2019高职高考数学复习-双曲线(2)

8.7双曲线（2）【复习目标】1.掌握双曲线的几何性质.2.能利用待定系数法和双曲线的几何性质求出双曲线的标准方程.3.能根据有关双曲线的知识解决较简单的应用问题.【知识回顾】双曲线的标准方程和性质:定义M为双曲线上的点||MF1|-|MF2||=2a(02a|F1F2|)焦点位置x轴y轴图形标准方程𝒙𝟐𝒂𝟐-𝒚𝟐𝒃𝟐=1𝒚𝟐𝒂𝟐-𝒙𝟐𝒃𝟐=1参数关系c2=a2+b2(a0,b0)几何性质范围|x|≥a,y∈R|y|≥a,x∈R对称性对称轴:x轴、y轴;对称中心:原点对称轴:x轴、y轴;对称中心:原点焦点F1(-c,0)、F2(c,0)F1(0,-c)、F2(0,c)顶点A1(-a,0)、A2(a,0)A1(0,-a)、A2(0,a)轴长实轴长2a;虚轴长2b实轴长2a;虚轴长2b准线l:x=±𝒂𝟐𝒄l:y=±𝒂𝟐𝒄渐近线y=±𝒃𝒂xy=±𝒂𝒃x离心率e=𝒄𝒂(e1)【说明】学习双曲线的知识,要与椭圆的有关知识进行对比,理解并领会双曲线与椭圆的区别在于双曲线有两个分支,涉及双曲线上的点的问题要考虑在哪一支上,双曲线还增加了渐近线的内容.2.双曲线的焦点到渐近线的距离等于b.【例题精解】【解】将方程25x2-16y2=400化为标准方程得:𝒙𝟐𝟏𝟔-𝒚𝟐𝟐𝟓=1∴a=4,b=5,c=𝟏𝟔+𝟐𝟓=𝟒𝟏,且焦点在x轴上因此,双曲线的实轴长2a=8;虚轴长2b=10;离心率e=𝒄𝒂=𝟒𝟏𝟒;顶点坐标是(±4,0);焦点坐标是(±𝟒𝟏,0);准线方程为x=±𝒂𝟐𝒄=±𝟏𝟔𝟒𝟏=±𝟏𝟔𝟒𝟏𝟒𝟏;渐近线方程是y=±𝒃𝒂x=±𝟓𝟒x.【例1】已知双曲线25x2-16y2=400,求其实轴长,虚轴长,离心率,顶点坐标,焦点坐标,准线方程,渐近线方程.【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)已知双曲线的实轴长为6,离心率为2,焦点在x轴上;(2)实轴长为4𝟓,经过点P(-5,2),焦点在x轴;(3)焦点在x轴,焦距为8,一条渐近线是y=𝟏𝟑x;(4)以椭圆𝒙𝟐𝟖+𝒚𝟐𝟓=1的焦点为顶点,以该椭圆的顶点为焦点.【解】(1)由于焦点在x轴上,设双曲线方程为𝒙𝟐𝒂𝟐-𝒚𝟐𝒃𝟐=1由题意知:2a=6,即a=3,e=2,即𝒄𝒂=2,c=6,b=𝒄𝟐−𝒂𝟐=𝟐𝟕所以所求双曲线方程为𝒙𝟐𝟗-𝒚𝟐𝟐𝟕=1(2)因焦点在x轴上,设双曲线方程为𝒙𝟐𝒂𝟐-𝒚𝟐𝒃𝟐=1由题意知2a=4𝟓,即a=2𝟓将点P(-5,2)的坐标代入所设方程中得:𝟐𝟓𝟐𝟎-𝟒𝒃𝟐=1,得b2=16,所以所求双曲线方程为𝒙𝟐𝟐𝟎-𝒚𝟐𝟏𝟔=1.(3)设所求双曲线方程为:𝒙𝟐𝒂𝟐-𝒚𝟐𝒃𝟐=1由题知:2c=8,即c=4;𝒃𝒂=𝟏𝟑,即a=3b①由c2=a2+b2得:a2+b2=16②解①、②联立方程组得a2=𝟕𝟐𝟓,b2=𝟖𝟓,所以所求双曲线方程为𝟓𝒙𝟐𝟕𝟐-𝟓𝒚𝟐𝟖=1.(4)显然,椭圆的焦点在x轴上,即双曲线的焦点在x轴上,设双曲线方程为𝒙𝟐𝒂𝟐-𝒚𝟐𝒃𝟐=1,由题知椭圆的焦点坐标为(±3,0),长轴上顶点坐标为(±22,0),∴双曲线中:a=𝟑,c=2𝟐,b=𝒄𝟐−𝒂𝟐=𝟓所以所求双曲线方程为𝒙𝟐𝟑-𝒚𝟐𝟓=1.【点评】在求双曲线的标准方程时,要注意双曲线的参数关系c2=a2+b2与椭圆的参数关系a2=b2+c2是不同的,这一点许多同学在解题时易于忘记,另外,双曲线的性质中有渐近线,而渐近线方程又因焦点在不同的坐标轴而形式不同,在解题时要多加注意.【例3】焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为y=𝟐𝟑x,则它的离心率为.【解】因焦点在x轴,渐近线为y=±𝒃𝒂x,结合题意得:𝒃𝒂=𝟐𝟑∴离心率e=𝒄𝒂=𝒂𝟐+𝒃𝟐𝒂𝟐=𝟏+𝒃𝟐𝒂𝟐=𝟏+𝟒𝟗=𝟏𝟑𝟑【点评】巧妙地利用𝒃𝒂与离心率的关系使解题过程简化,也可以通过c2=a2+b2及𝒃𝒂=𝟐𝟑将a与c用b表示出来,再求出离心率,过程较为繁琐.【例4】已知双曲线的一条渐近线方程为y=𝟑𝟐x,且经过点P(8,6𝟑),求双曲线的标准方程.【解】设所求双曲线方程为𝒙𝟐𝟒-𝒚𝟐𝟗=λ(λ≠0),把点P(8,6𝟑)代入上述方程得𝟔𝟒𝟒-𝟏𝟎𝟖𝟗=λ解得λ=4,所以所求的双曲线方程为𝒙𝟐𝟏𝟔-𝒚𝟐𝟑𝟔=1【点评】①若双曲线的渐近线方程是y=±𝑩𝑨x,则双曲线的方程可表示为𝒙𝟐𝑨𝟐-𝒚𝟐𝑩𝟐=λ(λ≠0);②与双曲线𝒙𝟐𝒂𝟐-𝒚𝟐𝒃𝟐=1有相同渐近线的双曲线的方程可表示为𝒙𝟐𝒂𝟐-𝒚𝟐𝒃𝟐=λ(λ≠0).【同步训练】【答案】A一、选择题1.双曲线中,焦点为F1(-3,0),F2(3,0),实半轴a=2,则双曲线的方程是()A.𝒙𝟐𝟒-𝒚𝟐𝟓=1B.𝒚𝟐𝟒-𝒙𝟐𝟓=1C.𝒙𝟐𝟓-𝒚𝟐𝟒=1D.𝒚𝟐𝟓-𝒙𝟐𝟒=1【答案】B222.-11697574A.B.C.D.4453yx双曲线的离心率为【答案】B3.等轴双曲线x2-y2=a2的离心率为()A.2B.𝟐C.1D.𝟐𝟐【答案】D2224.-1,(0)6A.6B.3C.3D.2xyaaa已知双曲线的离心率为2,则【答案】B225.191A.3B.33C.3D.3xyyxyxyxyx双曲线的渐近线方程为【答案】C2222222256.10,,4A.1B.1916916C.1D.1169169xxyyxxyyx焦距是离心率是焦点在轴上的双曲线标准方程式为【答案】B2227.1,41A.(2,2)B.(1,2)C.(0,2)D.(1,2)xyyaaa如果方程表示焦点在轴上的双曲线那么的取值范围是区间【答案】B8.已知点F1(-4,0)、F2(4,0),曲线上的动点P到F1、F2的距离之差为-6,则曲线的方程为()A.𝒙𝟐𝟗-𝒚𝟐𝟕=1(x0)B.𝒙𝟐𝟗-𝒚𝟐𝟕=1(x0)C.𝒚𝟐𝟗-𝒙𝟐𝟕=1(y0)D.𝒚𝟐𝟗-𝒙𝟐𝟕=1(y0)【答案】B9.双曲线经过点P(6,𝟑),渐近线方程为y=±𝒙𝟑,则此双曲线方程为()A.𝒙𝟐𝟏𝟖-𝒚𝟐𝟑=1B.𝒙𝟐𝟗-𝒚𝟐𝟏=1C.𝒙𝟐𝟖𝟏-𝒚𝟐𝟗=1D.𝒙𝟐𝟑𝟔-𝒚𝟐𝟗=1【答案】D222222222210.1,,1664A.96B.160C.80D.24xyyxxyyxxyyx双曲线与椭圆有相同的焦点它的一条渐近线为则双曲线方程为二、填空题11.双曲线的焦点坐标为，，焦距，顶点坐标，，x的取值范围，y的取值范围，实轴长为，虚轴长为，离心率为，渐近线方程为，准线方程为.12.双曲线的焦点坐标为，，焦距，顶点坐标，，x的取值范围，y的取值范围，实轴长为，虚轴长为，离心率为，渐近线方程为，准线方程为.221169xy229yx(5,0)(-5,0)10(4,0)(-4,0)(-∞,-4]∪[4,+∞)R865434yx165x(0,32)(0,32)62(0,3)(0,-3)(-∞,-3]∪[3,+∞)R662yx322y13.双曲线的左焦点到右顶点的距离为.14.若方程表示等轴双曲线，则m=，离心率e=.15.已知双曲线与有相同的渐近线，且过点，则该双曲线的方程为.221169xy22212xymm221188xy(3,25)P922或-12211636yx【解】焦点在y轴,设双曲线方程为𝒚𝟐𝒂𝟐-𝒙𝟐𝒃𝟐=1(a0,b0)由题意得b=1,c=2,a2=c2-b2=3所以所求双曲线方程为𝒚𝟐𝟑-x2=1,渐近线方程为y=±𝟑x三、解答题16.已知双曲线的虚轴长是2,焦点坐标分别是(0,-2)和(0,2),求此双曲线方程及渐近线方程.【解】椭圆中c=𝟒𝟗−𝟐𝟒=5,即双曲线的焦点为(±5,0)则𝒃𝒂=𝟒𝟑𝒂𝟐+𝒃𝟐=𝟐𝟓解得𝒂𝟐=𝟗𝒃𝟐=𝟏𝟔所求双曲线方程为𝒙𝟐𝟗-𝒚𝟐𝟏𝟔=117.已知双曲线与椭圆𝒙𝟐𝟒𝟗+𝒚𝟐𝟐𝟒=1有公共焦点,且以y=±𝟒𝟑x为渐近线,求双曲线方程.22118.-14124.xyFABAB过双曲线右焦点作倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，求线段的长度222112221212,4,12,41216,4,(4,0),tan1,(4,0)401(4),4,414124140,4,abccFkFyxAByxyxxxybxxxxxxa【解】双曲线中右焦点为直线的斜率为因为直线过右焦点，所以由直线的点斜式方程得即直线的方程为①建立方程组得，把①代入②化成关于的一元②二次方程得由韦达定理得2222121214||1()411(4)4(14)12.caABkxxxx弦长