高等数学 二重积分的概念与性质

第八章重积分第一节二重积分的概念与性质工科数学分析北京理工大学2009-2010学年第二学期柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.),(yxfzD１．曲顶柱体的体积一、问题的提出播放求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，xzyoD),(yxfzi),(ii先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，.),(lim10iiniifV曲顶柱体的体积的直径ini1max设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点),(yx处的面密度为),(yx，假定),(yx在D上连续，平面薄片的质量为多少？２．求平面薄片的质量i),(ii将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量.),(lim10iiniiMxyo定义设),(yxf是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域1，,2，n，其中i表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个i上任取一点),(ii，作乘积),(iifi，),,2,1(ni，并作和iiniif),(1，二、二重积分的概念积分区域如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域D上的二重积分，记为Ddyxf),(，即Ddyxf),(iiniif),(lim10.积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的.(2)当),(yxf在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在.对二重积分定义的说明：在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd故二重积分可写为xyoD则面积元素为１、上可积。在区域则上连续，在平面有界闭区域若DyxfDyxf),(),(２、三、二重积分的存在性及几何意义二重积分存在的充分条件上可积。在区域），则在每个子区域上都连续分成有限个子区域，使分片连续（即可把上有界，并且在平面有界闭区域若DyxfyxfDDyxf),(),(),(二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．性质１当为常数时，k.),(),(DDdyxfkdyxkf性质２Ddyxgyxf)],(),([.),(),(DDdyxgdyxf（二重积分与定积分有类似的性质）四、二重积分的性质性质３对区域具有可加性.),(),(),(21DDDdyxfdyxfdyxf性质４若为D的面积，.1DDdd性质５若在D上),,(),(yxgyxf.),(),(DDdyxgdyxf特殊地.),(),(DDdyxfdyxf)(21DDD则有设M、m分别是),(yxf在闭区域D上的最大值和最小值，为D的面积，则性质６设函数),(yxf在闭区域D上连续，为D的面积，则在D上至少存在一点),(使得性质７（二重积分中值定理）DMdyxfm),(),(),(fdyxfD（二重积分估值不等式）性质8.d2dDDy)f(x,=y)f(-x,xy)(x,Dy)f(x,yD0;dy)f(x,-=y)f(-x,xy)f(x,Dy)f(x,yD11DDDy)f(x,y)f(x,则，满足函数，即是关于f上可在轴对称，函数关于设区域y)f(x,，则即满满是奇函数，关于上可积可在轴对称，函数关于设区域一半区域，的右边是并设偶积，如果.d2dDDy)f(x,=f(x,-y)yy)(x,Dy)f(x,xD0;dy)f(x,-=f(x,-y)yy)f(x,Dy)f(x,xD22DDDy)f(x,y)f(x,则，满足函数，即是关于f上可在轴对称，函数关于设区域y)f(x,，则即满是奇函数，关于上可积可在轴对称，函数关于设区域一半区域，的上边是并设偶积，足如果例1不作计算，估计deIDyx)(22的值，其中D是椭圆闭区域：12222byax)0(ab.在D上2220ayx,,12220ayxeee由性质6知,222)(aDyxede解deDyx)(22ab.2aeab区域D的面积ab例2估计DxyyxdI16222的值，其中D：20,10yx.区域面积2,,16)(1),(2yxyxf在D上),(yxf的最大值)0(41yxM),(yxf的最小值5143122m)2,1(yx故4252I.5.04.0I解例3判断122)ln(yxrdxdyyx的符号.当1yxr时,,1)(0222yxyx故0)ln(22yx;又当1yx时,,0)ln(22yx于是0)ln(122yxrdxdyyx.解例4比较积分Ddyx)ln(与Ddyx2)][ln(的大小,其中D是三角形闭区域,三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).解三角形斜边方程2yx在D内有eyx21,故1)ln(yx,于是2)ln()ln(yxyx,因此Ddyx)ln(Ddyx2)][ln(.oxy121D二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（和式的极限）五、小结二重积分的存在性作业•P1492，3，5，6思考题将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数．思考题解答一、填空题:1、当函数),(yxf在闭区域D上______________时,则其在D上的二重积分必定存在.2、二重积分Ddyxf),(的几何意义是___________________________________.3、若),(yxf在有界闭区域D上可积,且21DDD,当0),(yxf时,则1),(Ddyxf__________2),(Ddyxf;当0),(yxf时,则1),(Ddyxf__________2),(Ddyxf.练习题4、Ddyx)sin(22__________,其中是圆域2224yx的面积,16.二、利用二重积分定义证明:DDdyxfkdyxkf),(),(.(其中k为常数)三、比较下列积分的大小:1、DDdyxdyx322)()(与,其中D是由圆2)1()2(22yx所围成.2、dyxdyxD2)][ln()ln(与,其中D是矩形闭区域:10,53yx.四、估计积分DdyxI)94(22的值,其中D是圆形区域:422yx.一、1、连续；2、以),(yxfz为曲顶,以D为底的曲顶柱体体积的代数和；3、,；4、.三、1、DDdyxdyx32)()(；2、dyxdyxD2)][ln()ln(.四、100)94(3622dyx.练习题答案