平面向量的数量积坐标表示

向量数量积的坐标运算与度量公式长春市九台区实验高中数学组【问题1】平面向量数量积是如何定义的？a·b=|a||b|cosa,b【问题2】两个向量数量积有什么重要性质？（1）如果e是单位向量e·a=a·e=|a|cosa,e（2）两个向量垂直的条件a⊥ba·b=0（4）cosa,bbab·a（5）|a·b|≤|a||b|（3）a·a=|a|2或|a|==a·a2a【问题3】平面向量数量积满足哪些运算律？a·b=b·a(a+b)·c=a·c+b·c(a)·b=(a·b)=a·(b)你还记得它们是如何推导出来的吗？【问题4】若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，那么a+b，a–b和a是如何用坐标表示的？a+b=(x1+x2,y1+y2)a-b=(x1–x2,y1-y2)a=(x1,y1)利用平面向量基本定理，把向量表示成基底形式.向量的加法、减法和数乘运算都可以用坐标来表示，那么向量的数量积能否用坐标来表示呢？已知a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，怎样用a、b的坐标表示a·b呢？知识支持平面向量基本定理、向量坐标定义、向量的直角坐标运算、数量积的运算律1e2exoB(x2,y2)A(x1,y1)aby设i1、j2分别为与x轴和y轴方向相同的单位向量，建立正交基底{i,j}，已知a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则所以，我们得到数量积的坐标表达式a·b=x1x1+y2y2两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？知识支持两个向量垂直的条件a⊥ba·b=0已知两个非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，如果a⊥b，如果x1y1+x2y2=0；则a⊥b.a⊥bx1y1+x2y2=0反之呢？则x1y1+x2y2=0注意记忆向量垂直与平行的坐标表示的区别.a⊥bx1x1+y2y2=0a//bx1y2-x2y1=0判断：向量(-x2,x1)与(x1,x2)是否垂直？那么向量k(-x2,x1)与向量(x1,x2)呢？例如：向量(3,4)与向量____，____，____……都垂直.a⊥bx1y1+x2y2=0能否利用向量坐标表示向量长度的计算公式？设a=(x1,y2)，则a·a=.知识支持a·a=|a|2或|a|==a·a2ax12+y12向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根2211axy若A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB=.则AB的长，即A、B两点间的距离为(x2–x1,y2–y1)212212yyxxAB能否推出两个向量夹角余弦的坐标表达式？知识支持cosa,bbab·a已知两个非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则向量a、b夹角余弦的坐标表达式为：cosa,b=121222221122xxyyxyxy【例1】设a=(3,-1)，b=(1,-2)，求：ab，|a|，|b|和a,b.解：ab=(3,-1)(1,-2)=3+2=5|a|=223(1)10aa|b|=221(2)5bb所以a,b=4cosa,bbab·a225105【变式练习】已知a=(2,3)，b=(–2,4)，求:(a+b)·(a–b)方法1：a+b=(0,7)，a–b=(4,–1)∴(a+b)·(a–b)=0×4+7×(–1)=–7方法2：(a+b)·(a–b)=a2–b2=|a|2+|b|2=13–20=–7【例2】已知A(1,2)，B(2,3)，C(–2,5)，试判断ABC的形状，并给出证明.【思考】改变顶点坐标，ABC可能的形状有哪些？可以证明吗?证明：∵AB=(2–1,3–2)=(1,1)AC=(–2–1,5–2)=(–3,3)∴ABAC=1×(–3)+1×3=0∴AB⊥AC∴三角形ABC是直角三角形x0yA(1,2)B(2,3)C(-2,5)【例3】已知点A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)，试求∠BAC的正弦值.证明：∵AB=(3–1,4–2)=(2,2)AC=(5–1,0–2)=(4,–2)82222AB202422AC10110442082422),(),(ACABACABBACcos10103)101(1sin:2BAC因此平面向量数量积的坐标表示以及运用平面向量数量积性质的坐标表示解决有关垂直、长度、角度等几何问题。a·b=a1b1+a2b2两向量数量积的坐标表示：两向量垂直的充要条件的坐标表示：a⊥ba1b1+a2b2=0向量的长度（模）：212212)()(yyxxAB两向量的夹角：2221aaacosa,b=222122212211bbaababa和向量夹角有关问题(1,2),(3,4),(2,0),(3,3),ABCDABCD例题：已知点则向量在向量上的投影是多少(2,),(4,5),axbabx练习1、已知向量若，的夹角为钝角，求的取值范围(2,1),(,1).abab2、设若与的夹角为锐角求的取值范围0||=2,||=3,+bababaab已知与的夹角为45，求使与的夹角为钝角时，的取值范围练习平面向量数量积的坐标表示以及运用平面向量数量积性质的坐标表示解决有关垂直、长度、角度等几何问题。向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，有关长度、角度和垂直的问题可以利用数量积的坐标运算来解决。本节课采用了类比思想；向量数量积运算的代数化，体现了数形结合的思想方法。1.课后梳理所学新知，完成课堂反思.2.完成教材114页练习A第1、2、3题.3.学有余力的同学完成练习B第3、4题.【课后思考】已知点A(a,b)与点A’(b,a)，求证直线y=x是线段AA’的垂直平分线.证明：设线段AA’的中点是M(x,y)，依据中点公式，有,22abbaxy由此得x=y，点M在直线y=x上，在直线y=x上任取一点P(x,x)，(,)OPxx'()()0OPAAxbaxab所以'OPAA因此，直线y=x是线段AA’的垂直平分线.