有限元法

有限元法FiniteElementMethod主要内容•有限元法的基本概念•有限元法的分类•有限元法的求解步骤（重点）•常用有限元软件简介随着生产的发展，不断要求设计高质量、高水平的大型、复杂和精密的机械和工程结构。在产品加工中，在分析产品性能过程中，往往需要了解产品在承受载荷的情况下的应变与位移、温度场、流场、磁场的分布情况等，从而为产品的性能设计提供依据。蓄水后大坝的位移与应变情况、地震时大坝的位移与应变情况等三峡大坝的受力情况航天飞机飞行中的受热分析温度场分布导弹、飞机飞行的流体动力学分析流场分布磁场分布分析卫星、飞船在轨运行时磁场的影响传统方法在处理这类问题时，往往要对一个实际的物理系统作出多种假设，比如形状假设、连续性假设、物体的各项同性假设，然后通过经典理论方法得出问题的解析解，这种解析解从形式上看，可以得出关于实际问题的连续解，比如用方程描述三峡大坝每一点的位移和应变，但这样的解析解往往和实际情况有比较大的偏差。这对于精度要求不高的领域是可以的，但对于有些领域，就不能满足实际的需要了。同时，实际中常常要遇到一些几何上复杂、不规则边界、有裂缝或厚度突变以及几何非线性、材料非线性的物理系统，对这些系统经典理论解决起来相当困难，有时甚至无法解决，也就是无法求得解析解。因此，寻求离散数值分析法就成了必由之路。常用的数值分析法有两种：差分法和有限元法。差分法是在传统方法的基础上，将传统方法建立的微分方程中的微分dx、dy、dz变成差分Δx，Δy，Δz，从而把微分方程变成代数方程，用一步步迭代的方法，逐步求出物理系统中各个离散点的物理量，用差分离散解代替连续解。这种方法要求能建立微分方程，并能给出边界条件的数学表达式，因此，对于一些不规则的几何形状和不规则的特殊边界条件难以应用。一、有限元法的基本概念1.什么是有限元法我们实际要处理的对象都是连续体，在传统设计思维和方法中，是通过一些理想化的假定后，建立一组偏微分方程及其相应的边界条件，从而求出在连续体上任一点上未知量的值。因为点是无限多的，存在无限自由度的问题，很难直接求解这种偏微分方程用来解决实际工程问题，因此需要采用近似方法来处理。其中最主要的是离散化方法，把问题归结为只求有限个离散点的数值，把无限自由度问题变成有限个自由度。把一个连续体分割成有限个单元，即把一个复杂的结构看成由有限个通过节点相连的单元组成的整体，先进行单元分析，然后再把这些单元组合起来代表原来的结构，以得到复杂问题的近似数值解。这种方法称为有限元法（TheFiniteElementMethod）。有限元法是一种以计算机为手段，通过离散化将研究对象变换成一个与原始结构近似的数学模型，再经过一系列规范化的步骤以求解应力、应变、位移等参数的数值计算方法。所谓离散化就是将一个连续体分割成若干个通过节点相连的单元，这样一个有无限个自由度的结构就变换成一个具有有限个自由度的近似结构。该过程还包括对单元和节点进行编码以及局部坐标系和整体坐标系的确定。2.几个基本概念1）单元（element）将求解的工程结构看成是由许多小的、彼此用点联结的基本构件如杆、梁、板和壳组成的，这些基本构件称为单元。在有限元法中，单元用一组节点间相互作用的数值和矩阵（刚度系数矩阵）来描述。单元具有以下特征：每一个单元都有确定的方程来描述在一定载荷下的响应；模型中所有单元响应的“和”给出了设计的总体响应；单元中未知量的个数是有限的，因此称为“有限单元”。2）节点（node）单元与单元之间的联结点，称为节点。在有限元法中，节点就是空间中的坐标位置，它具有物理特性，且存在相互物理作用。载荷载荷节点:空间中的坐标位置，具有一定响应，相互之间存在物理作用。单元:节点间相互作用的媒介，用一组节点相互作用的数值矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。.1node..信息是通过单元之间的公共节点传递的。分离但节点重叠的单元A和B之间没有信息传递具有公共节点的单元之间存在信息传递..AB......AB...2nodes3）有限元模型（node）有限元模型真实系统理想化的数学抽象。由一些形状简单的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。作为一个整体，所有单元的组合就形成了整体结构的数学模型。有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。膨化饲料床层进风口出风口膨化饲料带式干燥机有限元模型XZ网格节点步长为40mm,共1113040个单元对于一个具体的工程结构，单元的划分越小，求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越大。梯子的有限元模型不到100个方程；在ANSYS分析中，一个小的有限元模型可能有几千个未知量，涉及到的单元刚度系数几百万个。单元划分的精细程度，取决于工程实际对计算结果精确性的要求。4）单元形函数（node）有限元法仅仅求解节点处的响应值。单元形函数是一种数学函数，规定了从节点响应值到单元内所有点处响应值的计算方法,因此，单元形函数提供一种描述单元内部结果的“形状”。单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。真实的二次曲线.节点单元二次曲线的线性近似(不理想结果).2节点单元响应值二次分布..1节点单元线性近似(更理想的结果)真实的二次曲线.....3节点单元二次近似(接近于真实的二次近似拟合)(最理想结果)..4如果单元形函数不能精确描述单元内部的响应，就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并接受该种单元类型所假定的单元形函数。在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须确保分析时有足够数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。5）有限元分析有限元分析（FEA）就是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素（即单元），用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。有限元分析是一种模拟设计载荷条件，并且确定在载荷条件下的设计响应的方法。它是用被称之为“单元”的离散的块体来模拟设计的。二、有限元法的特点与作用1.有限元法的特点1）离散化：把连续体划分成有限个单元，把单元间的连接点（节点）作为离散点；2）不考虑微分方程，而从单元本身特点进行研究；(研究未知量在单元内部及在单元节点上值的关系，从而导出单元节点响应和对应的载荷之间的关系，然后把它们组集起来,以求解一个以各节点响应为未知量的代数方程组)3）理论基础简明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建立起对该法的理解；4）具有灵活性和适用性，适应性强。它可以把形状不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均匀材料、各向异性材料、非线性应力应变以及复杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流体力学及电磁场领域的许多问题。5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。2.有限元法的作用1）减少模型试验的数量（计算机模拟允许对大量的假设情况进行快速而有效的试验）；2）模拟不适合在原型上试验的设计（例如：器官移植、人造膝盖）；3）节省费用，降低设计与制造、开发的成本；4）节省时间，缩短产品开发时间和周期；5）创造出高可靠性、高品质的产品。三、有限元法的发展1.有限元法的产生有限元法分析的概念可以追溯到20世纪40年代。1943年，柯朗特（Courant）第一次在他的论文中，取定义在三角形域上的分片连续函数，利用最小势能原理研究了圣维南（St.Venant）的扭转问题。然而，此方法发展很慢，几乎过了十年才再次有人用这些离散化的概念。1956年Turner,Clough,Martin和Topp等人，在他们的经典论文中第一次给出了用三角形单元求得的平面应力问题的真正解答，他们利用弹性理论的方程求出了三角形单元的特性，并第一次介绍了今天人们熟知的确定单元特性的直接刚度法，其研究工作随同当时出现的数值计算机一起打开了求解复杂平面弹性问题的新局面。1960年美国的克劳夫(W.Clough)采用此方法进行飞机结构分析时首次将这种方法起名为“有限单元法”，简称“有限元法”。此后有限元法在工程界获得了广泛的应用。到20世纪70年代以后，随着计算机和软件技术的发展，有限元法也随之迅速的发展起来，发表的论文犹如雨后春笋，学术交流频繁，期刊、专著不断出现，可以说进入了有限元法的鼎盛时期，对有限元法进行了全面而深入的研究。2.有限元法的应用目前，有限元法广泛应用于固体力学、流体力学、热传导、电磁学、声学、生物力学等各个领域。有限元法已经成为结构分析的有效方法和手段，它几乎被用于所有连续介质和场的问题。1）结构分析结构分析用于确定变形、应变、应力及反作用力。•静力分析用于静态荷载，可以考虑结构的线性及非线性行为，例如：大变形、大应变、应力刚化、接触、塑性、超弹及蠕变等。超弹密封•动力分析模态分析：用于计算固有频率和振型。谐响应分析：用于确定结构对正弦变化的已知幅值和频率载荷的响应。瞬态动力学分析：用于确定结构对随时间任意变化载荷的响应，可以考虑与静力分析相同的结构非线性行为。特征屈曲分析：用于计算线性屈曲载荷并确定屈曲模态形状（结合瞬态动力学分析可以实现非线性屈曲分析）专项分析:断裂分析、复合材料分析、疲劳分析2）热分析热分析用于确定物体中的温度分布。考虑的物理量是：热量、热梯度、热通量。有限元可模拟三种热传递方式（热传导、热对流、热辐射），可进行稳态分析和瞬态分析，还可模拟相变（蒸发与冷凝、熔化及凝固）3）电磁分析电磁分析用于计算电磁装置中的磁场，考虑的物理量是：磁通量密度、磁场密度、磁力和磁力矩、阻抗、电感、涡流、能耗及磁通量泄漏等。有限元法可进行静态磁场及低频电磁场分析，如模拟由直流电源、低频交流电或低频瞬时信号引起的磁场（螺线管制动器、电动机、变压器）；高频电磁场分析如模拟电磁波的传播装置；计算由电压或电荷激发引起的电场；分析电磁装置与电路的耦合问题等。4）流体分析计算流体动力学（ComputationalFluidDynamics，CFD）是一种典型的基于有限元的流体分析方法。用于确定流体中的流动状态和温度。能模拟层流和湍流、可压缩和不可压缩流体以及多组份流。广泛应用于航空航天、气象学、汽车设计等领域。典型的物理量是：速度、压力、温度、对流换热系数。用于模拟流体介质和周围固体的相互作用。典型的物理量是：压力分布、位移和自振频率。5）声学分析6）耦合场分析耦合场分析考虑两个或多个物理场之间的相互作用。因为两个物理场之间相互影响，所以单独求解一个物理场是不可能的。例如：双金属片受热变形热-应力分析（温度场和结构）流体热力学分析（温度场和流场）声学分析（流体和结构）热-电分析（温度场与电场）感应加热（磁场和温度场）第二节有限元法的分类一、结构有限元法的分类结构有限元法可以分为两类，即线弹性有限元法和非线性有限元法。其中线弹性有限元法是非线性有限元法的基础，二者不但在分析方法和研究步骤上有类似之处，而且后者常常要引用前者的某些结果。1.线弹性有限元线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；位移与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。2.非线性有限元非线性问题与线弹性问题的区别：非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解；非线性问题不能采用叠加原理；非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。以上三方面的因素使得非线性问题的求解过程比线弹性问题更加复杂、费用更高和更具有不可预知性。1）材料非线性问题材料的应力和应变是非线性的，但应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普遍接受的