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2004年高考数学试卷（理）全国1卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（1﹣i）2•i=（）A．2﹣2iB．2+2iC．﹣2D．22．（5分）已知函数f（x）=lg，若f（a）=b，则f（﹣a）等于（）A．BB．﹣bC．D．﹣3．（5分）已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||=（）A．B．C．D．44．（5分）函数y=+1（x≥1）的反函数是（）A．y=x2﹣2x+2（x＜1）B．y=x2﹣2x+2（x≥1）C．y=x2﹣2x（x＜1）D．y=x2﹣2x（x≥1）5．（5分）的展开式中常数项是（）A．14B．﹣14C．42D．﹣426．（5分）设A、B、I均为非空集合，且满足A⊆B⊆I，则下列各式中错误的是（）A．（∁IA）∪B=IB．（∁IA）∪（∁IB）=IC．A∩（∁IB）=∅D．（∁IA）∩（∁IB）=∁IB7．（5分）+y2=1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于（）A．B．C．D．48．（5分）设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣2，2]C．[﹣1，1]D．[﹣4，4]9．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度10．（5分）已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H．设四面体EFGH的表面积为T，则等于（）A．B．C．D．11．（5分）从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）a2+b2=1，b2+c2=2，c2+a2=2，则ab+bc+ca的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣﹣D．+二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）不等式|x+2|≥|x|的解集是_________14．（4分）由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为_________．15．（4分）已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）an﹣1（n≥2），则{an}的通项_________．16．（4分）已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面结论中，正确结论的编号是_________（写出所有正确结论的编号）三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）求函数的最小正周期、最大值和最小值．18．（12分）一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响．假设该时刻有ξ部电话占线．试求随机变量ξ的概率分布和它的期望．19．（12分）已知a∈R，求函数f（x）=x2eax的单调区间．20．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°．（I）求点P到平面ABCD的距离，（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小．21．（12分）设双曲线C：=1（a＞0）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．（Ⅰ）求双曲线C的离心率e的取值范围：（Ⅱ）设直线l与y轴的交点为P，且．求a的值．22．（14分）已知数列{an}中a1=1，且a2k=a2k﹣1+（﹣1）k，a2k+1=a2k+3k，其中k=1，2，3，…．（I）求a3，a5；（II）求{an}的通项公式．2004年高考数学试卷（理）全国1卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（1﹣i）2•i=（）A．2﹣2iB．2+2iC．﹣2D．2考点：复数代数形式的混合运算．菁优网版权所有分析：直接化简复数即可．解答：解：（1﹣i）2•i=﹣2i•i=2故选D．点评：本题查复数代数形式的混合运算，是基础题．2．（5分）已知函数f（x）=lg，若f（a）=b，则f（﹣a）等于（）A．BB．﹣bC．D．﹣考点：函数奇偶性的性质；对数的运算性质．菁优网版权所有专题：计算题．分析：方法一：将﹣a代入函数解析式变形整理即可访求二：用定义可以验证f（﹣x）=﹣f（x），故函数f（x）是奇函数，利用奇函数的性质求解．解答：解：方法一：f（﹣a）=lg=﹣lg=﹣f（a）=﹣b．方法二：f（﹣x）=lg=﹣lg=﹣f（x），故函数f（x）是奇函数，∵f（a）=b，∴f（﹣a）=﹣b故应选B．点评：考查奇函数的定义法证明（方法二）及利用定义法证明中的变形技巧（方法一）做题．3．（5分）已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||=（）A．B．C．D．4考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．菁优网版权所有分析：求向量模的运算，一般要对模的表达式平方整理，平方后变为向量的模和两个向量的数量积，根据所给的单位向量和它们的夹角代入数据求出结果．解答：解：∵均为单位向量，它们的夹角为60°∴||=1，||=1，=cos60°∴||===故选C．点评：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质．4．（5分）函数y=+1（x≥1）的反函数是（）A．y=x2﹣2x+2（x＜1）B．y=x2﹣2x+2（x≥1）C．y=x2﹣2x（x＜1）D．y=x2﹣2x（x≥1）考点：反函数．菁优网版权所有专题：计算题．分析：求反函数，第一步从原函数式中反解出x，第二步互换x，y，最后确定反函数的定义域．解答：解：∵y=+1（x≥1）⇒y≥1，反解x⇒x=（y﹣1）2+1⇒x=y2﹣2y+2（y≥1），x、y互换，得⇒y=x2﹣2x+2（x≥1）．故选B．点评：本题主要考查了反函数的求法，求解时，一定要注意反函数的定义的确定，属于基础题．5．（5分）的展开式中常数项是（）A．14B．﹣14C．42D．﹣42考点：二项式定理．菁优网版权所有分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得到常数项．解答：解：展开式的通项为=令得r=6故常数项为2C76=14故选A点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．6．（5分）设A、B、I均为非空集合，且满足A⊆B⊆I，则下列各式中错误的是（）A．（∁IA）∪B=IB．（∁IA）∪（∁IB）=IC．A∩（∁IB）=∅D．（∁IA）∩（∁IB）=∁IB考点：交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．菁优网版权所有专题：数形结合．分析：先画出文氏图，据图判断各答案的正确性，或者利用特殊元素法．解答：解一：∵A、B、I满足A⊆B⊆I，先画出文氏图，根据文氏图可判断出A、C、D都是正确的，故选B．解二：设非空集合A、B、I分别为A={1}，B={1，2}，I={1，2，3}且满足A⊆B⊆I．根据设出的三个特殊的集合A、B、I可判断出A、C、D都是正确的，故选B．点评：本题体现数形结合的数学思想和特殊值的方法．7．（5分）+y2=1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于（）A．B．C．D．4考点：椭圆的简单性质．菁优网版权所有专题：计算题．分析：先根据椭圆的方程求得椭圆的左准线方程，进而根据椭圆的第二定义求得答案．解答：解：椭圆的左准线方程为x=﹣=﹣．∵=e=，∴|PF2|=．故选C点评：本题主要考查了椭圆的定义．属基础题．8．（5分）设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣2，2]C．[﹣1，1]D．[﹣4，4]考点：抛物线的应用；直线的斜率；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；抛物线的简单性质．菁优网版权所有专题：计算题．分析：根据抛物线方程求得Q点坐标，设过Q点的直线l方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于等于0求得k的范围．解答：解：∵y2=8x，∴Q（﹣2，0）（Q为准线与x轴的交点），设过Q点的直线l方程为y=k（x+2）．∵l与抛物线有公共点，有解，∴方程组即k2x2+（4k2﹣8）+4k2=0有解．∴△=（4k2﹣8）2﹣16k4≥0，即k2≤1．∴﹣1≤k≤1，故选C．点评：本题主要考查了抛物线的应用．涉及直线与抛物线的关系，常需要把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理或判别式解决问题．9．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有专题：计算题．分析：先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin（2x﹣）到y=cos2x的路线，确定选项．解答：解：∵y=sin（2x﹣）=cos[﹣（2x﹣）]=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）=cos[2（x﹣）]，∴将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度．故选B．点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意变换顺序．10．（5分）已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H．设四面体EFGH的表面积为T，则等于（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有专题：计算题．分析：因为正四面体四个面都是正△，其中心到顶点的距离等于到对边距离的一半，通过作出辅助线，可得两四面体的边长比，由面积比是边长比的平方，可得出答案．解答：解：如图所示，正四面体ABCD四个面的中心分别为E、F、G、H，∴四面体EFGH也是正四面体．连接AE并延长与CD交于点M，连接AG并延长与BC交于点N．∵E、G分别为面的中心，∴==．∴=．又∵MN=BD，∴=．∵面积比是相似比的平方，∴两四面体的面积比为；=．故答案为：A点评：本题考查了多面体的面积比是边长比的平方，本题关键是求边长比是多少；类似的有体积比是边长比的立方，三角形的高，中线，角平分线的比等于边长的比．11．（5分）从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（）A．B．C．D．考点：排列、组合的实际应用；等可能事件的概率．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：首先计算从5个数字中随机抽取3个数字的总情况数目，再分情况讨论其中各位数字之和等于9的三位数，计算其可能的情况数目，由古典概型的计算公式，计算可得答案．解答：解：从1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复），可以组成5×5×5=125个不同的三位数，其中各位数字之和等于9的三位数可分为以下情形：①由1，3，5三个数字组成的三位数：135，153，315，351，513，531共6个；②由1，4，4三个数字组成的三位数：144，414，441，共3个；③同理由2，3，4三个数字可以组成6个不同的三位数；④由2，2，5三个数字可以组成3个不同的三位数；⑤由3，3，3三个数字可以组成1个三位数，即333．故满足条件的三位数共有6+3+6+3+1=19，所求的概率为．点评：本题考查排列、组合的综合应用，涉及古典概型的计算，解题时需分类讨论，注意要按一定的顺序，做到不重不漏．12．（5分）a2+b2=1，b2+c2=2，c2+a2=2，则ab+bc+ca的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣﹣D．+考点：基本不等式．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：先把题设中的三个等式联立可求得a，b和c，再把它们的值代入所求代数式，即可得解．解答：解：∵b2+c