关于实数连续性的6个基本定理的互证

关于实数连续性的6个基本定理的互证中国人民大学2006级经济学数学双学位实验班张磊首先6个定理表述如下：确界定理:在实数系R内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在.单调有界原理:若数列{}nx单调上升有上界，则{}nx必有极限.区间套定理:设[]{},nnab[1,nnr∞=∈∩是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r包含在所有的区间里,即.]nab有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖.紧致性定理：有界数列必有收敛子数列.柯西收敛定理：在实数系中，数列{}nx有极限存在的充分必要条件是：0,,,nmNnNmNxxεε∀∃−当时，有一、确界定理证明其他定理1、确界定理证明单调有界定理证明：设{}nx是单调上升有上界的实数列.由确界定理可得，∃r，使r=sup{}nx.rxnn≤∀∴有,，并且0,,NNxxrεε∀∃−有,NnnNrxxrε∴∀−≤≤≤有，即||nxrε−2、确界定理证明区间套定理证明：由[][]11,,nnnnabab++⊂，知{}na是单调上升有上界的实数列，{}nblimnb是单调下降有下界的数列.且是的上界，是的下界.设=r，=1bna1anb∞→n∞→nlimnar′，由确界定理对单调有界定理的证明知r=sup{}na，r′=inf{}nb.由lim()0nnnba→∞−=得'rr−=0即'rr−=sup{}na=inf{}nb∴∀n，有.nnarb≤≤最后证明唯一性.若有rr′,)满足，，则[]1,nnnrab∞=∈∩['1,nnnrab∞=∈∩](0||∞→→−≤′−nabrrnn故rr′=.即这样的r是唯一的.定理证完.3、确界定理证明致密性定理.证明：证明：设数列是有界数列.定义数集A={x|中大于}{nx}{nxx的点有无穷多个}{}nx∵有界∴A有上界且非空.由确界定理可得∃r,使r=supA.则0ε∀，有rε−不是A的上界.∴{}nx中大于rε−的项有无穷多个.rε+∵是A的上界∴{}nx中大于rε+的项只有有限个.∴在（rε−，rε+）中有{}nx的无穷多项，即,0∀ε∀n，，使（rnN∃nx∈ε−，rε+）对1=ε，1n∃，使（1nx∈1−r，1+r），即|-r|11nx取21=ε，2nn1∃，有|-r|2nx12，……如此继续下去，取k1=ε，1kknn−∃，有|-r|knx1k，由此得到的子数列，当时，}{nx}{knx∞→kknxr→∴}{xn存在收敛子数列.定理证完4、确界定理证明柯西收敛原则.证明：首先证明基本列必有界，取E1，必有一正整数，当m,n时，有0N1mnxx−，特别的当时，有001nNmN=且+011nNxx+−从而当n时，有0N000111nnNNNxxxxx1+++≤−++这就证明了{}nx的有界性.记}{nAxxx=中大于的有无穷项显然A为有界集合，则由确界定理知A有上确界记supAβ=.则0nxxεβεβε∀−+n，满足的有无穷多项，且的有有限项所以{}nx中有无穷多项满足nxβεβε−+00nNnNxεβε∴∀∃−，，当时，limnnxβ→∞∴=5、确界定理证明有限覆盖定理证明：设E是闭区间[]的一个覆盖.ba，定义数集A={[bax,]∈|区间[xa，]在E中存在有限子覆盖}从区间的左端点ax=开始.由于在E中有一个开区间覆盖a,因此a及其右侧充分邻近的点均在A中.这就保证了数集A是非空的.从数集A的定义可见,若∈xA,则整个区间[xa，]A.⊂∴若A无上界,则b∈A,那么[]在E中存在有限子覆盖.ba，若A有上界,由确界定理可得∃r,使r=supA.xr∴∀≺都有xA∈.事实上，()rx0,∀−,y∃s,t()yrrxx−−=.∵y，[a]在E中存在有限子覆盖，∴[xa，ya，]⊂[]在E中存在有限子覆盖下证br.用反证法.如果不然，r≤b，则r∈[].因此，在E中存在有一开区间覆盖ba，αE覆盖r.，，使0a∃0b∈αE00arb.由上面论证知A，也即区间[]在E中存在有限子覆盖，向这个有限子覆盖再加上开区间，0a∈0aa，αE即成为[]的覆盖.ba，∴0b∈A，与r=supA矛盾.定理证完.二、单调有界定理证明其他定理1、单调有界定理证明确界定理证明1：已知实数集A非空.∃Aa∈，不妨设不是A的上界，另外，知是A的上界，记，用的中点a∃b1,aab=1=b11,ab12ab1+二等分[]11,ab，如果1111212,,ab22ab++=abBa∈=则取；1111,,ab2222ab1+Aabb+∈==如果；……如此继续下去，便得两串序列.其中则取}{na{nb}Aan∈单调上升有上界（例如b），单调下降有下界（例如）并且1Bbn∈1ananb−=112ba−)(∞→n.由单调有界定理，知r，使.由∃limn→∞nar=limn→∞(ba)nn0−=有limn→∞[()]nnnabar+−=∵}{nb是A的上界，∴Ax∈∀，有≤xnb（n=1，2，……），令，∞→nlimnnxb→∞r≤=∴r是A的上界.而,0∀ε由=r知∞→nlimna0,nNnNraεε∀∃−知，当，有，从而,n,XAraXε∃∈−使∴r=supA.同理可证非空有下界数集有下确界.定理证完.证明2：设E是非空有上界的集合，设为E的所有有理数上界.0Q令}{{}012312,,..........min,...snnQrrrrrxrrr==令n{}0nxQ∴∈且单调下降有下界的数列。.limnstξξξ→∞∴∃nx=,下面证明=supE。（1）如果00000.0.22nxx02xxEstxNstxxξξξξξ−−+∃∈∴∃+=，，则，0NNxQxE∈∴∵这与为的上界矛盾.（2）如果00xEξξξ∃∀∈≤0，，s.tx-，由有理数稠密性定理知00',.',rQstrxExr'ξξξ∃∈−∴∀∈0''nnrErQxrξ∴∴∈≤≤为的一个上界这与矛盾2、用单调有界证明区间套定理证明：已知n1+（∀n），a≤nana≤nb≤1b，∴由单调有界定理知{na}存在极限，n=设，limnar→∞nb同理可知{}存在极限，设'limnnbr→∞=，由()lim0nnnba→∞−=得rr′−=0即rr′=∵∀n，有，令，有∞→nna≤rr′=≤nb，∴∀n，有na≤r≤nb.na≤nb最后证明唯一性.若有rr′,满足，，则∩∞=∈1],[nnnbar∩∞=∈′1],[nnnbar)(0|∞→→−nr|−≤′abrnn′故rr=.即这样的r是唯一的.3、用单调有界定理证明致密性定理证明：首先证明有界数列{}na有单调子数列.称其中的项有性质M，若对每个，都有，也就是说，是集合{|i}的最大数.nanininaa≥naia≥分两种情形讨论：①数列{}na2nakna有无穷多项具有性质M，将它们按下标的顺序排列，记为，……，满足，那么我们就已经得到一个单调下降的子列{1na12............knnn}na.②数列{}na只有有穷多项具有性质M，那么N∃，当，有不具有性质M，即，从中任取一项记为，因为它不具有性质M，∴，……，如此继续下去，我们得到一子列{Nnna,ninaa∃有12nnaai1na21nn∃,使}kna单调上升，∴有界数列{}na必有单调子数列，由单调有界定理，可得{}kna存在极限.4、单调有界证明柯西收敛准则证明：首先证明基本列必有界，取E1，必有一正整数，当m,n时，有0N1mnxx−+，特别的当时，有001nNmN=且011nNxx+−从而当n时，有0N00111nnNNNxxxxx01+++≤−++这就证明了{}nx的有界性.任意有界数列必存在单调子列，由单调有界定理知必有收敛子列{knx}，设limknkxa→∞=，则对0,0,knKkKxaεε∀∃−时有取一正整数000max(1,1),1kNkKNkKnnN+=++≥+于是当且1N当n〉N时，由已知条件有0knnxxε−002kknnnnxaxxxaεεε∴−≤−+−+=即limnnxa→∞=5、单调有界证明有限覆盖定理证明：假设某一闭区间[],ab的某个开覆盖E的有限个区间覆盖，等分[],ab为两个部分区间，则至少有一个部分区间不能被E的有限个区间覆盖，把这个区间记为[]11,ab，再等分[]11,ab，记不能被E的有限个区间覆盖的那个部分区间为[]22,ab，照这样分下去得到一个区间列[]{},nnab，这些区间适合下面3个条件：(1)每一个[],nnab都不能被E的有限个区间覆盖(2)，nan单调递增且有界，b单调下降且有界nnab(3)02nnnbaba−−=→1limnnnaaξ→∞∴=由单调有界定理知极限存在，记同理2limnnnbξ→∞=由单调有界定理知b极限存在，记，下面证明12ξξ=用反证法，如果12ξξ≠，则12ξξ.21121111200,,,33nnNnNaaξξξεξε−+∀=∃−+=，即ξξε21122222200,,,33nnNnNbξξξεξε−+∀=∃−−=，即bξξε330nNnNaεε∀∃−n，，当时，b()21123max3nNNNNaξξ−∴∃=−n，，，当nN时，b，矛盾由覆盖概念和定理所设条件，在E中至少存在一个开区间满足()ξαβ∈，由数列极限的性质知道，必存在一个正整数N当nN时，有nnabαβ即当nN时，有[](,nnab)αβ⊂，与（1）矛盾.所以假设错误，原命题成立.三、区间套定理证明其他定理1、区间套定理证明确界定理证明：由数集A非空，知∃Aa∈，不妨设a不是A的上界，另外，知b是A的上界，记[，]=[，b]，用，的中点∃1a1ba1a1b12ab1+二等分[，b]，如果1a1112ab+是A的上界，则取[]12+122,,aba1ab⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；如果112ab+不是A的上界，则取取[]112ab+⎢22ab1b⎡⎤⎣⎦,,=⎥；用，的中点2a2b22ab2+二等分[，]……如此继续下去，便得区间套[，b].其中不是A的上界，b是A的上界.由区间套定理可得，2an2bnanna∃唯一的，使，，由∩n∞=1[∈r]nb,nalimlinna→∞mnn→∞br==A∈x∀≤xnb（n=1，2，……），令，∞→nlimnnxb→∞≤r=∴r是A的上界.而,0∀ε由=r知∞→nlimna0,,,,nNnNraεε∀∃−知当有从而,n,XAraXε∃∈−使∴r=supA.同理可证非空有下界数集有下确界.定理证完.2、用区间套定理证明单调有界定理证明：设是单调上升有上界的实数列.b是它的一个上界，令=-1，二等分[，]，其中必有一区间含的无穷多项，记其为[，]，二等分[，]，……如此继续下去，便得区间套[，]，满足，[，]含}{nx1b2b1ab1x2na1a2}{nx2an∀ananbnb{}nx的无穷多项.由区间套定理可得，∃唯一的，使1ra∞=∩[,nn]bn∈limlimnnnnab→∞→∞==r,则对0,,,nnNnNrabrεεε∀∃∀−+.取，⎡⎤⎣⎦含{}nx0nN,nabM，使Mx∈的无穷多项，则[，].00n∃0na00n⎤⎦0nb当mM时，有.如果不然，,nab⎡⎣∃1mM0nbmx∈，有1mx10na0nbr，则在[，]中最多只有的前项，与[，]的构造矛盾.从而当mM时，有0na0nb}{nx00nmraxmnbεlimmmxr→∞=εε+mx−≤linmnxr→∞=.，即|-r|.∴，即3、用区间套定理证明致密性定理证明：已知b，a∃，使bxan≤≤.设[]没有E的有限子覆盖，记[]=[，]，二等分[，]，其中必有一区间含的无穷多项，记其为[，]，二等分[，]，……如此继续下去，便得区间套[，]，满足，[，]含的无穷多项.由区间套定理可得，唯一的，使l