第五章_二次曲线的一般理论

§5.2二次曲线的渐近方向、中心、渐近线教学目标：⑴理解二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念；⑵掌握二次曲线的渐近方向、中心、渐近线的求法；⑶能根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。教学重点：二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念及求法。教学难点：根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。§5.2二次曲线的渐近方向、中心、渐近线1.二次曲线的渐近方向定义5.2.1满足条件Φ(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向。命题：任一二次曲线至多有二渐近方向，具体地⑴当0222112112aaaaI时，曲线没有实渐近方向；⑵当02I时，曲线有二不同实渐近方向；⑶当02I时，曲线有二相同实渐近方向。事实上，YX:为渐近方向0),(YX0222212211YaXYaXa命题：任一二次曲线至多有二渐近方向，具体地⑴当0222112112aaaaI时，曲线有二共轭复渐近方向；⑵当02I时，曲线有二不同实渐近方向；⑶当02I时，曲线有二相同实渐近方向。事实上，YX:为渐近方向0),(YX0222212211YaXYaXa)0(02)(112212211aaYXaYXa)0(:)(:1111212aaIaYX0222212211YaXYaXa)0(02)(221112222aaXYaXYa或)0,0,0(012121112aaaXYa或)0(:)(:2222212aaIaXY或)0,0,0()1:0(0:1:121112aaaYX或或2221001baI0122ba12222byax可见，对椭圆，∵12222byax对双曲线∴它有二不同实渐近方向；∴它有二相同的实渐近方向；01222baI，∵001002I，∵∴它没有实渐近方向；pxy22对抛物线1xy对双曲线∴它也有二不同实渐近方向；0412I，∵定义5.2.2没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的,有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的,有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的。即:⑴椭圆型:I20；⑵抛物型:I2＝0；⑶双曲型:I202.二次曲线的中心与渐近线定义5.2.3如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫做二次曲线的中心。定理5.2.1点C(x0,y0)是二次曲线(1)的中心，其充要条件是：)12.5(*)(0),(0),(2302201200213012011001ayaxayxFayaxayxF二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定：)22.5(0),(0),(23221221312111ayaxayxFayaxayxF如果I2≠0，则(5.2－2)有唯一解，即为唯一中心坐标如果I2＝0，分两种情况：.)22.5(231322121211无解，没有中心时，当aaaaaa这条直线叫中心直线。都是二次曲线的中心，点无数多解，直线上所有时，当)22.5(231322121211aaaaaa定义5.2.4有唯一中心的二次曲线叫中心二次曲线,没有中心的二次曲线叫无心二次曲线,有一条中心直线的二次曲线叫线心二次曲线,无心二次曲线和线心二次曲线统称为非中心二次曲线。①二次曲线为中心二次曲线02I二次曲线分类：②二次曲线为无心二次曲线231322122::,0aaaaI且③二次曲线为线心二次曲线231322122::,0aaaaI且渐近线求法：求出中心，再求出渐近方向即可得到渐近线的参数方程。定义5.2.5通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线。可见：椭圆型二次曲线没有实渐近线;双曲型二次曲线有二不同实渐近线;而对抛物型二次曲线,若其为无心的,则其没有渐近线,若其为线性的,则由于其渐近方向为2212::aaYX，而这正是中心直线的方向，∴它的渐近线即为中心直线。定理5.2.2二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上成为二次曲线的组成部分。事实上，设tYyytXxxl00:为渐近线，其中),(00yx为中心，YX:为渐近方向。∴0),(YX且0),(),(002001YyxFXyxF，∴若0),(00yxF，若0),(00yxF，则l整个在曲线上。则l与曲线不相交，§5.3二次曲线的直径1.二次曲线的直径在§5.1中我们已经讨论了直线与二次曲线相交的各种情况，当直线平行于二次曲线的某一非渐近方向时，这条直线与二次曲线总交于两点(两个不同实的，两重合实的或一对共轭虚的),这两点决定了二次曲线的一条弦.现在我们来研究二次曲线上一族平行弦的中点轨迹.求二次曲线的一族平行弦的中点轨迹.即，解0),(YX而是平行于方向的弦的中点，00(,)xy:XYYX:设是二次曲线的一个非渐近方向，:XY那么过的弦的方程为00(,)xy00,.xxXtyyYt它与二次曲线的两交点(即弦的两端点)由下列二次方程(,)0Fxy210020000(,)2[(,)(,)](,)0XYtXFxyYFxytFxy(1)从而有12(,)(,)0,XFxyYFxy(5.3-1)两根与所决定,因为为弦的中点，所以有1t2t00(,)xy120,tt100200(,)(,)0.XFxyYFxy这就是说平行于方向的弦的中点的坐标满足方程,XY00(,)xy即111213122223()()0,XaxayaYaxaya(5.3-2)或上列方程的一次项系数不能全为零，这时因为若则一条直线.(5.3-3)所以(5.3-3)或(5.3-1)是一个二元一次方程，它是反过来，111212221323()()0.aXaYxaXaYyaXaY111212220aXaYaXaY2211122211121222(,)2()()0,XYaXaXYaYaXaYXaXaYY这与是非渐近方向的假设矛盾，:XY12(,)(,)0,XFxyYFxy(5.3-1)定理5.3.1二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是一条直线.),(00yx如果点满足方程(5.3-1)100200(,)(,)0,XFxyYFxy(5.3-1)那么方程(1)中将有绝对值相等而符号相反的两个根，210020000(,)2[(,)(,)](,)0XYtXFxyYFxytFxy(1)点就是具有方向的弦的中点，),(00yxYX,YX,因此方程(5.3-1)为一族平行于某一非渐近方向的弦的中点轨迹方程.得到了结论－－定理！下面引进二次曲线直径的概念定义5.3.1二次曲线的平行弦中点的轨迹叫做这个二次曲线的直径，它所对应的平行弦，叫做共轭于这条直径的共轭弦；而直径也叫做共轭于平行弦方向的直径.有多少条直径?（5.3-4）12(,)(,)0.XFxyYFxy推论如果二次曲线的一族平行弦的方向为，那么共轭于这族平行弦的直径方程是:XY中心与非中心二次曲线的直径1.中心二次曲线中心满足:(2)(3)直径方程:12(,)(,)0,XFxyYFxy所以,直径过中心.所有直径都过中心1111213(,)0,Fxyaxaya2112223(,)0,Fxyaxaya111213122223()()0,XaxayaYaxaya1.非中心二次曲线非中心二次曲线满足(2)(3)又分两种情形或无心曲线：直径平行渐近方向因直径方程:12(,)(,)0,XFxyYFxy111213122223aaaaaa111213122223aaaaaa1111213(,)0,Fxyaxaya2112223(,)0,Fxyaxaya111213122223aaaaaa111212221323()()0.aXaYxaXaYyaXaY方向矢量12221112():()aXaYaXaY11121222aakaa22221212():()kaXaYkaXaY2212:aa容易验证2212:aa是渐近方向;因为此时：22111222(,)20XYaXaXYaY线心曲线：直径就是其中心直线可以化为因为直径方程131112122223aaakaaa111212221323()()0.aXaYxaXaYyaXaY111212221323()()0.aXaYxaXaYyaXaY12(,)(,)0,XFxyYFxy或定理5.3.2中心二次曲线的直径通过曲线中心，无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向,线心二次曲线的直径只有一条,就是曲线的中心直线.12(,)(,)0,XFxyYFxy1111213(,)0,Fxyaxaya11121222aaaa因此当，即二次曲线为中心曲线时,它的全部直径属于一个中心直线束，这个直线束的中心就是二次曲线的中心；当，即二次曲线为无心曲线时，直径属于一个平行线束；111213122223aaaaaa0),(2322122ayaxayxF例1求椭圆或双曲线的直径.解12(,)(,)0,XFxyYFxy(5.3-1)显然，直径通过曲线的中心22221xyab2222(,)10,xyFxyab12(,),xFxya22(,).yFxyb220,XYxyab根据(5.3-1),共轭于非渐近方向的直径方程是:XY(0,0)例2解求抛物线的直径.pxy22,02),(2ypxyxF,),(1pyxF.),(2yyxF所以共轭于非渐近方向的直径为YX:,0YyXp即,pYXy所以抛物线的直径平行于它的渐近方向pxy22.0:112(,)(,)0,XFxyYFxy(5.3-1)解直径方程为即例3求二次曲线的共轭于非渐近方向的直径.:XY1(,)1,Fxyxy2(,)1,Fxyxy(1)(1)0,XxyYxy()(1)0.XYxy因为已知曲线的渐近方向为0),(yxF'':1:1,XY所以对于非渐近方向一定有YX:,XY03222),(22yxyxyxyxF2.共轭方向与共轭直径所以有其中(4)''12221112:():()XYaXaYaXaY我们把二次曲线的与非渐近方向共轭的直径方向:XYYX:叫做非渐近方向的共轭方向，:XY'1222(),XaXaYt'1112(),YaXaYt0t10,xy因此曲线的共轭于非渐近方向的直径为:XY因此有所以另外又有，0t因此得以下结论''221112221212222221112221112(,)()2()()()XYaaXaYtaaXaYaXaYtaaXaYt2222112212111222()(2)aaaaXaXYaYt22(,)IXYt(,)0,XYYX:因为为非渐近方向，:XY这就是说，中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是非渐近方向，而在非中心二次曲线的情形是渐近方向.(5.3-5)非渐近方向当即二次曲线为中心曲线时，；20I''(,)0XY当即二次曲线为非中心曲线时，20I''(,)0.XY''''111222()0.aXXaXYXYaYY从(5.3-5)式看出，两个方向与是对称的，因此对中心曲线来说，非渐近方向的共轭方向为，而的共轭方向就是':XY'':XY'':XY:XY:XY:XY由(4)得二次曲线的非渐近方向与它的共轭方向之间的关系YX:'':YX(4)''12221112:():()XYaXaYaXaY22(,)IXYt),(YX中心曲线的一对具有相互共轭方向的直径叫做一对共轭直径.定义5.3.2设代入(5.3-5)，得(5.3-