傅里叶变换的基本性质

第七节傅里叶变换的基本性质主要内容：1.对称性质2.线性性质3.奇偶虚实性4.尺度变换性质5.时移特性时域卷积定理频域卷积定理6.频移特性7.时域积分性质8.时域微分性质9.频域微分性质10.帕塞瓦尔定理()()ftF若()2()Ftf则()1td?1®例1：2()pdw1.对称性(互易对偶性)(时频对称性)()2FESa0w220t)(tfE222()2()ffp-w=pw0wE2220t22)2()(tSaEtF例2：)2()(tSaEtF()ft()2FESa？2()fpw例31(),F[]12F[()]j2F[]2()2()j1F[]j()ftf(t)tsgntsgnsgntsgnt=®w=w\=p-w=-pw\=-pw已知求思路什么样的信号频谱含根据对称性质1(),F[]ftf(t)t=已知求2F[()]jsgnt=w2F[]=jt\1F[]j()sgnt\=-pw解：根据对称性质2()sgnp-w2()sgn=-pw1122f()(),f()()tFtF若12121212f()f()()()aaattaFF则其中，a1,a2为常数2.线性性4f()()()tF（）当为函数时，为纯虚偶函数，为奇函数；()()ftF若()()jFef()()tF（1）当为函数实时:共轭对称则：f()()tF（2）当为函数时，为实数实；偶偶函f()();tF（3）当为函时，为虚奇数实奇函()()F即：偶对称，奇对称；R()jX()R()X()偶对称，奇对称；R()X()奇对称，偶对称；3.奇偶虚实性1f(),0Faaata则F()()ftF若意义(a)0a1时域扩展，频带压缩。(b)a1时域压缩，频域扩展a倍。4.尺度变换特性（展缩特性）例：信号的持续时间与信号占有频带成反比结论：时域压缩，则频域展宽；时域展宽，则频域压缩。时移加尺度变换：5.时移特性式中t0为任意实数注意：信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。书例3-2：求下列所示三脉冲信号的频谱。0)(tfE22TTt解：令f0(t)表示矩形单脉冲信号)2()(0wSaEwF)()()()(000TtfTtftftf由时移特性可得：)cos(21)2()1)(()(0wTwSaEeewFwFjwTjwT0wT2)(wFE3其频谱如下：T42实偶信号的频谱为实偶τtωSatωSaωtf2πccctωSaωtfccπ0已知双Sa信号试求其频谱。令（书P133）解：()()()002ftftftτ=--则()()()00[]2FftFftFftτ轾轾=--臌臌.ωoCωCω1ωF0(b)()()0[]πccωFftFSaωt轾=臌()j2τ022e()cFftτG-ww轾-=w臌()ftw因此的频谱F()等于由时移特性得到21()cGw=w()()()00j2τ22(1e)()cFωFftFftτG-ww轾轾=--臌臌=-w从中可以得到幅度谱为()()cc2sinτ()0()ωωFωωωìïwï=íïïî)(0)(πsin2cccωωωωωωωF双Sa信号的波形和频谱如图（d）（e）所示。π,cτω=在实际中往往取此时上式变成tττ2oπCωtf(d)oCωCωωωF2(e)000f)(()jttFe为数则是实常()()ftF若6.频移特性（调制定理）dteetfetfFtttj-jj00)(])([证明：dtetft)-j(-0)(由傅立叶变换定义有)]([0jF000000f()()(),sin1cof()(2)2)s(jtFtttFFF调制性：]cos)([0ttfF])([21])([2100j-jttetfFetfF)]([21)]([2100jFjF]sin)([0ttfF)]([2)]([200jFjjFj])([21])([2100j-jttetfFjetfFj证明：书例3-4已知矩形调幅信号如图所示其中G(t)为矩形脉冲，脉幅为E，脉宽为，试求其频谱。)cos()()(0twtGtf解：G(t)矩形脉冲的频谱为：)2()(wSaEwG根据频移特性：f(t)的频谱F(w)为2)(22)(2)(21)(21)(0000wwSaEwwSaEwwGwwGwF（书P133）0A2/t2/)(tf2/At2/ttf0cos)(000)(jF2E0)(jFτE书例3-5：（书P134）注意“1”的作用利用频移定理求余弦信号的频谱。0()cos()ftt=w已知解一：)]()([)(21cos00000tjtjeet解二：F[1]2()=pdw000F[cos()][()()]t\w=pdw+w+dw-w)]()([)(21cos00000tjtjeettt0cos100)()(0)(F余弦信号及其频谱函数注意：周期信号也存在傅里叶变换()()(0)()(0)()tFfdFjfttfFdjt则，7.时域积分特性()()ftF若证明方法一：书P.135证明方法二：利用卷积定理(0)()Fftdt¥-?=ò正向应用逆向应用应用：ìïïíïïî更常用时域积分性质应用举例：例1：(补充)[()]1,(τ)τ]tFtd-?d=dò已知求F[解：直接套用性质用被积函数的傅氏变换来表示积分后的傅氏变换正向应用()=[()]1,FFt设1=j()F[()](0)tFfdFj则即：()()ytYj0t10tt01t0t11()()()dytytYjdt00121()1()(0)()()2tjtYjYjYSaejj()()tdyytdd00211()(),(0)12tjtdyYjSaeYd而解：（书例3-7）用时域积分性质求y(t)的频谱求导逆向应用对所求函数先微分再表示成积分形式例1：易出错处：微分后再积分不一定等于原函数！()0f取决于是否为-?sgn()t用时域积分性质求符号函数的频谱1()2()FFjj解：()sgn()()fttF0t11求导11()()()dftftFdt=玾t0(2)（补充）(τ)τ()()τtdfdftfd-?=--?ò(τ)(τ)()τ()τ-1ττttdfdfftdfddd-??\=+-?蝌1()=F[()]=F[2()]2dFfttdtwd=而11()()(0)()2()FFFjw\w=+pdw-pdww例2：代入上式得：8.时域微分特性()()ftF若1()()j()dftFFdt玾=ww则()()()j()nnndftFFdt玾=ww证明：书P.134正向应用逆向应用ìïïíïïî应用：（有条件）时域微分性质应用举例：1F[]()du(t)u(t)jdt=+pdww已知,求的傅里叶变换正向应用：例1：（补充）解：[][]du(t)FjFu(t)dt=w1[()]1jj=w+pdw=w用原函数的傅氏变换来表示微分后的傅氏变换直接套用性质直接套用性质即：]1,du(t)u(t)dt=已知F[求的傅里叶变换。例：[][]1du(t)FjFu(t)dt=w=1[]Fu(t)j\=w？逆向应用：即：用微分后的傅氏变换来表示原函数的傅氏变换思考：为什么结果错误？()()()0()()nnFffftFjw+?-?玾=w当时，（）1d()()]()()()dtftftFFjF玾玾=ww设，、例2（补充）：()1()()[()()]FFffjww证明：特别：所有的时限信号都满足上述条件。()()ff+??其中、为有限值逆向应用条件:sgn()t0t11sgn()t用时域微分性质求符号函数的频谱()()0ff非时限信号，但满足+?-?()()()0ftff满足可以逆向应用时域微分性质解：()sgn()()fttF0t11求导11()()()dftftFdt=玾t0(2)1()2()FFjj逆向应用例3（补充）()yt0t10t思考:能否用时域微分性质求y(t)的频谱?()Yj易出错处：逆向应用时域微分性质是有条件的()()0()()()nnffFftFj只有当时，（）+?-?w玾=w已知三角脉冲信号)2(0)2()21()(tttEtftE022()ft求其频谱()Fw例4（书例3-6）()Fw2()Fw　tE2022E2E4求导解一：用时域积分性质注意：微积分关系式成立的条件11(τ)()ττtdfftdd-?=ò(τ)()ττtdfftdd-?=òtE2022E21()()dftftdt=12()()dftftdt=tE022()ft1()Fw再求导逆向应用22jj2222E()F[()]F{[(t)(t)2(t)]}222E8E(ee2)sin()4Ffttt-wwttw==d++d--dtwt=+-=-tt22()(0)FFw第一步：求及：212()()(0)(),jFFFw\w=+pdww11(τ)()ττtdfftdd-?=ò　21()()FFww第二步：利用求：22(0)()dt0Fft¥-?==ò且221()18E([sin()]jj4FFwwt\w==-wwt）22(0)()dt0Fft¥-?==ò而1(τ)τdfd玾２且Ｆ（）已求出。2212()18E()[sin()]()j(j)424FEFSawwttwt\w==-=wwt1()()FFww第三步：利用求(τ)(τ)()τττtdfdfftddd-?=玾ò１　　　且Ｆ（）已求出。1111()()(0)(),(0)()dt0jFFFFft¥-?w\w=+pdw==wò而)(()ftF«wtE02211()()()dfttdtFf=?w2222())()(dfttdtFf=?wtE2022E2E4求导再求导tE2022E2解法二：用时域微分性质()()()0ftff满足可以逆向应用时域微分性质第一步：判断能否逆用逆向应用第二步：求出二阶导数的频谱F2(w).2222()()()()()()FTFTftFwdftFwjwFwdt第三步：逆向用时域微分性质求f(t)的频谱F(w)：222222()28E()2sin()4jwjwFTdftEFweedt)(2)2()2(2)(22tttEdttfd2221()()()()24EFwFwSajw2()()24EwFwSa其幅频图02E)()(422wSaEwF4848w解法一：用时域积分性质解法二：用时域微分性质思考：2、对分段线性的信号哪种是更普遍的方法？1、本例两种方法中哪种更简单？解法三：应用时域卷积定理至于微分几次要视实际情况来定2、逆向应用两性质的思想是相同的：1、正向应用时：直接套用公式，没有要注意的问题3、