第七章 线性变换的矩阵

§2线性变换的运算§3线性变换的矩阵§4特征值与特征向量§1线性变换的定义§6线性变换的值域与核§8若当标准形简介§9最小多项式§7不变子空间小结与习题第七章线性变换§5对角矩阵一、线性变换与基二、线性变换与矩阵§7.3线性变换的矩阵三、相似矩阵一、线性变换与基的线性变换.则对任意存在唯一的一组数V1．设是线性空间V的一组基，为V12,,,n使12,,,,nxxxP1122nnxxx从而，1122()()()().nnxxx由此知，由完全确定.()12(),(),,()n一组基在下的象即可.所以要求V中任一向量在下的象，只需求出V的2．设是线性空间V的一组基，为,n12,,,V的线性变换，若()(),1,2,,.iiin则.nnxxx1122＝nnxxx1122＝由已知，即得.＝.由此知，一个线性变换完全由它在一组基上的作用所决定.证：对1122,nnVxxx(),1,2,,iiin证：1122,nnVxxx设:,VV定义1122nnxxx＝，12,,,,n都存在线性变换使任意n个向量3．设是线性空间V的一组基，对V中n12,,,易知为V的一个变换，下证它是线性的.11,nniiiiiiVbc，,=任取设则11,)nniiiiiiibckb＋＝（＋）(k于是111nnniiiiiiiiiibcbc＋（＋）11)nniiiiiikkbkbk(为V的线性变换.又1110000iiiin(),1,2,,iiin由2与3即得定理1设为线性空间V的一组基，12,,,n对V中任意n个向量存在唯一的线性12,,,,n1,2,,.iiin，变换使,设为数域P上线性空间V的一组基，12,,,n为V的线性变换.基向量的象可以被基线性表出,设用矩阵表示即为111212112122221122()()()nnnnnnnnnn12二、线性变换与矩阵1．线性变换的矩阵121212,,,,,,,,,nnnA其中111212122212,nnnnnnA②单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵；零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵；①A的第i列是在基下的坐标，12,,,n()i矩阵A称为线性变换在基下的矩阵.12,,,n注：它是唯一的.故在取定一组基下的矩阵是唯一的.数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵；例1.设线性空间的线性变换为3P1231212(,,)(,,)xxxxxxx求在标准基下的矩阵.123,,解：3()(0,0,1)(0,0,0)1()(1,0,0)(1,0,1)2()(0,1,0)(0,1,1)123123100(,,)(,,)010110例2.设为n维线性空间V的子空12,,,()mmn间W的一组基，把它扩充为V的一组基：12,,,.n并定义线性变换：1,2,,01,,iiiimimn121211,,,,,,00nn则m行称这样的变换为对子空间W的一个投影.易验证2.2．线性变换运算与矩阵运算定理2设为数域P上线性空间V的一组12,,,n的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质：基，在这组基下，V的每一个线性变换都与中nnP①线性变换的和对应于矩阵的和；②线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；③线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；④可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.证：设为两个线性变换，它们在基,12,,,n下的矩阵分别为A、B，即1212,,,,,,nnA1212,,,,,,nnB①12,,,n1212,,,,,,nn1212,,,nnAB12,,,nAB∴在基下的矩阵为A＋B.+12,,,n②1212,,,,,,nn12,,,nB12,,,nB12,,,nAB∴在基下的矩阵为AB.12,,,n③121,,,,,nnkkk1,,nkk1,,nk12,,,nk12,,,nkA12,,,nkA∴在基下的矩阵为k12,,,n.kA④由于单位变换(恒等变换)对应于单位矩阵E.E相对应.因此，可逆线性变换与可逆矩阵A对应，且E所以，与AB＝BA＝E逆变换对应于逆矩阵-1.A-1注：2();dim().nnLVPLVn事实上，任意取定V的一组基后，12,,,n:(),nnLVP对任意，定义：()LV(),A这里A为在基下的矩阵.12,,,n则就是到的一个同构映射.()nnLVP3．线性变换矩阵与向量在线性变换下的象定理3设线性变换在基下的矩阵为A,12,,,n在基下的坐标为12,,,nV12(,,,),nxxx()在基下的坐标为12,,,n12(,,,),nyyy则有1122nnyxyxAyx＝.证：由已知有1212,,,nnxxx＝,1212(),,.nnyyy,1212,,,,,,,nnA1212(),,,nnxxx又1212,,nnxxAx,11221212,,,,nnnnyxyxAyx,,由于线性无关，所以12,,n,1122nnyxyxAyx＝.4．同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系下的矩阵分别为A、B，且从基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵矩阵是X，则1.BXAX12,,,n(Ⅱ)12,,n,(Ⅰ)定理4设线性空间V的线性变换在两组基证：由已知，有1212,,,,,nnA,,1212,,,,,,,nnB1212,,,,,.nnX,于是，1212,,,,,nnX,12,,nAX,12,,,.nXAX-1由此即得.BXAX-1=三、相似矩阵1．定义设A、B为数域P上的两个n级矩阵，若存在可逆矩阵使得,nnXPBXAX-1则称矩阵A相似于B，记为AB.111,.BXAXAYBYYX（1）相似是一个等价关系，即满足如下三条性质：①反身性：.AA1.AEAE=②对称性：.ABBA2．基本性质③传递性：,.ABBCAC11BXAXCYBY=,=1111()()().C=YBY=YXAXY=XYAXY（2）定理5线性变换在不同基下的矩阵是相似的；同一线性变换在两组基下所对应的矩阵.反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作证：前一部分显然成立.下证后一部分.设且A是线性变换在基下的矩阵.,AB12,,,n1,BXAX=1212,,,,,.nnX令,显然，也是一组基，12,,,n矩阵就是B.且在这组基下的（3）相似矩阵的运算性质①若则111122,,BXAXBXAX11212(),BBXAAX1()().fBXfAX即，12121212,.AABBAABB特别地，1.mmBXAX11212().BBXAAX②若则1,()[],BXAXfxPx例3.设为线性空间V一组基，线性变换在12,这组基下的矩阵为21,10A为V的另一组基，且12,121211,)(,),12(（1）求在下的矩阵B.12,（2）求.kA1112111121012B解：（1）由定理4，在基下的矩阵12,21211111.11101201（2）由有1,BXAX=1,AXBX=于是1.kkAXBX=1111111120112kkA=111211.1201111kkkkk=123()(5,0,3)()(0,1,6),()(5,1,9)例4.在线性空间中，线性变换定义如下：3P123(1,0,2),(0,1,1)(3,1,0)其中（1）求在标准基下的矩阵.123,,（2）求在下的矩阵.123,,123123123103(,,)(,,)011(,,),210X解：（1）由已知，有123123(,,)(,,)A123123123(,,)((,,))(,,)XX123123505(,,)(,,)011,369设在标准基下的矩阵为A，即123,,123(,,)AX5202014527271824因而，505011,369AX11505505103011011011369369210AX1103505011011210369B235101110（2）设在下的矩阵为B，则A与B相似，且123,,1BXAX