傅里叶变换在系统分析中的应用

1本章与第三章的关系：第三章傅立叶变换侧重于信号的分析，本章侧重于系统分析，是第三章的延续。Recall：)()()(*)(jHjFthtfh(t)f(t)y(t)H(j)F(j)Y(j)Ch4傅立叶变换在系统分析中的应用2本章与拉氏变换的关系：•是拉氏变换的一个特例,专门研究系统的频域特性•Recall：对于稳定(临界)系统,由如下关系:nknnjsKsFjF1)()()(•本章面向的系统是严格稳定系统:()()sjHjHs3Ch4傅立叶变换在系统分析中的应用Application:滤波、调制、抽样•系统的频率响应H(j)frequencyresponse•无失真传输•理想低通滤波器•调制与解调•零阶保持抽样•多路复用Contents：41频率响应FrequencyresponseH(jw)ForLTIsystem:f(t),h(t),y(t))(*)()(thtfty)()()(jHjFjY)]([)()()(thFTjFjYjHDef1:LT中的定义：正弦激励下的稳态响应.5•LCCDE:Def2:对稳定系统llmllkknkkdttfdbdttyda)()(00mlllknkkjFjbjYja00)()()()(knkkmllljajbjFjYjH)()()()()(00)]()([)]([)(11jHjFFTjYFTty解方程：62无失真传输•在实际应用中对失真问题的研究有两类：(1)信号传输失真尽可能小(2)有意识地产生失真（预失真波形的产生）•信号传输过程中引起失真的原因：(1)非线性失真（产生新的频率）(2)线性失真（不产生新的频率成分）幅度失真相位失真7无失真传输的定义•1.信号不失真传输含义：系统的零状态响应与激励的波形相比，只有幅度大小和出现时刻的不同。不存在形式上的变化。LTIH(j)r(t)r(t)t00e(t)e(t)0)()(,0ttKetr时域上82.不失真传输系统的频响H(jw)：)()(,0ttKetr时域上•两边取傅立叶变换e(t)---E(jw),r(t)---R(jw)0)()(tjejKEjR•又：若时域中系统冲激响应为h(t))(*)()(thtetr)()()(jHjEjR)(|)(|)(0jtjejHKejH不失真传输系统的频响H(jw)：0)(|)(|tKjH特点：幅频响应为常数，相频响应为过原点的直线。93.产生失真的原因：a.信号幅度不能等幅放大或衰减—幅度失真b.信号的相移不能按比例变化—相位失真c.幅度失真和相位失真同时存在—同时失真)(jH)(j0t10利用失真：波形形成113模拟滤波器analogfilter•理想低通的冲激响应、阶跃响应•物理可实现滤波器的条件佩利－－维纳准则希尔伯特变换•理想低通滤波器:巴特沃兹逼近滤波12(1)概述•从接收的信号中，消除或较弱噪声•获得或保留有用的信号滤波的背景，目的滤波的原理•经典滤波器：具有选频特性的电路。（信号的频带和噪声的频带是可分的。）•统计滤波器：从统计的角度出发，对所要提取的有用信号从时域进行估计，使得在统计指标最优的意义下:估计值最逼进有用信号，噪声也在统计指标最优的意义下得到消除。（随机信号处理:维纳滤波，卡尔曼滤波）13•按频带分：•按元件分：•按信号性质分：滤波的分类（经典滤波器）•低通LPF，•高通HPF，•带通BPF，•带阻BSF，•全通APF•无源滤波器，有源滤波器•模拟滤波器，数字滤波器LowPassFilterHighPassFilterBandPassFilterBandStopFilterAllPassFilter14(2)理想低通滤波器及其冲激响应低通c截至频率,c高通c带通1c2c带阻1c2c15理想低通滤波器othereejHjHctjjj0)()(0)(1)(jHcccc0)(tj16理想低通滤波器的冲激响应)()(tte)()(trth)]([2121)]([)(0)(100ttSadedeejHFTthccttjtjtjcc理想滤波器是非因果的0)(,0thtotherejHctj0)(00t2c主瓣宽度c)(tht017理想低通滤波器的冲激响应与带宽的关系:cc)(th0tct0)(t0t)(0tt不失真传输反比1cc)(th0t0t系统为全通网络，可以无失真传输。18理想带通滤波器的冲激响应0c0c00c0c0)cos()]([2)(00tttSathcc19(4）物理可实现系统系统物理可实现要求：（1）时域——因果系统（2）频域——a.佩利维纳准则：幅频响应不能在一个频带内为零b.希尔伯特变换（Hilbert）因果系统频响的实部和虚部之间相互限制0)(,0tht20佩利维纳准则djH21)(lndjH2)(0)(jH限制了衰减速度若因果系统的幅频响应平方可积则存在佩利维纳准则表明：1.幅频响应不能在一个频带内为零2.幅频响应是指数阶的21希尔伯特变换（Hilbert）•因果系统——物理可实现系统•因果系统频响的实部和虚部之间相互限制22因果系统的频谱实部和虚部关系)()()(0tuththt)()()(jjXjRjHdRXjdXjRjjjXjRjjHtuFTthFTthFT)(212)()(212)()1)((*)]()([21)1)((*)(21)]([*)]([21)]([)(jR)(jX23dRjXdXjR)(1)()(1)(HilbertTransform因果系统的实部被已知的虚部唯一地确定24（5）可实现的典型滤波函数巴特沃兹逼近切比雪夫逼近110110...()()()...mmmmnnnnasasaAsHsBsbsbsb滤波器特性取决于系数a,b取决于分母多项式的阶次nn与元器件的数目有关25滤波器设计的主要参数•LowPassAnalogicalFilter(LPF))(p)(sps通带最大衰减阻带最小衰减通带截止频率阻带下限频率222)(1lg10)()(lg10)(jHjYjX)(p)(sps0)1(ppor0261、巴特沃兹逼近(Butterworth)npjH211)(0)(707.021)(1max)0(0jHjHjHpp•通带内最平坦滤波器707.00通带截至频率11p273222211)(211)(11)(jjjHjjHjjH62422211|)(|11|)(|11|)(|jHjHjH1()xt1()yt()xt1()yt122()xt1()yt4332122805010015020025030000.10.20.30.40.50.60.70.80.91ButterworthfilterFrequency(w)H(jw)n=1n=4n=8n=12292、切比雪夫逼近(Chebyshev)（简要介绍）通带等起伏（等纹波）特性滤波器02211)(nTjH纹波系数)1()()1()(coscos()(11xxnchchxxnxTnn=4n=511211010p30707.0011p)(jHL707.0011p)(jHH707.0)()(0)()(1)()(1100HLHLHLHLHLHLjHjHjHjHjHjH高通与低通的对应关系31)(jF)(jY低通高通)(jHcHcL)(jF)(jY低通高通)(jHcHcLcHcL0)(jH)(acLcH0)(jH)(b带通（BPF）带阻（BSF）3202004006008001000120000.511.5020040060080010001200-400-20002004003302004006008001000120000.20.40.60.81020040060080010001200-400-300-200-10003402004006008001000120000.20.40.60.81020040060080010001200-800-600-400-200035Homework•4-9•4-10•4-12•4-1•4-3