=𝟎𝟏𝟔−𝟒𝑫+𝑭=𝟎⇒𝑫=𝟒𝑬=−𝟐𝟓𝟐,𝑭=𝟎∴圆的方程为x2+y2+4x-𝟐𝟓𝟐y=0.17.已知圆过三点O(0,0),A(3,2),B(-4,0),求圆的标准方程.【解】设圆心为C(a,0),由|AC|=|BC|得(𝒂+𝟏)𝟐+𝟏𝟐=(𝒂−𝟏)𝟐+𝟑𝟐(a+1)2+12=(a-1)2+94a=8a=2∴圆心为(2,0)r=|AC|=𝟑𝟐+𝟏𝟐=𝟏𝟎∴所求圆方程为(x-2)2+y2=1018.求过点A(-1,1),B(1,3)且圆心在x轴上的圆的方程.