高等数学 第一章 函数极限与连续 教案

《高等数学》（微积分）教案1【教学内容】§1.1函数【教学目的】理解并掌握函数的概念与性质【教学重点】函数的概念与性质【教学难点】函数概念的理解【教学时数】4学时【教学过程】一、组织教学，引入新课极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限.因此掌握极限的思想与方法是学好高等数学的前提条件.本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念。二、讲授新课（一）、实数概述1、实数与数轴（1）实数系表（2）实数与数轴关系（3）实数的性质：封闭性有序性稠密性连续性2、实数的绝对值（1）绝对值的定义：,0,0xxxxx（2）绝对值的几何意义（3）绝对值的性质练习：解下列绝对值不等式：①53x，②12x3、区间（1）区间的定义：区间是实数集的子集（2）区间的分类：有限区间、无限区间①有限区间：长度有限的区间设a与b均为实数，且ab，则《高等数学》（微积分）教案2数集{xaxb}为以a、b为端点的闭区间，记作[a，b]数集{xaxb}为以a、b为端点的开区间，记作（a，b）数集{xaxb}为以a、b为端点的半开半闭区间，记作[a，b）数集{xaxb}为以a、b为端点的半开半闭区间，记作（a，b]区间长度：ba②无限区间数集{xax}记作[a，），数集{xax}记作（a，）数集{xxa}记作（，a]，数集{xxa}记作（，a）实数集R记作（，）（3）邻域①邻域：设a与均为实数，且0，则开区间（a，a）为点a的邻域记作(,)Ua，其中点a为邻域的中心，为邻域的半径。②去心邻域：在的邻域中去掉点a后，称为点a的去心邻域，记作(,)Ua。（二）、函数的概念1、函数的定义：设有一非空实数集D，如果存在一个对应法则f，使得对于每一个Dx，都有一个惟一的实数y与之对应，则称对应法则f是定义在D上的一个函数.记作()yfx，其中x为自变量，y为因变量，习惯上y称是的函数。定义域：使函数()yfx有意义的自变量的全体，即自变量x的取值范围D函数值：当自变量x取定义域D内的某一定值0x时，按对应法则f所得的对应值0y称为函数()yfx在0xx时的函数值，记作00()yfx。值域：当自变量x取遍D中的一切数时，所对应的函数值y构成的集合，记作M，即DxxfyyM),(函数的二要素：定义域、对应法则《高等数学》（微积分）教案3【例1.1】设11)(xxf，求（1）)1(xf；（2）xff1．答：（1）xxxf11)1(1)1(；（2）12111111xxxxxxfxff【例1.2】设34)1(2xxxf，求)(xf，xf1.答：62)(2xxxf，xf1=)621(16121222xxxxx．【例2】判断下列每组的两个函数是否相同（1）22ln,lnyxyx，（2）2,yxyx【例3】求下列函数的定义域：（1）xxxf421)(2；（2）)(xf=21,110,1xx．答：（1）]4,2()2,2()2,(yD；（2）函数)(xf的定义域是[0，2]．2、函数的表示法（1）公式法：用数学表达式表示函数的方法分段函数：当自变量在定义域内的不同区间取值时，用不同的表达式表示的函数例如：绝对值函数,0,0xxyxxx；符号函数1,0sgn0,01,0xyxxx取整函数[],1yxnnxn现行出租车的收费标准：7.5,03()7.51.53,3xpxxx其中x表示不小于x的最小整数（2）列表法：将一系列自变量x的数值与对应的函数值y列成表格表示函数的方法（3）图形法：用图形表示函数的方法《高等数学》（微积分）教案4说明：三种形式各有其优点和不足，实际问题中往往把三种形式结合起来使用.3、函数的性质（1）单调性定义：设函数)(xfy的定义域为D，区间ID，若对I内的任意两点21,xx，当21xx时，)()(21xfxf，则称)(xfy在I上单调增加；若当21xx时，有)()(21xfxf，则称)(xf在I上单调减少，区间I称为单调区间.说明：讨论函数的单调性必须指明所在的区间。（2）奇偶性定义：设函数)(xfy在D上有定义，若对于任意的Dx，都有)()(xfxf，则称)(xfy为偶函数；若有)()(xfxf，则称)(xfy为奇函数.性质：奇函数与偶函数的定义域必定关于原点对称。偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称.【例4】判断下列函数的奇偶性．（1）)1,0(,2aaaayxx；(2)xxy11ln；（3）242)(xxxf；（4）1)(3xxf．答：(1)偶函数；(2)奇函数；（3）偶函数；（4）非奇非偶函数．（3）有界性定义：设函数的定义域为D，区间ID，若存在一个正数M，使得对任意的xI，恒有Mxf)(，则称函数y=f(x)在区间I上有界。若不存在一个正数M，则称函数)(xfy在区间I上无界.说明：讨论函数的有界性必须指明所在的区间。例如：sinyx与cosyx都在（,）内有界.1yx在（0，1）上无界，而在（1，2）上有界（4）周期性定义：设函数)(xfy在D上有定义，若存在一个非零的实数T，对于任意的Dx，恒《高等数学》（微积分）教案5有)()(xfTxf，则称)(xf是以T为周期的周期函数.最小正周期；周期函数的周期由无数个，其中正周期中最小的周期为最小正周期说明：通常所说的函数的周期，指的是最小正周期，但有些周期函数无最小正周期例如：xysin的周期是2，xytan的周期是，)sin(wxAy的周期是w2.函数cy,（c为常数）是周期函数，但不存在最小正周期,（三）、反函数1、定义：设函数)(xfy，其定义域为D，值域为M.如果对于每一个My，有惟一的一个Dx与之对应，并使)(xfy成立，则得到一个以y为自变量，x为因变量y的函数，称此函数为)(xfy的反函数，记作)(1yfx说明：)(1yfx的定义域为M，值域为D.因习惯上自变量、因变量分别用x、y表示，则)(xfy的反函数表示为)(1xfy例如：xy的反函数是2xy)0(x，其定义域就是xy的值域,0，值域是xy的定义域,02、性质：函数y=f(x)和其反函数)(1xfy的图象关于直线xy对称3、反函数的存在性：一一对应的函数一定有反函数，从而严格单调的函数一定有反函数【例5】求下列函数的反函数（1）21,(,)yxx；（2）1,(,)xyex（四）、初等函数1、基本初等函数（1）常数函数cy（c为常数），其图形为一条平行或重合于x轴的直线.（2）幂函数xy（为实数）,其在第一象限内的图形《高等数学》（微积分）教案6（3）指数函数xay（1,0aa），定义域为R，值域为),0(，（4）对数函数)1,0(logaaxya，定义域),0(，值域为R，图形如图1-3（b）所示.（5）三角函数xysin，xycos，xytan，xycot，xysec，xycsc.其中正弦函数xysin和余弦函数xycos的定义域都为R，值域都为1,1，正切函数xytan的定义域为ZkkxRxx,2,且，值域为R（6）反三角函数xyarcsin，xyarccos，xyarctan，xarcycot。其中xyarcsin与xyarccos的定义域都为1,1，值域分别为22，和,0y=arcanx的定义域R，值域为2,2，ππ（a）（b）《高等数学》（微积分）教案7ππππππ2、复合函数（1）定义：设函数)(ufy的定义域为fD，函数)(xu的值域为M，若fDM，则将)(xfy称为)(ufy与)(xu复合而成的复合函数，u称为中间变量，x为自变量.例如：函数1,ln2xuuy，因为12xu的值域,1包含在uyln的定义域（0，+）内，所以)1ln(2xy是uyln与12xu复合而成的复合函数.（2）注意：①并不是任何两个函数都可以复合的.如uyarcsin与22xu就不能复合.因为22xu的值域为,2，而uyarcsin的定义域为1,1，所以对于任意的x所对应的u，都使uyarcsin无意义；②复合函数还可推广到由三个及以上函数的有限次复合.【例6】指出下列复合函数的复合过程（1）312xy；（2）2tanlnxy.解：（1）312xy是由3uy与12xu复合而成的；（2）2tanlnxy是有tan,lnuuy,2x复合而成的.【例7】已知()fx的定义域为1,1，求)(lnxf的定义域.《高等数学》（微积分）教案8解：由1ln1x得exe1，所以)(lnxf的定义域为ee,1.3、初等函数（1）定义：由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的复合，且可用一个解析式表示的函数，称为初等函数.（2）说明：分段函数中有些是初等函数，有些是非初等函数.【例8】已知1100112)(xxxxxfx，求)2(f，)0(f，)21(f，)2(f，并作出函数图形解：412)2(2xxf；12)0(0xxf；21)1()21(21xxf；11)2(2xf（五）、建立函数关系举例运用函数解决实际问题，通常先要找到这个实际问题中的变量与变量之间的依赖关系，然后把变量间的这种依赖关系用数学解析式表达出来（即建立函数关系），最后进行分析、计算.【例9】从边长为a的正三角形铁皮上剪一个矩形，设矩形的一条边长为x，周长为P，面积为A，试分别将P和A表示为x的函数.解：设矩形的另一条边长为060tan2xa=2)(3xa该矩形周长P=axxxa3)32(2)(3，),0(ax矩形面积223232)(3xaxxxaA，),0(ax.【例10】电力部门规定，居民每月用电不超过30度时，每度电按0.5元收费，当用电超过30度但不超过60度时，超过的部分每度按0.6元收费,当用电超过60度时,超过部分按每度0.8元收费。试建立居民月用电费G与月用电量W之间的函数关系.解：当300w时，G=05W11oyyx《高等数学》（微积分）教案9当6030W时,G=36.0)30(6.0305.0ww当60w时,G=158.0)60(8.0306.0305.0WW所示60158.0603036.03005.0)(《高等数学》（微积分）教案10【教学内容】§1.2极限【教学目的】理解并掌握极限的概念与性质【教学重点】极限的概念与性质【教学难点】极限概念的理解【教学时数】4学时【教学过程】一、组织教学，引入新课二、讲授新课（一）、数列的极限1、数列（1）定义：按正整数顺序排成的一列数为数列，记作nx数列中的每一个数为数列的项，第n项为通项（2）通项公式：第n项与项数n之间的关系式例如：（1）数列1，21，31，41……，n1,……的通项为1nxn，简记为数列1n（2）数列21，32，43，54……，1nn,……的通项为1nnxn，简记为数列1nn说明：数列可以看作是定义在正整数集