-24.2.1 点和圆的位置关系(新人教版)

第二十四章圆24.2点和圆、直线和圆的位置关系第1课时点和圆的位置关系1课堂讲解点与圆的位置关系确定圆的条件三角形的外接圆反证法2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为祖国赢得荣誉．你知道运动员的成绩是如何计算的吗？1知识点点与圆的位置关系探究：1.请你在练习本上画一个圆，然后任意做一些点，观察这些点和圆的位置关系.2.量一量这些点到圆心的距离，你发现了什么？知1－导知1－导设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外d＞r；点P在圆上d=r；点P在圆内d＜r.（来自教材）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.例1已知⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线l的距离d＝OD＝3cm，在直线l上有P，Q，R三点，且有PD＝4cm，QD＝5cm，RD＝3cm，那么P，Q，R三点与⊙O的位置关系各是怎样的？要判断点和圆的位置关系，实质上是要比较点到圆心的距离与半径的大小，而半径为已知量，即需求出相关点到圆心的距离．知1－讲导引：解：如图，连接OR，OP，OQ.∵PD＝4cm，OD＝3cm，且OD⊥l，∴点P在⊙O上；∵QD＝5cm，∴点Q在⊙O外；∵RD＝3cm，∴点R在⊙O内．知1－讲2222435(cm),OPPDODr22225334(cm)5cm=,OQQDODr＞22223332(cm)5cm=,ORRDODr＜总结知1－讲判断点和圆的位置关系，关键是计算出点到圆心的距离，再与圆的半径比较大小，由数量关系决定位置关系；构造直角三角形并运用勾股定理是求距离的常用辅助方法．1(湘西州)⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与圆O的位置关系为()A．点A在圆上B．点A在圆内C．点A在圆外D．无法确定知1－练B2体育课上，小明和小丽的铅球成绩分别是6.4m和5.1m，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？知1－练（来自教材）略2知识点确定圆的条件知2－导1.过一个已知点A如何作圆？2.过点A所作圆的圆心在哪里？半径多大？可以作几个这样的圆？探究（一）A知2－导1.过已知两点A、B如何作圆？2.圆心A、B两点的距离怎样？能用式子表示吗？圆心在哪里？过点A、B两点的圆有几个？探究（二）AB探究（三）知2－导过同一平面内三个点情况会怎样呢？1.不在同一直线上的三点A、B、C.定理：过不在同一直线上的三点确定一个圆.2.过在同一直线上的三点A、B、C可以作几个圆？不能作出OABCDEFG例2如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这4个点中的任意3个点，能画圆的个数是()A．1B．2C．3D．4在4个点中取3个点确定一个圆，关键是这3个点要不在同一直线上，因此本题的实质是在A，B，C中找2个点与点D确定圆．根据题意得出：点D，A，B；点D，A，C；点D，B，C可以分别确定一个圆．故过这4个点中的任意3个点，能画圆的个数是3.故选C.知2－讲C导引：总结知2－讲确定一个圆的条件：(1)已知圆心、半径，可以确定一个圆．(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆．知3－导3知识点三角形的外接圆试一试：任意画一个三角形，然后再画出经过三个顶点的圆.ABCO知3－导（来自教材）经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．例3如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，求⊙O的半径．知3－讲导引：要求⊙O的半径，已知弦AB的长，需以AB为边与⊙O的半径(或直径)构成等腰直角三角形，因此有两个切入点．方法一：如图1，连接OA，OB，利用圆周角定理可得∠AOB＝2∠C＝90°，再利用勾股定理求出半径；方法二：如图2，作直径AD，连接BD，利用同弧所对的圆周角相等，得∠D＝∠C＝45°，再利用勾股定理可求出半径．知3－讲解：方法一：如图1，连接OA，OB，设⊙O的半径为r，∵∠C＝45°，∴∠AOB＝2∠C＝90°.∴OA2＋OB2＝AB2，即r2＋r2＝42.解得r1＝2，r2＝－2(不符合题意，舍去)．∴⊙O的半径为2.222图1知3－讲方法二：如图2，作直径AD，连接BD，设⊙O的半径为r.∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD＝90°.又∵∠D＝∠C＝45°，∴∠DAB＝45°，∴BD＝AB＝4.在Rt△ABD中，AB2＋BD2＝AD2，即42＋42＝(2r)2，解得r1＝2，r2＝－2(不符合题意，舍去)．∴⊙O的半径为2.222图2总结知3－讲求三角形的外接圆半径时，最常用的办法是作出圆心与三角形顶点的连线(即半径)，延长使这条半径变为直径，将求半径转化为直角三角形中求边的长．1下列说法中，正确的是()A．三点确定一个圆B．圆有且只有一个内接三角形C．三角形的外心到三角形三边的距离相等D．三角形有且只有一个外接圆知3－练D4知识点反证法知4－导思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？如图，假设经过同一条直线l上的A,B,C三点可以作一个圆.设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l，这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆.知4－导归纳上面证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立（即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法.（来自教材）例4用反证法证明平行线的性质“两直线平行，同位角相等”.如图，我们要证明：如果AB∥CD,那么∠1=∠2.假设∠1≠∠2，过点O作直线A′B′，使∠EOB′=∠2.根据“同位角相等，两直线平行”，可得A′B′∥CD.这样，过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于CD，这与平行公理“过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”矛盾.这说明假设∠1≠∠2不正确，从而∠1=∠2.知4－讲证明：总结知4－讲(1)反证法适用情形：①命题的结论的表述为“肯定”或“否定”，且用直接法证较困难；②证明一个定理的逆命题，用直接法证较困难．使用反证法的前提条件是“结论”的反面可列举出来．(2)反证法使用要经历：反设→归谬→结论这三步，反设是推理归纳的已知条件，即把反设作为已知条件进行推理；归谬是关键，是反证法的核心，其作用是：从命题结论的反面出发，推出与已知事理(定义、公理、定理、已知条件)矛盾；最后说明假设不成立，原结论成立．知4－练1用反证法证明命题“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O的外部”，应先假设___________________________．点P在⊙O上或点P在⊙O内部1.点和圆的三种位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则2.过一点可以作无数个圆.3.过两点可以作无数个圆.圆心在以已知两点为端点的线段的垂直平分线上.4.过三点5.反证法的证明思想：反设、归谬、结论.=PdrPdrPdr点在圆外＞点在圆上点在圆内＜过不在同一条直线上的三点确定一个圆过在同一直线上的三点不能作圆必做:完成教材P95练习T1P101-P102T1、T7、T8、T9