05 第五章 弹性力学边值问题

第五章弹性力学边值问题BoundaryValueProblemsofElasticity弹性力学边值问题的微分提法位移解法应力解法应力函数解法叠加原理解的唯一性定理圣维南原理弹性力学边值问题,0jijif平衡方程(Navier)：1,,2()ijijjiuu几何方程(Cauchy)：应变协调方程：(Saint-Venant),,,,0ijklklijikjljlik本构方程：(1)应变－应力公式：(Hooke)1ijijkkijEE(2)应力－应变公式：(Lamé)2ijijkkijG微分提法当选位移作基本量时只需考虑几何方程，协调方程将自动满足；当选应变作基本量时，只需满足协调方程，就能保证由几何方程积分出单值连续的位移场来。两个本构方程也是等价的，于是有两组基本方程组：微分提法第一组基本未知量：ij(6),ij(6),ui(3)平衡方程：(3)几何方程：(6)应力－应变关系：(6)ijkkijijG2,0jijif)(,,21ijjiijuu微分提法第二组基本未知量：ij(6),ij(6)平衡方程：(3)协调方程：(6-3)应变－应力关系：(6),0jijif0,,,,ikjljlikijklklijijkkEijEij1微分提法边界条件：tSuSV3X2X1XSUS微分提法弹性理论中常见的三种边界条件：1.处处给定外部作用力的力边界条件S边界条件为：域内应力场的边界值应满足柯西公式,,iXXYZonjijiXStSuSV3X2X1XSUS不能消除刚体位移要满足整体平衡条件。微分提法xxyzxyxyzyxzyzzXlmnYlmnZlmn分量形式为：◎当时称为自由表面，是力边界的特殊情况。◎集中力化为作用在微小面积上的均布表面力。◎集中力矩则化为非均布表面力。0iX微分提法2.处处给定位移约束的位移边界Su域内位移场的边界值应等于给定边界值：有时也可指定边界位移的导数值(例如，转角为零)或应变值。在静力学问题中，所给的位移应足以防止物体的刚体运动。,,iuuvwoniiuuuS,,uuvvww微分提法3.在部分边界S上给定外力，部分边界Su上给定位移的混合边界S。这时要求对于弹性动力学问题，还应给定初始条件。uuSSSSStSuSV3X2X1XSUS微分提法•4.混合型边界条件在边界同一位置，给定部分位移分量和部分面力分量。•5.弹簧类边界条件chapter3.6iijjXKu微分提法•6.对称和反对称条件XYZ对称载荷：在对称面上，所有对称场变量的一阶导数等于零，所有反对称场变量的值等于零。反对称载荷：在对称面上，所有反对称场变量的一阶导数等于零，所有对称场变量的值等于零。微分提法YXXY0:0,0xyxzxxu0:0,0xxyzxuu•6.对称和反对称条件微分提法弹性力学问题微分提法的基本思想：从研究弹性体内的微元入手，导出描述微元静力平衡、变形几何及弹性关系的一组基本方程，加上相应的边界条件把弹性力学问题归结为求解偏微分方程组的边值问题。微分提法从求解的未知量方面考虑，可分为如下四类：位移为基本未知量应变为基本未知量应力（应力函数）为基本未知量混合未知量微分提法弹性力学边值问题的微分提法位移解法应力解法应力函数解法叠加原理解的唯一性定理圣维南原理弹性力学边值问题位移解法是以位移分量ui作基本未知量的解法。即以位移分量的三个未知函数作为基本未知函数。这三个位移分量所对应的应力在物体内部应满足平衡微分方程。现经过下述步骤将平衡微分方程中的应力改用位移表示，从而得出用位移表示的平衡微分方程式。位移解法ijkkijijG2iuij•用位移表示的平衡方程（Lamé-Navier方程）,,0ijjjjiiiGuGufu几何方程ij本构关系平衡方程)(,,21ijjiijuu,0()jijiifu位移解法L-N方程的具体推导如下：先将几何关系代入广义虎克定律，可得2;2;2;xxyyyzzzxuvuGGxxyvwvGGyyzwuwGGzzxuvwxyz式中位移解法2;2;2;xxyyyzzzxuvuGGxxyvwvGGyyzwuwGGzzx222222222xyxzxuGxxxvuGyxyyuwGzzxz位移解法222222222xyxzxuGxxxvuGyxyyuwGzzxz0yxxzxXxyz代入20GGuXx第一个以位移表示的平衡微分方程位移解法同样可得其余两个方程，即2200GGvYyGGwZzuvwxyz式中位移解法上式实质上是位移形式的平衡方程式，这就是位移法的基本方程式。222000GGuXxGGvYyGGwZz综上,,0ijjiiGuGX指标形式位移解法边界条件若给定的是位移边界条件，则直接用位移表示，即,,uuvvwwxxyzxXlmn若给定的是表面力的边界条件，则可将其表面力以位移表示(以x方向为例)，位移解法xxyzxXlmn2;;xxyzxuvuuwGGGxxyzx代入2uvuuwXGlGmGnxxyzx位移解法222uvuuwXGlGmGnxxyzxvuvwvYGlGemGnxyyyzuwwvwZGlGmGenzxyzz用位移表示的外力边界条件：位移解法微分方程的解：齐次方程通解＋特解（易得）齐次的Lamé-Navier方程(即fi＝0的无体力情况)：将齐次方程对xi求导，并对指标i迭加后得而,,0ijjiGuG,,0ijjiiiGuG,,,,,ijjiiijjiijjuu位移解法,,0ijjiiiGuG,,,,,ijjiiijjiijjuu,20iiG是非零常数，故第一应变不变量应满足调和方程2G,0ii即20其中称为调和算子或拉普拉斯算子。2222222xyz位移解法根据，其中K为常数。故第一应力不变量(或平均正应力)也满足调和方程：033K,0ii200,0ii200即即位移解法由得2022,,0ii∴40iu其中422444444444222222222xyzxyyzxz称为重调和算子。上式说明位移分量ui应满足重调和方程。位移解法,,0ijjiGuG222,0iiGuG上式作调和运算得：40iu连续性条件444,,102ijijjiuu2ijijkkijG代入44420ijijijG于是说明应力及应变分量也都满足重调和方程。位移解法•在无体力情况下，第一应变不变量、第一应力不变量和平均正应力0都是调和函数。•位移分量ui，应变分量ij和应力分量ij都是重调和函数。•于是弹性力学的无体力问题在数学上归结为调和方程和重调和方程的边值问题。•对于常体力情况fi＝const，不难验证这个结论同样适用。•对于变体力情况，可先找一个特解(不必满足边界条件)，然后与上述齐次解迭加，使全解满足全部边界条件。位移解法•小结弹性力学边值问题的微分提法位移解法应力解法应力函数解法叠加原理解的唯一性定理圣维南原理弹性力学边值问题应力解法平衡方程：(3)协调方程：(6-3)应变－应力关系：(6)0,,,,ikjljlikijklklij)(0,iijijufijkkEijEij1应力解法是以应力分量作基本未知量的解法。ijij•Beltrami-Michell方程：本构关系代入协调方程利用平衡方程ijkkijjiijijfff,,,,2111思路：消掉其余基本量，仅用应力表示：这就是应力解法的定解方程，称为应力协调方程或贝尔脱拉密-密乞尔方程，简称B-M方程，共含六个二阶椭圆方程。E.Beltrami(1835-1900)应力解法223112222321222233122223221211121112111111xyzyzzxffffxxxyzffffyyxyzffffzzxyzffyzzy231221211xyffxzzxffxyyx分量形式应力解法前面曾指出，六个应变协调方程并不完全独立，不能由它们独立解出六个应变分量。以此类推，六个应力协调方程也不可能完全独立，所以用应力解法解题时通常要求在域内同时满足六个B-M方程和三个平衡方程，且在边界上满足三个力边界条件。对于全部边界给定外力的边值问题，应力解法可以避开几何关系直接解出工程中关心的应力分量。但应力解法处理位移边界条件相当困难。应力解法涉及六个二阶B-M方程，三个一阶平衡方程和三个力边界条件，对于几何形状或载荷分布较复杂的问题求解比较困难。应力解法对于动力学问题，应把惯性力纳入体力项，B-M方程中的fi,j应改为,,ijijfu,ijijiju∵,1ijijijuEE∴2,,,,1111ijijijjiijkkijijfffGE于是应变协调方程变为：应力解法最后提一下以应变分量ij作基本未知量的应变解法。由于应力与应变间的虎克定律是代数方程，应变解法的求解难度不会比应力解法有实质性的改善，而边界条件用应力表示则方便得多，所以很少采用应变解法。应力解法弹性力学边值问题的微分提法位移解法应力解法应力函数解法叠加原理解的唯一性定理圣维南原理弹性力学边值问题应力函数解法在位移解法中，引进三个单值连续的位移函数，使协调方程自动满足，问题被归结为求解三个用位移表示的平衡方程。应变分量可由位移偏导数的组合来确定。与此类似，在应力解法中也可以引进某些自动满足平衡方程的函数，称为应力函数，把问题归结为求解用应力函数表示的协调方程。应力分量可由应力函数偏导数的组合来确定。应力解法比较复杂与应力解法相比，此方法独立的应力分量只有3个事先满足几何方程，只需满足平衡方程：事先满足平衡方程，只需满足协调方程：i