高一数学必修四 2.5平面向量应用举例

2.5.1平面几何中的向量方法求证：平行四边形两条对角线的平方和等于相邻两边的平方和的两倍。DACB2||AB,,ABaADb证明：设2||a2||AD2||b22||||ACab2()ab222aabb2a2b22||||DBab2()ab222aabb22||||ACDB222()ab222()ABAD.1例所以，平行四边形两条对角线的平方和等于相邻两边的平方和的两倍.几何问题向量化向量运算关系化向量关系几何化利用向量解决平面几何问题举例用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：简述：几何问题向量化向量运算关系化向量关系几何化（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。例2如图，ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？ABCDEFRT利用向量解决平面几何问题举例简述：几何问题向量化向量运算关系化向量关系几何化例2．如图，在□ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于点R、T两点.你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？解：ABDCEFRTab,,bADaAB设由图可猜想：AR=RT=TC.证明如下：则由//,ARAC得ARxAC.xR()xab又ARAEER12bER而//,EREB∴ERyEB1(),2yab.yR11()22ARbyab,xaxb1,.2yyabyR由向量基本定理得12xyyx1.3xy1.3ARACABDCEFRTab同理可证：1.3TCAC1.3ARAC于是1.3RTAC故猜想：AR=RT=TC成立.2.5.2向量在物理中的应用举例探究（一）：向量在力学中的应用思考1：如图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个重量是10N的灯具，根据力的平衡理论，每根绳子的拉力与灯具的重力具有什么关系？每根绳子的拉力是多少？120°OCBA10N|F1|=|F2|=10NF1+F2+G=0思考2：两个人共提一个旅行包，或在单杠上做引体向上运动，根据生活经验，两只手臂的夹角大小与所耗力气的大小有什么关系？夹角越大越费力.思考3：假设两只手臂的拉力大小相等，夹角为θ，那么|F1|、|G|、θ之间的关系如何？FF1F2Gθ上述关系表明，若重力G一定，则拉力的大小是关于夹角θ的函数.并且拉力大小和夹角大小成正比例关系.θ∈[0°，180°)2cos21GF探究（二）：向量在运动学中的应用思考1：如图，一条河的两岸平行，一艘船从A处出发到河对岸，已知船在静水中的速度|v1|＝10㎞/h，水流速度|v2|＝2㎞/h，如果船垂直向对岸驶去，那么船的实际速度v的大小是多少？Ahkmvvvvv/10422121思考2：如果船沿与上游河岸成60°方向行驶，那么船的实际速度v的大小是多少？v1v2v60°hkmvhkmv/2/1021hkmvvvvv/8422121思考3：船应沿什么方向行驶，才能使航程最短？v1v2vABC与上游河岸的夹角为78.73°.思考4：如果河的宽度d＝500m，那么船行驶到对岸至少要几分钟？0.5603.1(min).||96dtv所以hkmvhkmv/2/1021“向量法解决几何问题”的两个角度：非坐标角度和坐标角度例3.如图，正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量证明：（1）PA=EF（2）PA⊥EFABCDPEF1、已知：AD、BE、CF是△ABC的三条中线；求证：AD、BE、CF交于一点．2、已知△ABC的三个顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则重心G的坐标为____________________．3、用向量法证明：三角形三条高线交于一点．1、已知：AD、BE、CF是△ABC的三条中线；求证：AD、BE、CF交于一点．证明：如图AD、BE相交于点G，联结DE．ABCDEGF易知△GDE∽△GAB，DE＝AB．12所以，BG＝BE．23CG＝CB+BG＝CB+BE23＝CB+(CA-CB)2312＝(CB+CA)131、已知：AD、BE、CF是△ABC的三条中线；求证：AD、BE、CF交于一点．因此C、G、F三点在同一直线上．所以，AD、BE、CF交于一点．所以CG＝CF，23＝(CB＋CA)13即CG又因为CF＝(CB＋CA)．12ABCDEGF2、已知△ABC的三个顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则重心G的坐标为____________________．(，)x1+x2+x33y1+y2+y33OG＝OA＋AG＝OA＋AD23＝OA＋(AB＋AC)13＝OA＋(OB－OA＋OC－OA)13＝OA＋OB＋OC3解：设原点为O，则3、用向量法证明：三角形三条高线交于一点．ABCDEHF证明：设H是高线BE、CF的交点，且设AB＝a，AC＝b，AH＝h，则有BH＝h－a，CH＝h－b，BC＝b－a．所以(h－a)·b＝(h－b)·a＝0．化简得h·(a－b)＝0AH⊥BC．因为BH⊥AC，CH⊥AB．所以，三角形三条高线交于一点．三角形四心的向量表示（1）若O是△ABC所在平面上一点，且满足OAOBOC，则点O是△ABC的心;（2）若G是△ABC所在平面上一点，且满足GA→＋GB→＋GC→＝0,则点G是ABC的心;外重三角形四心的向量表示（3）.已知O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的心；（4）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→，则点O是△ABC的心.内垂例1、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P点的轨迹一定通过△ABC的（）A外心B内心C重心D垂心)(ACABOAOP点拨：由得出由平行四边形法则和共线定理可得AP一定经过△ABC的重心。)(ACABOAOP)(ACABAPC变式1、已知P是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，点O满足则O点一定是△ABC的（）A外心B内心C重心D垂心点拨：由得出故O是△ABC的重心。300POPAPBPCPOPAPOPBPOPCAOBOCO13POPAPBPC13POPAPBPCC变式2、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P点的轨迹一定通过△ABC的（）A外心B内心C重心D垂心)0[)sinsin(，CACACBABABOAOP点拨：在△ABC中，由正弦定理有令则由平行四边形法则和共线定理可得AP一定经过△ABC的重心。CACBABsinsinCACBABtsinsin)0[)(，tACABtOAOP)(ACABtAP)0[)sinsin(，CACACBABABOAOPC例2、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P点的轨迹一定通过△ABC的（）A外心B内心C重心D垂心)0[)coscos(2，CACACBABABOCOBOP点拨：取BC的中点D，则由已知条件可得又因为所以所以DP是BC的垂直平分线，所以P点的轨迹一定经过△ABC的外心。2OCOBOD)0[)coscos(，CACACBABABDP()()0coscos-+ABBCACBCBCDPBCBCABBACCDPBC)0[)coscos(，CACACBABABDPA外心的向量表示结论2：△ABC所在平面一定点O，动点P满足P点轨迹经过△ABC的外心结论1：O是三角形的外心或OCOBOA222OCOBOA)0[)coscos(2，CACACBABABOCOBOP例3、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P点的轨迹一定通过△ABC的（）A外心B内心C重心D垂心)0[)coscos(，CACACBABABOAOP点拨：由已知等式可知在等式的两边同时乘以即故点P的轨迹一定通过△ABC的垂心。)0[)coscos(，CACACBABABAPBC()()0coscosABBCACBCBCAPBCBCABBACCBCAP)0[)coscos(，CACACBABABOAOPD变式3、已知O是平面上一点，A,B,C是平面上不共线的三个点，点O满足则O点一定是△ABC的（）A外心B内心C重心D垂心OAOCOCOBOBOA点拨：OAOBOBOC0-OAOBOBOC0-OAOCOB0CAOB同理可得CAOBCBOAABOCD垂心的向量表示结论1：O是△ABC的垂心的充要条件是OAOCOCOBOBOA结论2、动点P满足P点的轨迹经过△ABC的垂心)0[)coscos(，CACACBABABOAOP例4、已知O是平面上一点,A、B、C是平面上不共线的三个点,(a,,b,c是△ABC的A,B,C所对的三边)点O满足则O点一定是△ABC的（）A外心B内心C重心D垂心点拨：由已知条件可得同理可得0OCcOBbOAa0++aOAbOAABcOAAC()abcOAbABcAC()abcOBbBAcBC()abcOCbCAcCB则O点一定是△ABC的内心B例5、已知非零向量与满足且，则△ABC为（）A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形点拨：从可知的平分线垂直对边BC，故△ABC为等腰三角形；可知cosA=，所以=60°，故△ABC为等边三角形。ABAC0)(BCACACABAB21)(ACACABAB0)(BCACACABABBAC21)(ACACABAB21A从D例6、已知O是平面上一点,A、B、C是平面上不共线的三个点,点O满足则O点一定是△ABC的（）A外心B内心C重心D垂心则O点一定是△ABC的内心0CBACCACAOCBCBCBABAOBACACABABOA四心逐个突破BABCO,,,:,,.OAaOBbOCcBCcbCAabABba则证：设例7、已知O为⊿ABC所在平面内一点，且满足:问：O是△ABC的____心。222222||||||||||||.OABCOBCAOCAB化简：222222:||||||||||||.OABCOBCAOCAB由题设222222()()()acbbaccba同理：,.BCOACAOB()0,ABOCbacbcac从而:cbacba得.ABOC垂心（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。小结1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：简述：几何问题向量化向量运算关系化向量关系几何化2.利用向量解决物理问题的基本步骤：①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模