2019高职高考数学复习-直线的方程

第八章平面解析几何【考试内容】1.曲线与方程;曲线的交点.2.直线方程.3.圆的标准方程和一般方程;圆的参数方程.4.椭圆、双曲线和抛物线的标准方程及其几何性质.【考纲要求】1.理解曲线与方程的对应关系;掌握求曲线交点的方法.2.理解直线的方向向量与直线的点向式方程、直线的法向量与直线的点法式方程、直线的斜率与直线的点斜式方程、直线方程的一般式，能根据条件求出直线方程.3.理解两条直线的交点和夹角的求法;理解两条直线的平行条件和垂直条件;理解点到直线的距离公式.4.掌握圆的标准方程和一般方程;了解圆的参数方程.5.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.6.理解椭圆的标准方程和性质，了解双曲线和抛物线的标准方程和性质【知识结构】8.1直线的方程【复习目标】1.理解直线的方向向量、法向量.2.理解直线的倾斜角、斜率的概念,会求直线的倾斜角和斜率.3.掌握直线方程的几种形式,会根据条件求直线的方程.【知识回顾】1.与直线有关的向量(1)方向向量:如果一个非零向量v所在的直线与直线l平行,则称v是l的一个方向向量.(2)法向量:如果一个非零向量n所在的直线与直线l垂直,则称n是l的一个法向量.【说明】一条直线的方向向量不只一个,一条直线的法向量也不只一个.显然v·n=0.2.直线的倾斜角和斜率(1)直线的倾斜角:一条直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角α,称为直线的倾斜角.规定:当l∥x轴时,α=0.倾斜角的范围是:0≤απ.(2)直线的斜率:若α为直线l的倾斜角,当α≠𝝅𝟐时,将tanα叫做直线的斜率,记作:k=tanα;当α=𝝅𝟐,直线的斜率不存在.(3)斜率的计算公式:①如果α(α≠𝝅𝟐)为直线的倾斜角，则k=tanα;②如果v=(v1,v2)为直线的一个方向向量,且v1≠0,则k=𝒗𝟐𝒗𝟏;③如果n=(A,B)为直线的一个法向量,且B≠0,则k=-𝑨𝑩;④如果M(x1,y1),N(x2,y2)是直线上的两个点,且x2≠x1,则k=𝒚𝟐−𝒚𝟏𝒙𝟐−𝒙𝟏.3.直线的方程(1)直线方程一览表名称已知条件直线方程说明点向式直线l上一点P(x0,y0)方向向量v=(v1,v2)v2(x-x0)-v1(y-y0)=0𝒙−𝒙𝟎𝒗𝟏=𝒚−𝒚𝟎𝒗𝟐上式可表示任何直线下式不能表示平行于x、y轴的直线点法式直线l上一点P(x0,y0)法向量n=(A,B)A(x-x0)+B(y-y0)=0可表示任何直线点斜式直线l上一点P(x0,y0)斜率ky-y0=k(x-x0)不能表示平行于y轴的直线(即斜率不存在)斜截式直线的斜率k直线在y轴上的截距by=kx+b不能表示平行于y轴的直线(即斜率不存在)截距式直线在x轴上的截距a直线在y轴上的截距b𝒙𝒂+𝒚𝒃=1(a≠0且b≠0)不能表示平行于x、y轴的直线和过原点的直线一般式Ax+By+C=0(A、B不同时为零)可表示任何直线(2)特殊的直线方程:①平行于y轴的直线方程:x=x0;②平行于x轴的直线方程:y=y0;③过原点的直线方程:y=kx.【例题精解】【分析】根据k=tanα及0≤απ,即可唯一确定倾斜角.【解】由直线方程知k=-𝟑𝟑,由tanα=-𝟑𝟑及0≤απ得:α=𝟓𝝅𝟔【例1】直线x+𝟑y+1=0的倾斜角为()A.𝝅𝟔B.𝝅𝟑C.𝟓𝝅𝟔D.-𝝅𝟔【例2】过点P(1,2)且与向量n=(3,4)垂直的直线方程是()A.3x-4y+5=0B.3x+4y-11=0C.3x+4y-5=0D.4x-3y+2=0【解】由直线方程的点法式得:3(x-1)+4(y-2)=0化一般式得:3x+4y-11=0选B【点评】此题作为选择题,还可以先排除A、D,再代点P(1,2)检验得答案B.【例3】已知ab0,bc0,直线ax+by+c=0通过哪几个象限?【解】ab0,b≠0,将直线方程ax+by+c=0化为y=-𝒂𝒃x-𝒄𝒃由ab0知𝒂𝒃0,即直线的斜率k=-𝒂𝒃0由bc0知𝒄𝒃0,即直线在y轴上的截距-𝒄𝒃0由以上所述可画出如右图的图形,可知直线通过第一、二、三象限.【点评】数形结合是一种重要的数学思想方法,在解析几何中使用更为广泛,它可以使定性的问题直观化.在解题时要注意这一点.【分析】求直线方程必须知道直线上的一点,这点可选线段AB的中点,另外,可取𝑨𝑩→作为线段AB的垂直平分线的法向量,从而可根据点法式写出该直线的方程.【解】线段AB的中点为(-2,2),𝑨𝑩→=(-6,-2)即线段AB的垂直平分线过点(-2,2),法向量n=(-6,-2)由直线的点法向式方程,得:-6(x+2)-2(y-2)=0化简即得线段AB的垂直平分线方程:3x+y+4=0【点评】此题也可求出线段AB的斜率,利用垂直关系求出所求直线的斜率,由点斜式求直线方程;也可求出𝑨𝑩→,利用垂直关系求出所求直线的方向向量,由点向式求直线方程;但都不及点法式直接.【例4】已知点A(1,3),B(-5,1),求线段AB的垂直平分线方程.【答案】D一、选择题1.下列各点中,不在直线2x-y+3=0上的点是()A.(-1,1)B.(-2,-1)C.(-5,-7)D.(-3,3)【同步训练】【答案】D2.直线3x-2y+6=0不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B3.若直线经过点A(3,2)和点B(0,-1)，则直线的斜率为()A.0B.1C.3D.不存在【答案】B4.直线6x+2y+1=0的斜率为()A.6B.-3C.3D.2【答案】A5.若直线l的倾斜角是120°,且该直线过点(1,k)和(-2,0),则k=()A.-3𝟑B.3𝟑C.-𝟑D.𝟑【答案】A6.若直线l过点(𝟑,-3),且倾斜角为30°,则直线l的方程为()A.y=𝟑𝟑x-4B.y=𝟑𝟑x+2C.y=𝟑x-6D.y=𝟑x+4𝟑【答案】A7.过点(2,3)且垂直于向量(3,-4)的直线方程是()A.3x-4y+6=0B.4x+3y-17=0C.3x+4y-18=0D.4x-3y+1=0【答案】C38.(0,2)233A.2(0)B.(2)2233C.2D.222yPyxyxyxyx斜率为，与轴的焦点为的直线的斜截式方程为【答案】C9.经过点A(2,3)和B(4,7)的直线方程是()A.2x+y-7=0B.2x-y+1=0C.2x-y-1=0D.x-2y+4=0【答案】A10.已知直线l方程为2x-5y+10=0,且在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则|a+b|=()A.3B.7C.10D.5二、填空题11.经过点(4,2)，倾斜角为0°的直线方程是，经过点(-5,0)，倾斜角为90°的直线方程是.12.已知直线y+1=3x-2，斜率为，在x轴上的截距为，在y轴上的截距为.13.过点A(x,4)和B(-2,x)的直线的斜率为1，则x的值是.14.直线mx+2y-n=0的斜率是，在y轴上的截距是-4，则m=，n=.15.直线l1的斜率k1=，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则直线l2的斜率k2=.3212y=2x=-531-313-84316.分别写出下列直线的一个方向向量、一个法向量、斜率、倾斜角、在坐标轴上的截距.(1)𝟑x+y-1=0(2)y-2=0(3)x+3=0(4)y=x-1【解】(1)法向量n=(𝟑,1);方向向量v=(1,-𝟑)斜率k=-𝟑;α=120a=𝟑𝟑,b=1(2)方向向量v=(1,0);法向量n=(0,1)斜率k=0;α=0°a不存在,b=2(3)方向向量v=(0,1);法向量n=(1,0)k不存在;α=90°a=-3,b不存在(4)方向向量v=(1,1);法向量n=(1,-1)k=1;α=45°a=1,b=-1三、解答题17.求适合下列条件的直线方程.(1)过点(1,3),一个方向向量v=(-2,3);(2)过点(2,1),(0,3);(3)过点(1,4),平行于x轴;(4)已知点A(-3,2),B(1,-4),线段AB的垂直平分线.【解】(1)由点向式得:3(x-1)+2(y-3)=0即3x+2y-9=0(2)由两点式得:𝒙−𝟐𝟎−𝟐=𝒚−𝟏𝟑−𝟏即x+y-3=0(3)过点(1,4)平行于x轴的直线方程为y=4.(4)AB的中点为P(-1,-1)所求直线的法向量为:n=𝑨𝑩→=(4,-6)∴所求直线方程为:4(x+1)-6(y+1)=0即2x-3y-1=018.已知直线l的斜率k=𝟐𝟑,且与两坐标轴围成的三角形面积为3,求直线l的方程.【解】设直线方程为y=𝟐𝟑x+b,则当x=0时,y=b;当y=0时,x=-𝟑𝟐b;∴面积S=𝟏𝟐|b|·|-𝟑𝟐b|=3,∴b2=4,b=±2,∴直线方程为y=𝟐𝟑x+2或y=𝟐𝟑x-2