高等数学 第三节 函数的极限

1第三节函数的极限31P:数列极限的定义:limaxnn,).01,)().正整数N2,).时当Nn3.).成立axn4:数极限定义修改数列极限定义为函,)(nxnxn的函数看成是把数列的通项:limaxnn)(xfx,).01,)().正整数N2,).时当Nn3.).成立axn4)(xf)(正实数XXxnxX.)(axf无限接近于常数2:)(limaxfx,.)01,.)02X,.)时当Xx3.)(.)成立axf4:时沿实轴趋于当自变量xxXX:时趋于当自变量x:)(limaxfx,.)01,.)02X,.)时当Xx3.)(.)成立axf4oX()Xxxx)(235定义P3,.)01,.)02X,.)时当Xx3.)(.)成立axf4.lim.021xx证明例)(重要结论,||.x2证02x,0,||x2设,||2x则,2X取,||时则当Xx.成立02x.lim02xx.)(lim)(lim)(lim.axfxfaxfxxx1定理:,得根据定理1,lim01xx.lim086xx4:时的函数极限趋于常数自变量0xx:.)01xx从右侧趋于):(000xxxx或记号:)(limaxfxx000x0xx)0x,.)01.)2.)3.)(.)成立axf4,0,时当00xxxx:.)02xx从左侧趋于):(000xxxx或记号:)(limaxfxx00,.)01.)3.)(.)成立axf40x0xx0x(x.)2,时当00xxx.)(axf无限接近于常数,0.)(axf无限接近于常数5:.)03xx趋于)(0xx:)(limaxfxx0,.)01.)2.)3.)(.)成立axf40x0xxx)0x0x(,||时当00xxxx,0.)(axf无限接近于常数:特别注意.,)03xx中!)(lim.)限是最重要的一种函数极axfxx01,)()(lim.)02000xfxfxx还记为左极限:注意.)()(lim0000xfxfxx又记为右极限:又记为)(,)(0xxaxf)(132定义P6.lim:.4222xx证明例,.0证,.)01.)2.)3.)(.)成立axf4,||时当00xx,0,2242xxx,,)(,13122xxx即不妨先设由于)(13,52x此时,)()(252242xxxx,)(25x设.)(52x,5取,)(时则当20x.)(成立2542xx.lim422xx202?估计15,min7.,)(lim必唯一如果存在定理xfxx01)(36P)(.略反证法证明函数极限的性质：)()(362P局部有界性定理,,)(lim和那么存在正常数如果Maxfxx0.)(,成立有时当Mxfxx00,)(limaxfxx0由证,,01对于,时当00xx,)(成立1axfaaxfxf)()(,a1.aM1取.证毕.,)(取自然数自变量也是一种函数数列的通项nnxxxnn)(lim,lim,nxxnnn函数极限可以看成是一种特殊的因此!lim上来可以平移到函数极限的所有性质都nnx.)(两个不同的数无限接近不能同时向函数xf)()(373P局部保号性定理,)(lim00Axfxx如果,0那么存在常数.)(,000xfxx有时当00,)(lim00Axfxx设证,02A对于,,时当000xx,)(成立2AAxf22AAxfAA)(.02A)(逆否定理推论,)()(00xfxU内如果在,)(limAxfxx0而且.0A那么00!极限上去及推论可以推广到其它定理3.,)(lim,)(lim,)(lim等例如xfxfxfxxxx0nnxlim9:定理保号性.),(,)()(lim时成立当0000xUxxfxfxx.||,)()(lim时成立当Xxxfxfx00.,lim时成立当Nnxxnnn00000000:逆否定理.)(lim,)(lim)(存在如果xfxfxfxxxx0000.)(lim,)(lim)(存在如果xfxfxfxx00.lim,lim存在如果nnnnnxxx00,不能改成逆否定理中的.lim,002nnnnxx但例如数列通项00000010,}{,)(lim的数列为任一收敛于如果定理004xxaxfnxx.)(limaxfnn则,,,,4321xxxx),(),(),(),(4321xfxfxfxf0xa:试与比较.}{,lim为极限的任一子列也以则如果axaxnnn.sinlim:不存在证明例题xx,}{,nnxnx则令证.sinlim0nnx,}{,nnyny则再令22.sinlim1nny.sinlim不存在xx11.5定理那么有定义是初等函数若,)(,)(0xfxfy.)()(lim00xfxfxx)(现在不证23423221xxxxlim.例213411222)()()(.5365234222xxxxxlim.例),,(002分子也为分母为代入以x))(())((lim32122xxxxx))(,,(因子为非但0222xxx312xxxlim.1||:00xx定义中第三句121211521xxxlim.例))(,,)((xfxf化简程中极限过无定义11))((lim11211xxxx))((lim1111xxxx)(10x因子约去非111xxlim.21)cos(lnlim.xx2266例32cosln.0)(111x1314571xxxxlim.例xxxxxxxx45145451limxxxxxx451451)(lim))((10x因子约去非xxx4541lim1454.214.)(lim)(lim)(lim.axfxfaxfxxxxxx0006定理00182xxxxxf)(.例.)(limxfx0讨论为分分段函数不是初等函数此为分段函数分析0x.)(,:.,,必须分别讨论一样之左右两侧定义方式不界点0x:.左极限解)(lim)(xffx000)(lim10xx,1:右极限)(lim)(xffx00020xxlim.0.)(lim,不存在所以左右极限不相等xfx015.lim)(lim:yfxfyxxy101常用变换25162932xxxxxlim.例3232251621xxxxxxlim3232025162yyyyyylim.0:可用结论.lim:,001211211mmnnxxaxaxbxbanm时当16357243102323xxxxxlim.例33352473xxxxxlim330357243yyyyylim.73:可用结论.lim:1112112110abxaxaxbxbannnnx时当17:小结:函数极限的定义,)(limxfxx0,)(limxfxx00,)(limxfxx00,)(limxfx,)(limxfx.)(limxfx:的六种趋限方式它们分别对应于自变量,0xx,00xx,00xx,x,x.x18:相关定理.)(lim)(lim)(lim.)axfxfaxfxxx1.)()()(lim.)axfxfaxfxx002000.,)(lim.)必唯一如果存在xfxx03:).局部有界性4.)()(limMxfaxfxx0:).局部保号性5.)()(lim000xfaxfxx)(0xUx0019那么有定义是初等函数若,)(,)(.)08xfxfy.)()(lim00xfxfxx).(极限计算举例.lim01xx重要结论.lim)(lim:yfxfyxxy101常用变换007xxaxfnxx}{;)(lim)..)(limaxfnn:).推论6.)(lim)(000xfxfxx如果存在00