2019高职高考数学复习-双曲线(1)

8.7双曲线（1）【复习目标】1.理解并掌握双曲线的定义,理解双曲线的第二定义.2.掌握双曲线的标准方程.3.能掌握a、b、c之间的关系,会由其中的两个求出第三个.4.能根据a、b、c的值写出双曲线的标准方程.5.会运用定义法、待定系数法和数形结合等方法解题.【知识回顾】1.定义:平面内,与定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(大于0小于|F1F2|)的点轨迹叫做双曲线.定点F1、F2叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.第二定义:平面内,与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e(e1)的点的轨迹叫做双曲线.定点叫做双曲线的一个焦点,定直线叫做与该焦点对应的准线(双曲线有两个焦点和两条准线).常数e叫双曲线的离心率.【说明】在第一定义中,必须强调差的绝对值(记为2a),不但要小于|F1F2|(记为2c),且要大于零,当2a=2c时,轨迹是两条射线;当2a2c时,轨迹不存在.在第二定义中要注意点F不在直线l上否则轨迹是两条相交直线;若已知双曲线的焦点和准线时,必须说明是否为对应焦点和准线,否则不符合第二定义中的条件.定义M为双曲线上的点||MF1|-|MF2||=2a(02a|F1F2|)焦点位置x轴y轴图形标准方程焦点坐标F1(-c,0)、F2(c,0)F1(0,-c)、F2(0,c)参数关系c2=a2+b2(a0,b0)2.双曲线的标准方程22221xyab22221yxab3.双曲线标准方程的再认识(1)双曲线标准方程的形式:左边是两个分式的平方差,右边是1.(2)双曲线的标准方程中三个参数a、b、c满足c2=a2+b2.(3)双曲线的标准方程中,a0、b0,但a不一定大于b;且当a=b时,称为等轴双曲线.(4)双曲线的标准方程中,如果x2的系数为正,则焦点在x轴上;如果y2的系数为正,则焦点在y轴上.(5)双曲线的标准方程是由三个参数a、b、c及焦点位置唯一确定,即只要知道三个参数a、b、c的值,就可以写出双曲线的标准方程.【例题精解】【解】(1)由已知得a2=16,b2=9,双曲线的焦点在x轴上,c2=16+9=25因此c=5,焦点坐标为F1(-5,0),F2(5,0),焦距2c=10(2)双曲线方程化为标准方程得y2-𝒙𝟐𝟖=1,由已知得a2=1,b2=8,双曲线的焦点在y轴上,c2=1+8=9因此c=3,焦点坐标为F1(0,-3),F2(0,3),焦距2c=6【例1】指出下列双曲线的焦点和焦距.(1)𝒙𝟐𝟏𝟔-𝒚𝟐𝟗=1(2)x2-8y2=-8【例2】设P是双曲线𝒙𝟐𝟏𝟔-𝒚𝟐𝟗=1上的一点,已知P到双曲线的较远一个焦点的距离等于10,则P到另一个焦点的距离等于()A.2B.18C.20D.2或18【解】由双曲线标准方程知:a=4,b=3由双曲线定义知:双曲线的点到两焦点的距离的差的绝对值是2a题中点P到较远的焦点距离为10,设到较近焦点的距离为d，则10-d=2a，即10-d=8，解得d=2.另:此题为选择题,由双曲线定义,到另一焦点的距离较小,选项中只有A小,选A.【例3】求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)a=4,b=1,焦点在x轴;(2)a=2,c=4,焦点在y轴;(3)b=1,焦点为F1(0,-3),F2(0,3);(4)焦点在y轴,通过点(2,2),(4,3);(5)焦点在x轴上,焦距为20,经过点P(8,𝟖𝟕𝟑).【解】(1)由于焦点在x轴上,且a=4,b=1,因此所求双曲线的方程为𝒙𝟐𝟏𝟔-y2=1(2)由于焦点在y轴上,设双曲线的方程为𝒚𝟐𝒂𝟐-𝒙𝟐𝒃𝟐=1(a0,b0)由题意得,b2=c2-a2=16-4=12，所以所求双曲线的方程为𝒚𝟐𝟒-𝒙𝟐𝟏𝟐=1.(3)由焦点坐标知焦点在y轴上,设双曲线方程为𝒚𝟐𝒂𝟐-𝒙𝟐𝒃𝟐=1(a0,b0)c=3,a2=c2-b2=9-1=8,所求双曲线的方程为𝒚𝟐𝟖-x2=1.(4)因焦点在y轴上,设双曲线方程为𝒚𝟐𝒂𝟐-𝒙𝟐𝒃𝟐=1将(2,2),(4,3)分别代入所设方程中得:𝟒𝒂𝟐−𝟒𝒃𝟐=𝟏①𝟗𝒂𝟐−𝟏𝟔𝒃𝟐=𝟏②令𝟏𝒂𝟐=A,𝟏𝒃𝟐=B,则上面方程组变为:𝟒𝑨−𝟒𝑩=𝟏𝟗𝑨−𝟏𝟔𝑩=𝟏解之得:A=𝟑𝟕,B=𝟓𝟐𝟖,所以所求双曲线的方程为:𝟑𝒚𝟐𝟕-𝟓𝒙𝟐𝟐𝟖=1.(5)由于焦点在x轴上,设双曲线的方程为𝒙𝟐𝒂𝟐-𝒚𝟐𝒃𝟐=1(a0,b0)由题意知2c=20,即c=10,a2+b2=100①将点P(8,𝟖𝟕𝟑)坐标代入所设方程得𝟔𝟒𝒂𝟐-𝟒𝟒𝟖𝟗𝒃𝟐=1②解①、②联立方程组得a2=36,b2=64所求双曲线的方程为𝒙𝟐𝟑𝟔-𝒚𝟐𝟔𝟒=1.【点评】在求双曲线的标准方程时,要注意双曲线的参数关系c2=a2+b2与椭圆的参数关系a2=b2+c2是不同的,这一点许多同学在解题时易于忘记,在解题时要多加注意.【例4】已知双曲线方程为𝒙𝟐𝒎−𝟏+𝒚𝟐𝒎+𝟑=1,则m的取值范围是区间.【分析】此题将双曲线的定义隐藏在标准方程中.双曲线的标准方程中,各部分都以平方的形式出现,且一正一负.而此题分母中是以一次式出现的,只要m-1、m+3异号即可.【解】由分析知:(m-1)(m+3)0,解不等式得:-3m1∴m的取值范围是(-3,1)【例5】设双曲线𝒙𝟐𝟗-𝒚𝟐𝟏𝟔=1的焦点分别为F1、F2,过F1的直线与双曲线左支交于A,B两点,且|AB|=12,求△ABF2的周长.【解】△ABF2的周长看作三条线段|AB|、|AF2|、|BF2|的和,根据双曲线的定义得|AF2|-|AF1|=2a=6①|BF2|-|BF1|=2a=6②①+②得|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=12即|AF2|+|BF2|=12+(|AF1|+|BF1|)=12+12=24所以周长L=|AF2|+|BF2|+|AB|=12+24=36【点评】利用双曲线的定义解有关双曲线问题是最基本也是最重要的方法,这一点要加以重视.【同步训练】【答案】D一、选择题1.方程x2-y2=-1表示()A.焦点在x轴的双曲线B.圆C.两条直线D.焦点在y轴的双曲线【答案】D222.-1169A.7B.5C.27D.10xy双曲线的焦距为【答案】C223.-197A.(-2,0),(2,0)B.(0,-2),(0,2)C.(0,-4),(0,4)D.(-4,0),(4,0)yx双曲线的焦点坐标是【答案】B4.已知双曲线上有一点到两个焦点(-2,0)、(2,0)的距离之差的绝对值是2,那么此双曲线方程是()A.𝒙𝟐𝟑-y2=1B.x2-𝒚𝟐𝟑=1C.𝒙𝟐𝟑-y2=-1D.x2-𝒚𝟐𝟑=-1【答案】D5.在双曲线的标准方程中,已知a=6,b=8,则方程是()A.𝒙𝟐𝟑𝟔-𝒚𝟐𝟔𝟒=1B.𝒙𝟐𝟔𝟒-𝒚𝟐𝟑𝟔=1C.𝒚𝟐𝟑𝟔-𝒙𝟐𝟔𝟒=1D.𝒙𝟐𝟑𝟔-𝒚𝟐𝟔𝟒=1或𝒚𝟐𝟑𝟔-𝒙𝟐𝟔𝟒=1【答案】C22226.-1(-2,0),2A.4B.6C.2D.4-2xybb若双曲线的一个焦点坐标是则【答案】D2212127.-16436||19||A.35B.3C.303D.335xyPFFPFPF是双曲线上的一点，和是双曲线的两个焦点，已知，那么或或【答案】C228.132A.{|2}B.{|3}C.{|23}D.{|2}xyyaaaaaaaaaaa方程表示焦点在轴上的双曲线，那么实数的取值范围是【答案】A9.若双曲线𝒙𝟐𝒂𝟐-𝒚𝟐𝟓=1与椭圆𝒙𝟐𝟐𝟓+𝒚𝟐𝟏𝟔=1有共同的焦点,且a0,则a为()A.2B.𝟏𝟒C.𝟒𝟔D.6【答案】A10.已知点F1(-4,0)、F2(4,0),曲线上的动点P到F1、F2的距离之差为6,则曲线的方程为()A.𝒙𝟐𝟗-𝒚𝟐𝟕=1(x0)B.𝒙𝟐𝟗-𝒚𝟐𝟕=1C.𝒚𝟐𝟗-𝒙𝟐𝟕=1(y0)D.𝒚𝟐𝟗-𝒙𝟐𝟕=1122222121211.(4,0),(4,0)612.,14,613.11442512,14.16,,||||15.MFFMyaxyPPPxyFFPFPFx二、填空题设动点到两个定点的距离之差的绝对值等于，则动点的轨迹方程为焦点在轴上焦距等于的双曲线的标准方程是双曲线上任一点到此双曲线距离较近的一个焦点的距离是则点到另一个焦点的距离是是双曲线左支上一点、分别是左、右焦点则已知方程221,11ykkk表示双曲线则的取值范围是22195xy2213613yx36-8{k|-1k1}三、解答题16.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)b=1,经过点(𝟑,0),焦点在x轴上;(2)2a=8,c+b=8.【解】(1)由于焦点在x轴上,设双曲线的方程为𝒙𝟐𝒂𝟐-𝒚𝟐𝒃𝟐=1(a0,b0)把点(𝟑,0)和b=1代入上述方程得𝟑𝒂𝟐-𝟎𝟏=1得a2=3,所求方程为𝒙𝟐𝟑-y2=1(2)由已知得a=4,即c2-b2=16①又因为c+b=8②①、②联立方程组解得c=5,b=3,a2=25-9=16所求方程为𝒙𝟐𝟏𝟔-𝒚𝟐𝟗=1或𝒚𝟐𝟏𝟔-𝒙𝟐𝟗=1【解】椭圆中,长轴顶点为(±4,0)∴双曲线中c=4,a=2𝟑,b2=16-12=4焦点在x轴上,所求方程为𝒙𝟐𝟏𝟐-𝒚𝟐𝟒=117.求以椭圆𝒙𝟐𝟏𝟔+𝒚𝟐𝟒=1的长轴顶点为焦点,且a=2𝟑的双曲线方程.【解】(1)𝟓𝒎−𝟔𝟎𝒎−𝟐𝟎𝟓𝒎−𝟔≠𝒎−𝟐解得𝟔𝟓m2且m≠𝟒𝟑(2)(5m-6)(m-2)0,解得m𝟔𝟓或m218.已知曲线方程为𝒚𝟐𝟓𝒎−𝟔-𝒙𝟐𝒎−𝟐=1,(1)当曲线为椭圆时,求m的取值范围;(2)当曲线为双曲线时,求m的取值范围.